物理学における時間

世界中で使用されているUTCタイムスタンプは原子時計の標準です。このような標準の相対精度は現在10⁻¹⁵のオーダーです^{[ 13 ] （}約3000万年に1秒に相当）。理論的に観測可能と考えられる最小の時間ステップはプランク時間と呼ばれ、約5.391×10⁻⁴⁴^秒で、現在の標準の分解能より何桁も小さい値です。

セシウム原子時計は、1950年以降、電子工学の進歩により発生するマイクロ波周波数の信頼性の高い測定が可能になったことで実用化されました。その後も技術の進歩に伴い、原子時計の研究はより高い周波数へと進み、より高い精度と確度を実現できるようになりました。これらの技術に基づいた時計は開発されていますが、まだ主要な基準時計としては使用されていません。

時間を測定するには、周期的な現象の発生回数（イベント数）を記録することができます。物理法則が定式化される何千年も前から、季節の規則的な繰り返し、太陽、月、星の動きが記録され、表にまとめられていました。太陽は時間の流れの基準でしたが、何千年もの間、時間は時間単位でしか知られていませんでした。そのため、グノモンの使用は世界のほとんどの地域、特にユーラシア大陸、そして少なくとも南は東南アジアのジャングルまで知られていました。^{[ 15 ]}

特に、宗教的な目的で維持されていた天文台は、恒星の規則的な動き、さらには一部の惑星の動きさえも確認できるほど正確になった。

当初、時刻の計測は司祭が手作業で行っていましたが、その後、商業においては、番人が職務の一環として時刻を記録するようになりました。春分・秋分の日を数える方法、砂時計、水時計は次第に精度を高め、最終的には信頼できるものとなりました。海上を航行する船舶には、航海用砂時計が用いられました。これらの装置によって、船員は時刻を告げたり、航行速度を計算したりすることができました。

1583年、ガリレオ・ガリレイ（1564年～1642年）は、ピサ大聖堂でミサの際に揺れるランプの調和運動の周期を自分の脈拍で計ることで、振り子の調和運動には一定の周期があることを発見した。^{[ 18 ]}

ガリレオは著書『二つの新科学』（1638年）の中で、水時計を用いて青銅の球が斜面を既知の距離転がり落ちるのにかかる時間を測定した。この時計は^{[ 19 ]}

...高い位置に大きな水槽を設置し、その底に細い水流を噴出する小径のパイプをはんだ付けしました。この噴出する水は、水路の全長または一部を下るたびに、小さなガラス容器に集めました。集めた水は、下るたびに非常に精度の高い天秤で計量しました。これらの重量の差と比率から時間の差と比率が得られ、その精度は非常に高かったため、この操作を何度も繰り返しても、結果に目立ったずれはありませんでした。

ガリレオがボールの動きを記述するために時間の実際の流れを測定する実験装置を考案したことは、アイザック・ニュートンが『プリンキピア』の中で「私は時間、空間、場所、運動を、誰もがよく知っているものとして定義するわけではない」と述べたことに先立つものであった。^{[ 20 ]}

ガリレオ変換は、すべての基準系において時間が同じであると仮定している。

1665年頃、アイザック・ニュートン（1643年～1727年）が重力によって落下する物体の運動を導き出したとき、数学物理学における時間に関する最初の明確な定式化が始まった。それは、普遍的な時計として捉えられた線形時間である。

絶対的、真の、数学的な時間は、それ自体で、またその性質から、外部の何物にも関係なく均等に流れ、別の言い方をすれば持続時間と呼ばれる。相対的、見かけ上の、一般的な時間は、運動の手段による持続時間の感覚的かつ外部的な（正確か不均等かは別として）尺度であり、真の時間の代わりに一般的に使用される。例えば、1時間、1日、1か月、1年などである。^{[ 21 ]}

ガリレオが記述した水時計の機構は、実験中に水が層流になるように設計されており、実験期間中一定の水の流れを提供し、ニュートンが「持続」と呼んだものを体現していた。

このセクションでは、以下に挙げる関係式において、時間は検討対象の物理システムの挙動を示す指標となるパラメータとして扱われます。ニュートンの流体は時間の線形的な流れ（彼が「数学的時間」と呼んだもの）を扱うため、時間は線形的に変化するパラメータ、つまり時計の文字盤上の時間の進みを抽象化したものと考えることができます。したがって、カレンダーや航海日誌は、時間、日、月、年、世紀の進みに対応付けられることになります。

