場の方程式

理論物理学と応用数学において、場の方程式は、物理的な場のダイナミクス、特に場の時間発展と空間分布を決定する偏微分方程式です。方程式の解は、時間と空間の関数として、場に直接対応する数学関数です。場の方程式は偏微分方程式であるため、さまざまな物理的可能性を表す解の族が存在します。通常、単一の方程式ではなく、同時に解かなければならない一連の連立方程式があります。場の方程式は、場が空間と時間に依存し、少なくとも 2 つの変数を必要とするため、 常微分方程式ではありません。

「波動方程式」、「拡散方程式」、および「連続方程式」にはすべて標準形式（およびさまざまな特殊なケースや一般化）がありますが、「場の方程式」と呼ばれる単一の特別な方程式は存在しません。

このテーマは、古典場の理論と量子場の理論の方程式に大別されます。古典場の方程式は、物質の温度、流体の速度、弾性体の応力、電流による電場と磁場など、多くの物理的特性を記述します。 ^[1]また、電磁気や重力など、自然界の基本的な力も記述します。^{[2] [3]量子場の理論では、}電子や光子などの粒子または「粒子」のシステムは場と関連付けられており、無限の自由度（粒子力学の有限の自由度とは異なります）と、生成または消滅できる可変の粒子数を可能にします。

通常、場の方程式は仮定されるか（アインシュタインの場の方程式や、すべての量子場の方程式の基礎となるシュレーディンガー方程式など）、実験の結果から得られます（マクスウェル方程式など）。その妥当性の範囲は、実験結果を正しく予測し、それに一致する能力にあります。

理論的な観点からは、場の方程式はラグランジアン場の理論、ハミルトン場の理論、および定常作用の原理の場の理論的定式化の枠組みで定式化できます。^[4]適切なラグランジアンまたはハミルトン密度、与えられたシステム内の場の関数、およびそれらの導関数が与えられると、定常作用の原理によって場の方程式が得られます。

古典理論と量子理論の両方において、場の方程式は背景物理理論の対称性を満たします。ほとんどの場合、ガリレイ対称性は、光よりはるかに遅い速度（伝播する場の速度）に対して十分です。粒子と場が光に近い速度で伝播する場合、方程式とその解が特殊相対性理論と一致するため、ローレンツ対称性は最も一般的な設定の 1 つです。

もう 1 つの対称性は、場の方程式に固有のゲージ自由度から生じます。相互作用に対応する場はゲージ場である可能性があり、これは、それらがポテンシャルから導出できることを意味し、ポテンシャルの特定の値は、場の同じ値に対応します。

場の方程式は、古典的か量子的か、非相対論的か相対論的か、場のスピンや質量、場が持つ成分の数、座標変換によってどのように変化するか（例：スカラー場、ベクトル場、テンソル場、スピノル場、ツイスター場など）など、さまざまな方法で分類できます。また、微分方程式の分類（線形か非線形か、最高導関数の次数、さらには分数微分方程式）を継承することもできます。ゲージ場は、群論のように、アーベル的か非アーベル的 かに分類できます。

場の方程式は波動方程式の基礎となります。なぜなら、場が周期的に変化すると波が発生するからです。波動方程式は場の方程式から導出できることが多いという意味で、場の方程式と考えることができます。あるいは、適切なラグランジアン密度またはハミルトン密度を与え、定常作用の原理を使用すると、波動方程式も得ることができます。

例えば、マクスウェル方程式は不均質電磁波方程式を導くために使用でき、アインシュタイン場の方程式からは重力波の方程式を導くことができます。

物理学における偏微分方程式 (PDE) は、たとえ場が関係していても、必ずしもすべて自動的に「場の方程式」と呼ばれるわけではありません。場の方程式は、特定の物理システムに追加の制約を与えるための追加の方程式です。

「連続方程式」と「拡散方程式」は、輸送プロセスに影響を及ぼす場を含む可能性があるにもかかわらず、 輸送現象を説明します。

「構成方程式」が PDE の形式をとり、場を伴う場合、それは場の動的動作を規定しないため、通常は場方程式とは呼ばれません。それらは、特定の物質内の 1 つの場を別の場に関連付けます。物質の影響を考慮する必要がある場合は、構成方程式が場方程式とともに使用されます。

古典場方程式は、連続体力学（弾性力学や流体力学を含む）、熱伝達、電磁気学、重力において生じます。

基本的な古典場の方程式には以下が含まれる。

• 非相対論的重力に対するニュートンの万有引力の法則。
• 相対論的重力に関するアインシュタイン場の方程式
• 電磁気学のマクスウェル方程式。

基本法則から導かれる重要な方程式には以下のものがあります。

• 流体の流れに関するナビエ・ストークス方程式。

実際の数学的モデリングプロセスの一部として、古典的な場の方程式には、他の運動方程式、状態方程式、構成方程式、連続方程式 が伴います。

量子場理論では、粒子はシュレーディンガー方程式を満たす量子場によって記述されます。また、それらは交換関係を満たし、スピン統計定理に従う生成消滅演算子でもあります。

相対論的量子場方程式の特別な例としては^[5]がある。

• スピン0粒子に対するクライン・ゴルドン方程式
• スピン1/2粒子のディラック方程式
• 任意のスピンの粒子に対するバーグマン・ウィグナー方程式

量子場方程式では、粒子の位置座標の代わりに粒子の運動量成分を使用するのが一般的であり、場は運動量空間にあり、フーリエ変換によってそれらを位置表現に関連付けます。

• 電界強度
• 波動関数
  • 基本的な相互作用
  • フィールドカップリング
  • フィールドデカップリング
  • カップリングパラメータ
• 真空ソリューション

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