ベジェ曲線

異なる点P ₀とP ₁が与えられた場合、線形ベジェ曲線は単純にこれら 2 点間の直線です。曲線は次のように表されます。

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {P} _{0}+t(\mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{0})=(1-t)\mathbf {P} _{0}+t\mathbf {P} _{1},\ 0\leq t\leq 1}$

これは最も単純な方法で、線形補間と同等です。^{[ 8 ]}量${\displaystyle \mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{0}}$これは、始点から終点までの変位ベクトルを表します。

二次ベジェ曲線は、点P ₀、P ₁、P _{2が与えられたときの}関数B ( t )によって描かれる経路です。

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)[(1-t)\mathbf {P} _{0}+t\mathbf {P} _{1}]+t[(1-t)\mathbf {P} _{1}+t\mathbf {P} _{2}],\ 0\leq t\leq 1}$、

これは、それぞれP0から_{P1 、および}P1から_P2への線形ベジェ曲線上の対応する点の線形補間として解釈できます。上記の式を整理すると、次のように_なります。

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{2}\mathbf {P} _{0}+2(1-t)t\mathbf {P} _{1}+t^{2}\mathbf {P} _{2},\ 0\leq t\leq 1.}$

これは、 P ₁に関して対称性を強調する形で記述することができる。

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {P} _{1}+(1-t)^{2}(\mathbf {P} _{0}-\mathbf {P} _{1})+t^{2}(\mathbf {P} _{2}-\mathbf {P} _{1}),\ 0\leq t\leq 1.}$

これにより、ベジェ曲線のtに関する導関数が直ちに得られます。

${\displaystyle \mathbf {B} '(t)=2(1-t)(\mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{0})+2t(\mathbf {P} _{2}-\mathbf {P} _{1}),}$

このことから、曲線の点P ₀とP _{2における}接線は点 P ₁で交わると結論付けられる。t が 0 から 1 に増加すると、曲線はP _0からP ₁の方向に離れ、その後曲がってP ₁の方向からP ₂に到達する。

ベジェ曲線のtに関する2階微分は

${\displaystyle \mathbf {B} ''(t)=2(\mathbf {P} _{2}-2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{0}).}$

平面または高次元空間上の4点P₀、P₁、_P₂、P₃_は、3_{次ベジェ曲線を定義します。曲線は}P₀から始まり、 _P₁に向かって進み、P₂の方向からP₃に到達します。通常、曲線はP₁や_P₂を通過しません。これらの点は方向情報_{を提供するためだけに存在します。P₁と}P₂の間の距離は、_{曲線がP₂に}向かって曲がる前にP₁に向かって「どれだけ遠くまで」「どれだけ速く」移動するかを決定し_ます。

_{点P i、P j、P} kで定義される二次ベジェ曲線をB P _i、P _j、P _k ( t ₎と表記すると、三次ベジェ曲線は、2 つの二次ベジェ曲線のアフィン結合として定義できます。

$\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)\mathbf {B} _{\mathbf {P} _{0},\mathbf {P} _{1},\mathbf {P} _{2}}(t)+t\mathbf {B} _{\mathbf {P} _{1},\mathbf {P} _{2},\mathbf {P} _{3}}(t),\ 0\leq t\leq 1.}$

曲線の明示的な形式は次のとおりです。

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=(1-t)^{3}\mathbf {P} _{0}+3(1-t)^{2}t\mathbf {P} _{1}+3(1-t)t^{2}\mathbf {P} _{2}+t^{3}\mathbf {P} _{3},\ 0\leq t\leq 1.}$

P ₁とP ₂の選択肢によっては、曲線が自己交差したり、尖点を含む場合があります。

4つの異なる点の任意の系列は、4つの点を順番に通る3次ベジェ曲線に変換できます。ある3次ベジェ曲線の始点と終点、およびt  = 1/3とt  =  2/3に対応する曲線上の点が与えられれば、元のベジェ曲線の制御点を復元できます。^{[ 9 ]}