1798年までに、ベンジャミン・トンプソン（1753年～1814年）は、仕事は無制限に熱に変換できることを発見した。これはエネルギー保存の法則の先駆けである。

• 熱力学第一法則

1824年、サディ・カルノー（1796年～1832年）は、抽象的な機関であるカルノーサイクルを用いて蒸気機関を科学的に分析した。ルドルフ・クラウジウス（1822年～1888年）は、カルノー機関で利用可能な自由エネルギーの継続的な減少量に影響を与える無秩序度、すなわちエントロピーの尺度を指摘した。

• 熱力学第二法則

このように、任意の温度において、熱力学系がエントロピーの低い状態から高い状態へと絶えず変化していくことが、時間の矢を定義する。特に、スティーブン・ホーキングは3つの時間の矢を特定している。^{[ 22 ]}

• 心理的な時間の矢――避けられない流れという私たちの認識。
• 熱力学的時間の矢 ―エントロピーの増加によって特徴づけられる。
• 宇宙論的な時間の矢 ― 宇宙の膨張によって特徴づけられる。

孤立した熱力学系では、時間の経過とともにエントロピーが増加する。これに対し、エルヴィン・シュレーディンガー（1887–1961）は、生命は「負のエントロピーの流れ」に依存していると指摘した。^{[ 23 ]}イリヤ・プリゴジン（1917–2003）は、生命と同様に平衡から遠く離れている他の熱力学系も、生命を彷彿とさせる安定した時空間構造を示すことができると述べた。その後まもなく、化学溶液中で振動する色を示すベロウソフ・ジャボチンスキー反応^{[ 24 ]}が報告された。^{[ 25 ]}これらの非平衡熱力学分岐は不安定な分岐点に達し、その代わりに別の熱力学分岐が安定する。^{[ 26 ]}

1864年、ジェームズ・クラーク・マクスウェル（1831年～1879年）は、電気と磁気に関する統合理論を発表しました。彼は当時知られていたこれら二つの現象に関するすべての法則を4つの方程式にまとめました。これらの方程式は電磁気学におけるマクスウェル方程式として知られており、電磁波の形で解を求めることができ、電磁波は、それを生み出した電荷の速度に関係なく、一定の速度cで伝播します。

光が常に速度cで進むと予測されるという事実は、マクスウェル方程式が任意の慣性系（一定速度の基準系）で成り立つと仮定した場合、ガリレオ相対性理論と矛盾する。なぜなら、ガリレオ変換は、光と平行（または反平行）に移動する観測者の基準系では、速度が減少（または増加）すると予測するからである。

光を伝えるエーテルという、唯一の絶対的な基準系が存在し、そこではマクスウェル方程式が既知の形で修正されることなく成立すると予想されていた。

マイケルソン・モーリーの実験では、地球が光を伝えるエーテルに対して運動することによって生じる光の相対速度の差を検出できなかったため、マクスウェルの方程式は実際にはすべての慣性系で成り立っていることが示唆された。1875年、ヘンドリック・ローレンツ（1853-1928）はローレンツ変換を発見し、マクスウェルの方程式は変化しないため、マイケルソンとモーリーの否定的な結果を説明することができた。アンリ・ポアンカレ（1854-1912）はローレンツ変換の重要性に着目し、それを普及させた。特に、鉄道車両の記述は、アインシュタインの1905年の論文より前に出版された『科学と仮説』 [ ^{27 ]に}見られる。

ローレンツ変換は空間の収縮と時間の遅れを予測した。1905年までは、前者は分子間力（電気的な性質を持つ）の変化による、エーテルに対して運動する物体の物理的な収縮として解釈され、後者は単なる数学的な規定だと考えられていた。

アルベルト・アインシュタインが1905年に発表した特殊相対性理論は、絶対時間の概念に異議を唱え、直線的な時間の流れを示す時計の同期の定義しか提示できなかった。

空間上の点Aに時計がある場合、点Aにいる観測者は、Aのすぐ近くで起こる出来事の時刻を、それらの出来事と同時に起こる針の位置を見つけることによって決定できる。空間上の点Bに、点Aの時計とあらゆる点で類似した別の時計がある場合、点Bにいる観測者は、点Bのすぐ近くで起こる出来事の時刻を決定することができる。

しかし、さらなる仮定なしに、時間に関してA地点での出来事とB地点での出来事を比較することは不可能である。これまで定義したのは「A地点の時間」と「B地点の時間」のみである。

AとBの共通の「時間」は定義されていません。なぜなら、光がAからBへ移動するのに必要な「時間」が、BからAへ移動するのに必要な「時間」と等しいことを定義によって確立しない限り、後者は全く定義できないからです。光線が「Aの時間」t _AにAからBに向かって出発し、「Bの時間」t _BにBでAの方向に反射され、「Aの時間」t ′ _Aに再びAに到達するとします。

定義によれば、2つの時計が同期するのは、

${\displaystyle t_{\text{B}}-t_{\text{A}}=t'_{\text{A}}-t_{\text{B}}{\text{.}}\,\!}$

