線要素

幾何学において、線要素または長さ要素は、計量空間内の微小 変位ベクトルに関連付けられた線分として非公式に考えることができます。線要素の長さは、微分弧長として考えることができ、計量テンソルの関数であり、 と表されます。 ${\displaystyle ds}$

線要素は物理学、特に重力理論（最も有名なのは一般相対性理論）で使用され、そこでは時空は適切な計量テンソルを持つ曲がった擬リーマン多様体としてモデル化されます。^[1]

n次元リーマン多様体または擬リーマン多様体（物理学では通常ローレンツ多様体）における線要素dsの平方の座標に依存しない定義は、無限小変位^[2]（擬リーマン多様体では負の場合もある）の「長さの平方」であり、その平方根は曲線の長さを計算するために使用する必要があります。 ここで、gは計量テンソル、· は内積、d q は（擬）リーマン多様体上の無限小変位を表します。曲線 をパラメータ化することにより、との間の曲線の弧長を積分として定義できます。^[3] ${\displaystyle d\mathbf {q} }$$${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {q} \cdot d\mathbf {q} =g(d\mathbf {q} ,d\mathbf {q} )}$$ ${\displaystyle q(\lambda )}$${\displaystyle q(\lambda _{1})}$${\displaystyle q(\lambda _{2})}$ $${\displaystyle s=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|ds^{2}\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g\left({\frac {dq}{d\lambda }},{\frac {dq}{d\lambda }}\right)\right|}}=\int _{\lambda _{1}}^{\lambda _{2}}d\lambda {\sqrt {\left|g_{ij}{\frac {dq^{i}}{d\lambda }}{\frac {dq^{j}}{d\lambda }}\right|}}}$$

擬似リーマン多様体における曲線の適切な長さを計算するには、微小変位がどこでも同じ符号を持つと仮定するのが最善です。たとえば、物理学では、タイムライン曲線に沿った線要素の二乗は (符号規則では) 負になり、曲線に沿った線要素の二乗の負の平方根は、曲線に沿って移動する観測者にとっての適切な経過時間を測定します。この観点から、メトリックは線要素に加えて、表面要素や体積要素など も定義します。${\displaystyle -+++}$

は任意の「弧長の二乗」なので、計量を完全に定義します。したがって、 の式を、示唆的ではあるがテンソルではない表記法で書かれた計量テンソル自体の定義と見なすのが通常は最善です。 弧長の二乗と計量の同一視は、 n次元の一般曲線座標q = ( q ¹ , q ² , q ³ , ..., q ⁿ )ではさらに簡単に確認できます。ここでは、計量テンソルと一致する 対称階数 2 のテンソル^{[3] [4]として記述されます。}${\displaystyle d\mathbf {q} }$${\displaystyle ds^{2}}$${\displaystyle ds^{2}}$$${\displaystyle ds^{2}=g}$$${\displaystyle ds^{2}}$ $${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=g.}$$

ここで、添え字 iとj は1、2、3、...、nの値を取り、アインシュタインの総和規則が使われます。(擬似)リーマン空間の一般的な例としては、3 次元 空間(時間座標を含まない) や4 次元 時空などがあります。

以下は、メトリックから線要素を見つける方法の例です。

最も単純な線要素は直交座標系です。この場合、メトリックはクロネッカーのデルタになります (ここで、i、j = 1、2、3 は空間) 。 または行列形式 ( iは行、j は列を表します) では次のようになります。 $${\displaystyle g_{ij}=\delta _{ij}}$$$${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&0&1\end{pmatrix}}}$$

一般曲線座標は直交座標に簡約される。 つまり $${\displaystyle (q^{1},q^{2},q^{3})=(x,y,z)\,\Rightarrow \,d\mathbf {r} =(dx,dy,dz) }$$$${\displaystyle ds^{2}=g_{ij}dq^{i}dq^{j}=dx^{2}+dy^{2}+dz^{2}}$$

すべての直交座標に対して、計量は次のように与えられる: ^[3] ここで $${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}h_{1}^{2}&0&0\\0&h_{2}^{2}&0\\0&0&h_{3}^{2}\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle h_{i}=\left|{\frac {\partial \mathbf {r} }{\partial q^{i}}}\right|}$$

i = 1、2、3 はスケール係数なので、線要素の二乗は次のようになります。 $${\displaystyle ds^{2}=h_{1}^{2}(dq^{1})^{2}+h_{2}^{2}(dq^{2})^{2}+h_{3}^{2}(dq^{3})^{2}}$$

これらの座標における線要素の例をいくつか示します。^[2]

次元の空間の任意の基底が与えられた場合、計量は基底ベクトルの内積として定義されます。 ${\displaystyle \{{\hat {b}}_{i}\}}$${\displaystyle n}$$${\displaystyle g_{ij}=\langle {\hat {b}}_{i},{\hat {b}}_{j}\rangle }$$

ここで、内積は周囲空間（通常はその） に関してである。${\displaystyle 1\leq i,j\leq n}$${\displaystyle \delta _{ij}}$

座標ベースで${\displaystyle {\hat {b}}_{i}={\frac {\partial }{\partial x^{i}}}}$

座標基底は、微分幾何学でよく使用される特殊なタイプの基底です。

ミンコフスキー計量は次の通りである: ^{[5] [1]} どちらか一方の符号が選択された場合、両方の慣例が使用される。これは平坦な時空にのみ適用される。座標は4位置で与えられる: $${\displaystyle [g_{ij}]=\pm {\begin{pmatrix}1&0&0&0\\0&-1&0&0\\0&0&-1&0\\0&0&0&-1\\\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle \mathbf {x} =(x^{0},x^{1},x^{2},x^{3})=(ct,\mathbf {r} )\,\Rightarrow \,d\mathbf {x} =(cdt,d\mathbf {r} )}$$

したがって、線要素は次のようになります。 $${\displaystyle ds^{2}=\pm (c^{2}dt^{2}-d\mathbf {r} \cdot d\mathbf {r} ).}$$

シュワルツシルト座標では、座標は であり、次の形式の一般計量です。 ${\displaystyle \left(t,r,\theta ,\phi \right)}$$${\displaystyle [g_{ij}]={\begin{pmatrix}-a(r)^{2}&0&0&0\\0&b(r)^{2}&0&0\\0&0&r^{2}&0\\0&0&0&r^{2}\sin ^{2}\theta \\\end{pmatrix}}}$$

(3D 球面極座標のメトリックとの類似性に注意してください)。

したがって、線要素は次のようになります。 $${\displaystyle ds^{2}=-a(r)^{2}\,dt^{2}+b(r)^{2}\,dr^{2}+r^{2}\,d\theta ^{2}+r^{2}\sin ^{2}\theta \,d\phi ^{2}.}$$

時空における線要素d sの2乗の座標に依存しない定義は^[1]である。 $${\displaystyle ds^{2}=d\mathbf {x} \cdot d\mathbf {x} =g(d\mathbf {x} ,d\mathbf {x} )}$$

座標に関して言えば、 この場合、インデックスαとβ は時空に対して 0、1、2、3 になります。 $${\displaystyle ds^{2}=g_{\alpha \beta }dx^{\alpha }dx^{\beta }}$$

これは時空間隔、つまり時空における2 つの任意の近いイベント間の分離の尺度です。特殊相対性理論では、これはローレンツ変換に対して不変です。一般相対性理論では、これは任意の可逆微分可能座標変換に対して不変です。

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