3次ベジェ曲線のtに関する導関数は

${\displaystyle \mathbf {B} '(t)=3(1-t)^{2}(\mathbf {P} _{1}-\mathbf {P} _{0})+6(1-t)t(\mathbf {P} _{2}-\mathbf {P} _{1})+3t^{2}(\mathbf {P} _{3}-\mathbf {P} _{2})\,.}$

ベジェ曲線のtに関する2階微分は

${\displaystyle \mathbf {B} ''(t)=6(1-t)(\mathbf {P} _{2}-2\mathbf {P} _{1}+\mathbf {P} _{0})+6t(\mathbf {P} _{3}-2\mathbf {P} _{2}+\mathbf {P} _{1})\,.}$

連続する3つの点が同じ向きの2つの相似な三角形を形成する制御点の場合、結果として得られる3次ベジェ曲線は、（スケーリングおよび平行移動された）チルンハウゼン3次曲線の弧になります。これらはピタゴラスホドグラフ曲線であり、弧長とオフセット曲線が有理数でパラメータ化される曲線であり、これらの特性を持つ唯一の3次曲線です。^{[ 10 ]}

n次ベジェ曲線の再帰的な定義では、 n - 1次ベジェ曲線の対応する2点の点対点の線形結合（線形補間）として表されます。  

させて${\displaystyle \mathbf {B} _{\mathbf {P} _{0}\mathbf {P} _{1}\ldots \mathbf {P} _{k}}}$任意の点P ₀、P ₁、 ...、P _kの選択によって決定されるベジェ曲線を表す。次に、 

$\displaystyle \mathbf {B} _{\mathbf {P} _{0}}(t)=\mathbf {P} _{0}{\text{、および}}}$

$\displaystyle \mathbf {B} (t)=\mathbf {B} _{\mathbf {P} _{0}\mathbf {P} _{1}\ldots \mathbf {P} _{n}}(t)=(1-t)\mathbf {B} _{\mathbf {P} _{0}\mathbf {P} _{1}\ldots \mathbf {P} _{n-1}}(t)+t\mathbf {B} _{\mathbf {P} _{1}\mathbf {P} _{2}\ldots \mathbf {P} _{n}}(t)}$

この再帰は、以下の動画で詳しく説明されています。

この式は、次のように明示的に表すことができます（ここで、t ⁰および (1-t) ⁰は、[0,1] 全体で連続的に 1 に拡張されます）。

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} (t)&=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}(1-t)^{ni}t^{i}\mathbf {P} _{i}\\&=(1-t)^{n}\mathbf {P} _{0}+{n \choose 1}(1-t)^{n-1}t\mathbf {P} _{1}+\cdots +{n \choose n-1}(1-t)t^{n-1}\mathbf {P} _{n-1}+t^{n}\mathbf {P} _{n},&&0\leqslant t\leqslant 1\end{aligned}}}$

どこ${\displaystyle \scriptstyle {n \choose i}}$は二項係数です。

例えば、n  =  5 の場合：

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {B} (t)&=(1-t)^{5}\mathbf {P} _{0}+5t(1-t)^{4}\mathbf {P} _{1}+10t^{2}(1-t)^{3}\mathbf {P} _{2}+10t^{3}(1-t)^{2}\mathbf {P} _{3}+5t^{4}(1-t)\mathbf {P} _{4}+t^{5}\mathbf {P} _{5},&&0\leqslant t\leqslant 1.\end{aligned}}}$

これらのパラメトリック曲線にはいくつかの用語が関連付けられています。

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\sum _{i=0}^{n}b_{i,n}(t)\mathbf {P} _{i},\ \ \ 0\leq t\leq 1}$

多項式

${\displaystyle b_{i,n}(t)={n \choose i}t^{i}(1-t)^{ni},\ \ \ i=0,\ldots ,n}$

これらは次数nのベルンシュタイン基底多項式として知られています。

t ⁰  =  1、(1  − t ) ⁰ = 1、二項係数、   ${\displaystyle \scriptstyle {n \choose i}}$、 は：