この同期の定義は矛盾がなく、任意の数の点に対して可能であると仮定し、以下の関係は普遍的に妥当であると仮定する。

1. B地点の時計がA地点の時計と同期すれば、A地点の時計もB地点の時計と同期する。
2. A地点の時計がB地点の時計と同期し、かつC地点の時計とも同期する場合、B地点とC地点の時計も互いに同期する。

アインシュタインは、基準系間で光速が変化しない場合、空間と時間も一定でなければならず、動いている観測者も静止している観測者と同じ光速を測定することになることを示した。なぜなら、速度は空間と時間によって定義されるからである。

${\displaystyle \mathbf {v} ={d\mathbf {r} \over dt}{\text{,}}}$ここで、 rは位置、tは時間を表す。

実際、ローレンツ変換（相対運動する2つの基準座標系の場合、x軸は相対速度の方向を向いている）

${\displaystyle {\begin{cases}t'&=\gamma (t-vx/c^{2}){\text{ ただし }}\gamma =1/{\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}\\x'&=\gamma (x-vt)\\y'&=y\\z'&=z\end{cases}}}$

これは、 z軸を中心としたユークリッド回転がx座標とy座標を混ぜ合わせる のと同様に、空間と時間を「混ぜ合わせる」と言える。この結果として、同時性の相対性が生じる。

より具体的に言うと、ローレンツ変換は双曲回転である。

${\displaystyle {\begin{pmatrix}ct'\\x'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cosh \phi &-\sinh \phi \\-\sinh \phi &\cosh \phi \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}ct\\x\end{pmatrix}}{\text{ where }}\phi =\operatorname {artanh} \,{\frac {v}{c}}{\text{,}}}$

これは、4次元ミンコフスキー空間における座標変換であり、その次元の1つはctである。（ユークリッド空間では、通常の回転は

${\displaystyle {\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}\cos \theta &-\sin \theta \\\sin \theta &\cos \theta \end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}}$

（は対応する座標変換です。）光速c は、時空の次元を異なる単位で測定するために必要な変換係数と見なすことができます。メートルは現在秒を基準として定義されているため、正確な値は299 792 458 m/sです。たとえば、幅を海里で、深さをフィートで測定する場合、ユークリッド空間でも同様の係数が必要になります。物理学では、方程式を簡略化するために、 c = 1となる測定単位が使用されることがあります。

「動いている」基準系における時間は、「静止している」基準系における時間よりも遅く進むことが、次の関係式によって示される（これは、ローレンツ変換において ∆ x ′ = 0、∆ τ = ∆ t ′と置くことによって導出できる）。

${\displaystyle \Delta t={{\Delta \tau } \over {\sqrt {1-v^{2}/c^{2}}}}}$

どこ：

• ${\displaystyle \Delta \tau }$は、同じ場所で発生する2つのイベント間の時間を、それらのイベントが発生する移動参照系で測定したものです（たとえば、動いている時計の2つの目盛り）。これは、2つのイベント間の固有時間と呼ばれます。
• ${\displaystyle \Delta }$tは、これら2つの事象間の時間間隔を表すが、静止した基準系で測定した値である。
• vは、静止した基準座標系に対する移動基準座標系の速度である。
• cは光速です。

したがって、動いている物体は時間の流れが遅く見えると言われている。これは時間の遅れとして知られている。

これらの変換は、相対速度が一定の2つの座標系に対してのみ有効です。これらを他の状況に安易に適用すると、双子のパラドックスなどの矛盾が生じます。

そのパラドックスは、例えばアインシュタインの一般相対性理論を用いることで解決できる。この理論は、加速された非慣性系における幾何学であるリーマン幾何学を用いる。ミンコフスキー空間を記述する計量テンソルを用いると、次のようになる。

${\displaystyle \left[(dx^{1})^{2}+(dx^{2})^{2}+(dx^{3})^{2}-c(dt)^{2})\right],}$

アインシュタインは、マクスウェル方程式を保持するローレンツ変換の幾何学的解法を開発した。彼の場の方程式は、特定の時空領域における空間と時間の測定値と、その領域のエネルギー密度との間の正確な関係を与える。

アインシュタインの方程式は、重力場の存在によって時間が変化するはずだと予測している（シュワルツシルト計量を参照）。

${\displaystyle T={\frac {dt}{\sqrt {\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\theta ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}\theta \;d\phi ^{2}}}}}$

