アフィン結合

数学では、x ₁、...、x _nの アフィン結合は線形結合である。

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot x_{i}}=\alpha _{1}x_{1}+\alpha _{2}x_{2}+\cdots +\alpha _{n}x_{n},}$

そのような

${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}}=1.}$

ここで、x ₁、...、x _{n は}体K上のベクトル空間の要素（ベクトル）であり、係数はKの要素です。 ${\displaystyle \alpha_{i}}$

元x ₁ , ..., x _nはユークリッド空間の点、より一般的には体K上のアフィン空間の点にもなり得ます。この場合、 はK (またはユークリッド空間の場合)の元であり、アフィン結合も点です。この場合の定義については、 アフィン空間 § アフィン結合と重心を参照してください。${\displaystyle \alpha_{i}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

この概念はユークリッド幾何学とアフィン幾何学において基本的なものです。なぜなら、点の集合のすべてのアフィン結合の集合は、点を含む最小のアフィン空間を形成するからです。これは、ベクトルの集合の線型結合が線型スパンを形成するのとまったく同じです。

アフィン結合は任意のアフィン変換 Tと可換であり、

${\displaystyle T\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot x_{i}}=\sum _{i=1}^{n}{\alpha _{i}\cdot Tx_{i}}.}$

特に、与えられたアフィン変換の不動点の任意のアフィン結合は の不動点でもあるので、 の不動点の集合はアフィン空間(3D では線または平面、自明なケースでは点または空間全体)を形成します。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

確率行列Aが列ベクトルb →に作用すると、結果は、b →とAの行の係数とのアフィン結合を要素とする列ベクトルになります。

• 凸結合
• 円錐形の組み合わせ
• 線形結合

• アフィン空間
• アフィン幾何学
• アフィン包

• ガリエ、ジャン（2001）、幾何学的方法と応用、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-95044-0第2章を参照してください。

• アフィン組み合わせに関する注記。