${\displaystyle {n \choose i}={\frac {n!}{i!(ni)!}}.}$

点P _iはベジェ曲線の制御点と呼ばれます。P ₀から P n までベジェ点を線で結んで形成される多角形は、ベジェ_多角形（または制御多角形）と呼ばれます。ベジェ多角形の凸包はベジェ曲線を含みます。

ベジェ曲線を、より複雑なベルンシュタイン多項式の和​​ではなく、多項式として表現することが望ましい場合がある。曲線の定義に二項定理を適用し、いくつかの式を整理すると、次の式が得られる。

${\displaystyle \mathbf {B} (t)=\sum _{j=0}^{n}{t^{j}\mathbf {C} _{j}}}$

どこ

${\displaystyle \mathbf {C} _{j}={\frac {n!}{(n-j)!}}\sum _{i=0}^{j}{\frac {(-1)^{i+j}\mathbf {P} _{i}}{i!(j-i)!}}=\prod _{m=0}^{j-1}(n-m)\sum _{i=0}^{j}{\frac {(-1)^{i+j}\mathbf {P} _{i}}{i!(j-i)!}}.}$

これは実用的かもしれない${\displaystyle \mathbf {C} _{j}}$多くの評価の前に計算することができます${\displaystyle \mathbf {B} (t)}$ただし、高次の曲線は数値的に不安定になる可能性があるため、注意が必要です（このような場合は、ド・カステリョーのアルゴリズムを使用する必要があります）。なお、空積は1です。

• 曲線は${\displaystyle \mathbf {P} _{0}}$そして、${\displaystyle \mathbf {P} _{n}}$これは、いわゆる端点補間特性です。
• 曲線が直線であるのは、すべての制御点が同一直線上にある場合に限る。
• 曲線の始点と終点は、それぞれベジェ多角形の最初の部分と最後の部分に接している。
• 曲線は任意の点で2つの部分曲線に分割することも、任意の数の部分曲線に分割することもでき、それぞれの部分曲線もまたベジェ曲線である。
• 円のように単純に見える曲線の中には、ベジェ曲線や区分的ベジェ曲線で正確に表現できないものもあります。ただし、4つの部分からなる3次ベジェ曲線は円を近似することができ（複合ベジェ曲線を参照）、各内部制御点（またはオフライン点）が距離である場合、半径方向の誤差は1000分の1未満になります。${\displaystyle \textstyle {\frac {4\left({\sqrt {2}}-1\right)}{3}}}$単位円上の外側の制御点から水平方向または垂直方向に。より一般的には、n個のセグメントからなる 3次ベジェ曲線は、各内側の制御点が距離である場合、円を近似することができます。${\displaystyle \textstyle {\frac {4}{3}}\tan(t/4)}$単位円上の外側制御点から、 ${\textstyle t=2\pi /n}$（つまり）${\displaystyle t=360^{\circ }/n}$）、 そして${\displaystyle n>2}$。
• すべての二次ベジェ曲線は三次ベジェ曲線でもあり、より一般的には、任意のn次ベジェ曲線は、任意のm > nに対してm次曲線でもあります。詳細には、制御点を持つn次曲線は、${\displaystyle \mathbf {P} _{0},\,\dots ,\,\mathbf {P} _{n}}$（パラメータ化を含めて）制御点を持つ次数n + 1 の曲線と等価である${\displaystyle \mathbf {P} '_{0},\,\dots ,\,\mathbf {P} '_{n+1}}$、 どこ${\displaystyle \mathbf {P} '_{k}={\tfrac {k}{n+1}}\mathbf {P} _{k-1}+\left(1-{\tfrac {k}{n+1}}\right)\mathbf {P} _{k}}$、${\displaystyle \forall k=0,\,1,\,\dots ,\,n,\,n+1}$そして定義する${\displaystyle \mathbf {P} _{n+1}:=\mathbf {P} _{0}}$、${\displaystyle \mathbf {P} _{-1}:=\mathbf {P} _{n}}$。
• ベジェ曲線は変動減少特性を持つ。直感的に言えば、ベジェ曲線は制御点の多角形よりも大きく「波打つ」ことはなく、実際にはそれよりも小さく「波打つ」こともある。^{[ 11 ]}
• n次ベジェ曲線には局所的な制御はありません。つまり、制御点を変更すると曲線全体の形状を再計算する必要があり、曲線全体の形状に影響します。「ただし、変更された制御点から遠ければ遠いほど、曲線の変化は小さくなります」。^{[ 12 ]}
• 2次以上のベジェ曲線は、制御点の選択によっては、自身と交差したり、尖点を持つことがある。

