反射対称性

数学において、反射対称性、線対称性、鏡像対称性は、反射に関する対称性です。2次元空間には線対称性/対称軸があり、3 次元空間には対称面があります。変換された像と区別がつかない物体または図形は、鏡像対称と呼ばれます。

通常、数学的対象は、反射、回転、平行移動などの特定の操作をその対象に適用したときに、その操作がその対象の何らかの特性を保持する場合、その操作に関して対称的です。^[1]対象の特定の特性を保持する操作の集合は、グループを形成します。2つの対象が特定の操作のグループに関して互いに対称である場合、その操作のいくつかによって一方が他方から取得されます（逆もまた同様です）。

2 次元図形の対称関数とは、構築された各垂線について、垂線が垂線に沿って軸から距離 'd' で図形と交差する場合、垂線に沿って反対方向に、軸から同じ距離 'd' で図形と垂線との別の交差点が存在するような線です。

対称性の機能を視覚的に証明するには、軸を中心にして図形を半分に折ると、2 つの半分は互いの鏡像であるため同一になり、^[1] 4 つの対称軸を持つ正方形を作成します。これは、すべての辺が一致するように 4 つの異なる折り方があるためです。円には対称軸が無限にあり、円錐と球には対称面が無限にあります。

反射対称な三角形は二等辺三角形です。反射対称な四辺形は凧形、（凹）三角形、菱形、^[2]、二等辺台形です。すべての偶数辺の多角形には、頂点を通る反射線と辺を通る反射線の 2 つの単純な反射形があります。任意の図形について、その図形の軸度は、左右対称にどれだけ近いかを測定します。軸度は、反射対称な図形の場合は 1 に等しく、凸型図形の場合は 2/3 から 1 の間になります。

3次元では、立方体を反射できる3つの軸すべてで平面を構成できる立方体には、9つの反射対称面があります。^[3]

より一般的なタイプの反射には、それに応じてより一般的なタイプの反射対称性が存在します。例:

• 非等長アフィン反転（直線、平面などにおける斜反射）に関して
• 円反転に関して。

左右対称の動物は、矢状面を中心に鏡映対称性を持ちます。矢状面は体を垂直に左右に分割し、各感覚器官と四肢のペアが両側にあります。ほとんどの動物は左右対称ですが、これは前進と流線型化をサポートしているためと考えられます。^{[4] [5] [6]}

鏡面対称は、フィレンツェのサンタ・マリア・ノヴェッラ教会のファサードなど、建築でよく使われています。^[7]また、ストーンヘンジなどの古代建造物のデザインにも見られます。^{[8]対称性は、}パラディオ主義などのいくつかの建築様式の中心的な要素でした。^[9]

• 自然のパターン
• 点反射対称性
• ユークリッド空間における反射群に関するコクセター群論
• 回転対称性（異なるタイプの対称性）
• キラリティー

• スチュワート、イアン (2001)。「雪の結晶はどんな形か? 自然界の不思議な数字」ワイデンフェルド & ニコルソン。

• ワイル、ヘルマン（1982）[1952]。対称性。プリンストン：プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-02374-3。

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