どこ：

• ${\displaystyle T}$は、距離にある物体の重力による時間の遅れです。${\displaystyle r}$。
• ${\displaystyle dt}$これは座標時間の変化、または座標時間の間隔です。
• ${\displaystyle G}$は重力定数です
• ${\displaystyle M}$質量が場を生成している
• ${\displaystyle {\sqrt {\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)dt^{2}-{\frac {1}{c^{2}}}\left(1-{\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)^{-1}dr^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}d\theta ^{2}-{\frac {r^{2}}{c^{2}}}\sin ^{2}\theta \;d\phi ^{2}}}}$適切なタイミングでの変化${\displaystyle d\tau }$または、固有時間の間隔。

あるいは、以下のより単純な近似式を用いることもできる。

${\displaystyle {\frac {dt}{d\tau }}={\frac {1}{\sqrt {1-\left({\frac {2GM}{rc^{2}}}\right)}}}.}$

つまり、重力場が強いほど（したがって加速度が大きいほど）、時間の流れは遅くなる。時間の遅れの予測は、粒子加速実験や宇宙線観測によって裏付けられている。これらの実験では、運動する粒子はエネルギーの低い粒子よりもゆっくりと崩壊する。重力による時間の遅れは、太陽のような質量の大きな天体の近くで、重力赤方偏移やシャピロ信号の伝搬時間遅延といった現象を引き起こす。全地球測位システム（GPS）も、この影響を考慮して信号を調整する必要がある。

アインシュタインの一般相対性理論によれば、自由に運動する粒子は、固有時間を最大化するような時空内の軌跡を描きます。この現象は最大老化の原理とも呼ばれ、テイラーとウィーラーによって次のように説明されました。^{[ 29 ]}

「極値老化の原理：自由物体が時空内の2つの事象の間をたどる経路は、その物体の腕時計に記録された、これらの事象間の時間差が極値となる経路である。」

アインシュタインの理論は、宇宙のあらゆる点を「中心」とみなすことができ、それに伴い、物理法則はあらゆる慣性系において同じように作用するという仮定に基づいていた。彼の簡潔かつ洗練された理論は、時間が慣性系に対して相対的であることを示している。慣性系においては、ニュートンの第一法則が成り立ち、独自の局所的な幾何学を持ち、したがって独自の空間と時間の測定値を持つ。つまり、「普遍的な時計」は存在しない。少なくとも2つのシステム間で同期を行う必要がある。

量子力学の方程式には時間パラメータが存在する。シュレーディンガー方程式^{[ 30 ]}は

${\displaystyle H(t)\left|\psi (t)\right\rangle =i\hbar {\partial \over \partial t}\left|\psi (t)\right\rangle }$

一つの解決策は

${\displaystyle |\psi _{e}(t)\rangle =e^{-iHt/\hbar }|\psi _{e}(0)\rangle }$。

どこ${\displaystyle e^{-iHt/\hbar }}$は時間発展演算子 と呼ばれ、Hはハミルトニアンである。

しかし、上に示したシュレーディンガーの描像は、古典力学のポアソン括弧に類似したハイゼンベルクの描像と等価である。ポアソン括弧は、観測量Aに対して[ H , A ]のような非ゼロの交換子と、ハミルトニアン Hによって置き換えられる。

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}A=(i\hbar )^{-1}[A,H]+\left({\frac {\partial A}{\partial t}}\right)_{\mathrm {classical} }.}$

この式は量子物理学における不確定性関係を表しています。例えば、時間（観測量A）に対して、エネルギーE（ハミルトニアンHから）は次のようになります。

${\displaystyle \Delta E\Delta T\geq {\frac {\hbar }{2}}}$

どこ

• ${\displaystyle \Delta E}$エネルギーの不確実性は
• ${\displaystyle \Delta T}$時間における不確実性とは
• ${\displaystyle \hbar }$は換算プランク定数である。

一連の事象の継続時間をより正確に測定すればするほど、その事象に伴うエネルギーの測定精度は低下し、その逆もまた然りである。この式は、量子力学において時間が演算子ではないため、標準的な不確定性原理とは異なる。

Corresponding commutator relations also hold for momentum p and position q, which are conjugate variables of each other, along with a corresponding uncertainty principle in momentum and position, similar to the energy and time relation above.

Quantum mechanics explains the properties of the periodic table of the elements. Starting with Otto Stern's and Walter Gerlach's experiment with molecular beams in a magnetic field, Isidor Rabi (1898–1988), was able to modulate the magnetic resonance of the beam. In 1945 Rabi then suggested that this technique be the basis of a clock^[31] using the resonant frequency of an atomic beam. In 2021 Jun Ye of JILA in Boulder Colorado observed time dilatation in the difference in the rate of optical lattice clock ticks at the top of a cloud of strontium atoms, than at the bottom of that cloud, a column one millimeter tall, under the influence of gravity.^[32]

Khemani, Moessner, and Sondhi define a time crystal as a "stable, conservative, macroscopic clock".^[33]:7