二次ベジェ曲線も放物線の線分です。放物線は円錐曲線であるため、二次ベジェ曲線を「円錐弧」と呼ぶ資料もあります。^{[ 13 ]}右の図を参照すると、放物線の重要な特徴は次のように導き出せます。^{[ 14 ]}

1. 放物線の両端点（AとB）における接線は、その制御点（C）で交わる。
2. Dが線分ABの中点である場合、CDに垂直な曲線の接線（破線のシアン色）がその頂点（V）を定義します。その対称軸（一点鎖線のシアン色）はVを通り、接線に垂直です。
3. Eは曲線上の点であり、CDに対して45°の接線を持つ（緑色の破線）。Gがこの接線と軸との交点である場合、Gを通りCDに垂直な直線が準線（緑色の実線）となる。
4. 焦点（F）は、軸と、点Eを通りCDに垂直な直線（点線の黄色）との交点にある。正弦線は、曲線内の線分（実線の黄色）である。

n次の曲線の導関数は

${\displaystyle \mathbf {B} '(t)=n\sum _{i=0}^{n-1}b_{i,n-1}(t)(\mathbf {P} _{i+1}-\mathbf {P} _{i}).}$

tを、点B ( t ) がP _0からP ₁まで移動した際の進行度 (0 から 1 まで) の割合とします。たとえば、t = 0.25 のとき、B ( t ) は点P _0からP ₁までの4 分の 1 の地点にあります。tが0 から 1 まで変化すると、B ( t ) はP _0からP ₁まで線を引きます。

二次ベジェ曲線の場合、tが0から1まで変化するにつれて、中間点Q0とQ1を構築することが_{できます。}

• 点Q ₀ ( t ) はP _0からP ₁まで変化し、線形ベジェ曲線を描きます。
• 点Q ₁ ( t ) はP _1からP ₂まで変化し、線形ベジェ曲線を描きます。
• 点B ( t ) はQ ₀ ( t ) からQ ₁ ( t ) まで線形補間され、二次ベジェ曲線を描きます。

高次の曲線の場合、それに応じて中間点の数も多くなります。3次曲線の場合、線形ベジェ曲線を表す中間点Q ₀、Q _{1 、} Q ₂と、2次ベジェ曲線を表す点R ₀、R ₁を構築できます。

4次曲線の場合、線形ベジェ曲線を表す中間点Q ₀、Q ₁、Q ₂、Q _3、2次ベジェ曲線を表す点R ₀、R ₁、R _2、3次ベジェ曲線を表す点S ₀、S ₁を構築できます。

5次曲線についても、同様の中間点を構築することができる。

これらの表現は、ベジェ曲線を計算するためにド・カステリョーのアルゴリズムで使用されるプロセスに基づいています。^{[ 15 ]}

与えられたベジェ曲線から一定のオフセット位置にある曲線は、数学ではオフセット曲線または平行曲線と呼ばれ（鉄道の線路のレール間のオフセットのように、元の曲線と「平行」である）、ベジェ曲線で正確に形成することはできません（いくつかの自明な場合を除く）。一般に、3次ベジェ曲線の両側オフセット曲線は10次代数曲線であり^{[ 16 ]}、より一般的には、次数nのベジェ曲線の両側オフセット曲線は次数4n-2の代数曲線です[  17  ] ^{。ただし、}実用的な目的には十分な近似を与えるヒューリスティックな方法があります^{[ 18 ] 。}

