非デサルグ平面

数学において、非デザルグ平面とは、デザルグの定理（ジラール・デザルグにちなんで名付けられた）を満たさない射影平面（またはアフィン平面）のことです。言い換えれば、デザルグ平面ではない平面のことです。デザルグの定理は、次元が 2 でないすべての射影空間で成り立ちます。 ^{[ 1 ]}つまり、次元が 2 でない射影空間は、体（または可除環）上の古典的な射影幾何学のみです。しかし、デイヴィッド・ヒルベルトは、いくつかの射影平面がそれを満たさないことを発見しました。^{[ 2 ] [ 3 ]}これらの例に関する現在の知識は完全ではありません。^{[ 4 ]}

有限および無限の非デザルグ平面には多くの例がある。既知の無限非デザルグ平面の例としては、以下のようなものがある。

• モールトン飛行機。
• 結合法則を満たさない交代除法環上のムファン平面、例えば八元数上の射影平面など。有限交代除法環はすべて体であるため（アルティン・ゾルンの定理）、デサルグス型でないムファン平面は無限平面のみである。

有限非デザルグ平面に関して言えば、位数が最大で8の射影平面はすべてデザルグ平面であるが、位数が9の非デザルグ平面の例が3つあり、それぞれ91個の点と91本の線を持つ。^{[ 5 ]}それらは次のとおりである。

• 9次のヒューズ平面。
• 位数9のホール平面。ヴェブレンとウェダーバーンによって最初に発見されたこの平面は、マーシャル・ホールによって無限の平面族に一般化された。ホール平面は、より一般的なアンドレ平面のサブクラスである。
• 9次のホール平面の双対。

有限および無限の非デサルグ平面の他の多くの構成法が知られています。たとえば、Dembowski (1968)を参照してください。既知の有限非デサルグ平面の構成法はすべて、位数が真の素数のべき乗、つまりp ^eの形の整数である平面を生成します。ここで、 pは素数、eは 1 より大きい整数です。

ハンフリート・レンツは1954年に射影平面の分類体系を提示し^{[ 6 ]} 、 1957年にアドリアーノ・バルロッティによって改良された^{[ 7 ]。}この分類体系は、平面の共線群によって許容される点-線推移性のタイプに基づいており、射影平面のレンツ-バルロッティ分類として知られている。53種類のリストはデンボウスキー(1968 、pp. 124–125)に示されており、有限および無限の場合の両方について、当時知られていた存在結果(共線群と、そのような共線群を持つ平面の両方について)の表が126ページに掲載されている。2007年現在、「36種類が有限群として存在し、7～12種類が有限射影平面として存在し、14種類または15種類が無限射影平面として存在する」^{[ 4 ] 。} 

他の分類体系も存在する。最も単純なものの1つは、射影平面を座標化するために使用できる特殊なタイプの平面三項環（PTR）に基づいている。これらのタイプは、体、斜体、代替分割環、半体、近接体、右近接体、準体、右準体である。^{[ 8 ]}

デザルグ射影平面では、円錐曲線は等価であることが証明できるいくつかの異なる方法で定義できます。非デザルグ平面では、これらの証明はもはや有効ではなく、異なる定義によって等価でないオブジェクトが生じる可能性があります。^{[ 9 ]}セオドア・G・オストロムは、これらの円錐曲線のような図形にコニコイドという名前を提案しましたが、正式な定義は提供しておらず、この用語は広く使用されていないようです。^{[ 10 ]}

デサルグ平面において円錐曲線を定義する方法はいくつかあります。

1. 極性の絶対点の集合は、フォン・シュタウト円錐曲線として知られています。平面が標数2の体上で定義されている場合、退化円錐曲線のみが得られます。
2. 射影的に関連付けられているが透視的に関連付けられていない2つの線束の対応する直線の交点の集合は、シュタイナー円錐曲線として知られています。線束が透視的に関連付けられている場合、円錐曲線は退化します。
3. 座標が2次既約同次方程式を満たす点の集合。

さらに、有限デサルグ平面では：

4. PG(2, q )において、3 つの点が同一直線上にないq + 1 個の点の集合を楕円と呼びます。q が奇数の場合、セグレの定理により、 PG(2, q )における楕円は、上記の意味 3 の円錐曲線となります。
5. オストロム円錐曲線は、調和集合の一般化に基づいている。

Artzy は、フォン シュタウト円錐曲線ではない Moufang 平面上のシュタイナー円錐曲線の例を挙げている。^{[ 11 ]} Garner は、有限半体平面上のオストロム円錐曲線ではないフォン シュタウト円錐曲線の例を挙げている。^{[ 9 ]}

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