ベクターグラフィックスの分野では、対称的に離れた2つのオフセット曲線を描画することをストローキング（ベジェ曲線、または一般的には複数のベジェセグメントのパス）と呼びます。^{[ 16 ]}オフセット曲線から塗りつぶされたベジェ輪郭への変換は、ベジェ曲線のストローキングを必要とするMetafontで定義されたフォントを、より広く使用されているPostScriptタイプ1フォントに変換する上で実用的に重要です。PostScriptタイプ1フォントは、（効率上の理由から）（自己交差しない）ベジェ曲線で定義された輪郭を塗りつぶすという、数学的に単純な操作のみを必要とします。^{[ 19 ]}

度高の概念は、制御多角形R上で繰り返され、一連の制御多角形R、R ₁、R ₂などが得られます。r度の高高の後、多角形R _rは、 ^{[ 20 ]}で与えられる頂点P _{0, r}、P _{1, r}、P _{2, r}、 ..., P _{n + r、r}を持ちます。

${\displaystyle \mathbf {P} _{i,r}=\sum _{j=0}^{n}\mathbf {P} _{j}{\tbinom {n}{j}}{\frac {\tbinom {r}{i-j}}{\tbinom {n+r}{i}}}.}$

また、基となるベジェ曲線Bについては、

${\displaystyle \mathbf {\lim _{r\to \infty }R_{r}} =\mathbf {B} .}$

次数削減は、問題の曲線が元々より低い次数から引き上げられた場合にのみ正確に実行できます。^{[ 21 ]}いくつかの近似アルゴリズムが提案され、実際に使用されています。^{[ 22 ] [ 23 ]}

ベジェ曲線は、滑らかな曲線をモデル化するためにコンピュータグラフィックスで広く用いられています。曲線は制御点の凸包内に完全に含まれるため、制御点をグラフィカルに表示し、曲線を直感的に操作することができます。平行移動や回転などのアフィン変換は、曲線の制御点にそれぞれの変換を適用することで、曲線に適用できます。

2次および3次のベジェ曲線が最も一般的です。次数が高い曲線は、評価に計算コストが高くなります。より複雑な形状が必要な場合は、低次のベジェ曲線をパッチして、複合ベジェ曲線を作成します。複合ベジェ曲線は、ベクターグラフィックス言語（PostScriptなど）、ベクターグラフィックス規格（SVGなど）、およびベクターグラフィックスプログラム（Artline、Timeworks Publisher、Adobe Illustrator、CorelDraw、Inkscape、Allegroなど）では、一般的に「パス」と呼ばれます。ベジェ曲線をキンクなしで複合ベジェ曲線に結合するには、G1連続性と呼ばれるプロパティで十分です。これにより、2つの構成要素ベジェ曲線が交わる制御点が、両側の2つの制御点によって定義される線上に位置するようになります。

ベジェ曲線をスキャン変換（ラスタライズ）する最も簡単な方法は、多数の近接した点で曲線を評価し、近似する線分列をスキャン変換することです。ただし、点の間隔が広すぎる可能性があるため、ラスタライズされた出力が十分に滑らかに見えるとは限りません。逆に、曲線が直線に近い領域では、点が多すぎる可能性があります。一般的な適応法は再帰的細分化であり、曲線の制御点をチェックして、曲線が小さな許容範囲内で直線に近似しているかどうかを確認します。近似していない場合は、曲線はパラメトリックに 0 ≤ t ≤ 0.5 と 0.5 ≤ t ≤ 1 の 2 つのセグメントに細分化され、同じ手順が各半分に再帰的に適用されます。前方差分法もありますが、誤差伝播の分析には細心の注意を払う必要があります。^{[ 27 ]}

ベジェ曲線と各走査線を交差させる解析的手法では、3次多項式の根（3次ベジェ曲線の場合）を求め、複数の根を扱う必要があるため、実際にはあまり使用されていません。^{[ 27 ]}

Metafontで使用されるラスタライズアルゴリズムは、曲線を離散化することに基づいています。つまり、ピクセル境界に沿って、純粋に垂直または純粋に水平な一連の「ルークの動き」によって近似されます。そのために、まず平面は8つの45°セクター（座標軸と2本の線によって）に分割されます。${\displaystyle y=\pm x}$)、次に曲線は、曲線セグメントの方向が 1 つのセクター内に留まるように、より小さなセグメントに分解されます。曲線速度は 2 次多項式であるため、${\displaystyle t}$これらの線のいずれかに平行な値は、二次方程式を解くことによって求めることができます。各セグメント内では、水平方向または垂直方向の移動が支配的であり、どちらの方向へのステップの総数は、終点の座標から読み取ることができます。たとえば、0～45°セクターでは右方向への水平移動が支配的であるため、曲線が右方向にどのステップの間でステップアップするかを決定するだけで済みます。^{[ 28 ]}

また、Zingl によるBresenham の線描画アルゴリズムの修正曲線形式もあり、これは曲線を有理数に分割し、各ピクセル位置での誤差を計算することでラスタライズを実行します。これにより、曲線に沿って反復される際の複合誤差に応じて、45° の角度で移動するか、直線で移動します。これにより、次のステップの計算は一連の整数加算と減算に削減されます。^{[ 29 ]}

Adobe FlashやSynfigなどのアニメーションアプリケーションでは、例えば動きを輪郭付けるためにベジェ曲線が使用されます。ユーザーはベジェ曲線で目的のパスを輪郭付けし、アプリケーションはオブジェクトがパスに沿って移動するために必要なフレームを作成します。^{[ 30 ] [ 31 ]}

3Dアニメーションでは、ベジェ曲線は3Dパスを定義するためによく使用され、キーフレーム補間用の2D曲線も使用されます。^{[ 32 ]}ベジェ曲線は現在、 CSS、JavaScript、JavaFX、Flutter SDKでアニメーションのイージングを制御するために非常に頻繁に使用されています。^{[ 4 ]}

TrueTypeフォントは、二次ベジェ曲線で構成される複合ベジェ曲線を使用します。他の言語や画像ツール（PostScript、Asymptote、Metafont、SVGなど）は、曲線形状を描画するために三次ベジェ曲線で構成される複合ベジェ曲線を使用します。OpenTypeフォントは、 OpenTypeラッパーの基盤となるフォント技術に応じて、どちらの種類の曲線も使用できます。^{[ 33 ]}

FreeTypeなどのフォント エンジンは、フォント ラスタライズと呼ばれるプロセスを使用して、ピクセル化されたサーフェス上にフォントの曲線 (および線) を描画します。^{[ 13 ]}通常、フォント エンジンとベクター グラフィックス エンジンは、ベジェ曲線を再帰的に分割して、曲線が直線または円弧のセグメントの連続として描画できるほど平坦になるまで、ベジェ曲線をレンダリングします。正確な分割アルゴリズムは実装に依存しますが、必要な精度を達成し、曲率の非単調な局所的変化を避けるために、平坦性の基準のみを遵守する必要があります。Microsoft Excelのグラフの「滑らかな曲線」機能もこのアルゴリズムを使用しています。^{[ 34 ]}

円弧や楕円弧はベジェ曲線で正確に表現できないため、まずベジェ曲線で近似し、次に円弧で近似します。しかし、円弧や楕円弧を用いたすべてのベジェ曲線の近似も存在し、これらは任意の精度で段階的にレンダリングできるため、この方法は非効率的です。一方、最新のハードウェアグラフィックスアダプタで採用されている、ジオメトリを高速化する手法では、すべてのベジェ曲線と円錐曲線（または曲面）をNURBSに正確に変換し、必要な平面度条件を満たすために曲線を再帰的に分割することなく段階的にレンダリングできます。この手法では、すべての線形または透視的な2Dおよび3D変換と投影においても曲線の定義が維持されます。

制御ポリゴンによって経路が障害物と衝突するかどうかを判断できるため、エンドエフェクタの軌道生成にはベジェ曲線が使用されます。^{[ 35 ]}さらに、ベジェ曲線を使用すると、関節空間軌道を正確に微分できます。したがって、関節空間軌道の微分は、ロボットマニピュレータのダイナミクスと制御力（トルクプロファイル）の計算に使用されます。^{[ 35 ]}