射影関数

数学において、全射関数（しょうしゅうかんすう、英: surjective function 、または/ ˈɒ n.t uː /上への関数 とも呼ばれる）は、関数fにおいて、その関数の共域のすべての要素yに対して、関数の定義域に少なくとも1 つの要素xが存在し、 f ( x ) = y が成立するような関数である。言い換えると、関数f  : X → Yに対して、共域Y は関数の定義域Xの像である。 [ ^{1] [2]} xが一意である必要はなく、関数f はXの 1 つ以上の要素をYの同じ要素に写像することができる。

射影的という用語と、それに関連する単射的および全単射的という用語をニコラ・ブルバキ^{[3] [4]}が導入した。ブルバキは主にフランスの20世紀の数学者グループで、このペンネームで1935年から現代の高度な数学の解説書を執筆した。フランス語のsurは「～の上」または「 ～より上」を意味し、射影関数の定義域の像が関数の余域を完全に覆うという事実に関係している。

任意の関数は、その余域をその定義域の像に制限することによって全射を誘導します。選択公理を仮定すると、すべての全射関数には右逆関数があり、右逆関数を持つすべての関数は必然的に全射です。全射関数の合成は常に全射です。任意の関数は、全射と単射に分解できます。

全射関数とは、その像がその余域に等しい関数のことである。同様に、 の任意の に対して となるが少なくとも一つ で存在するとき、その関数は全射であるという。^[1]全射は、のように、2 つの右向き矢印 ( U+ 21A0 ↠ RIGHTWARDS TWO HEADED ARROW ) ^[5]で表されることがある。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle y}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f(x)=y}$ ${\displaystyle f\colon X\twoheadrightarrow Y}$

象徴的に言えば、

ならば、 は射影的であると言えるのは、${\displaystyle f\colon X\rightarrow Y}$${\displaystyle f}$

${\displaystyle \forall y\in Y,\,\exists x\in X,\;\;f(x)=y}$. ^{[2] [6]}

• 任意の集合Xに対して、X上の恒等関数id _Xは射影的です。
• f ( n ) = n mod 2（つまり、偶数は0に、奇数は1にマッピングされる）で定義される関数f  : Z → {0, 1}は全射である。
• f ( x ) = 2 x + 1で定義される関数f  : R → Rは全射（さらには全単射）です。これは、すべての実数yに対して、 f ( x ) = yとなるx が存在するためです。そのような適切なxは ( y − 1)/2 です。
• f ( x ) = x ³ − 3 xで定義される関数f  : R → Rは全射です。これは、任意の実数yの逆像が 3 次多項式方程式x ³ − 3 x − y = 0の解集合であり、実係数を持つすべての 3 次多項式が少なくとも 1 つの実根を持つためです。ただし、この関数は単射ではありません(したがって全単射でもありません)。たとえば、y = 2 の逆像は { x = −1, x = 2} です (実際、この関数のすべてのy、 −2 ≤ y ≤ 2に対する逆像には複数の要素があります)。
• g ( x ) = x ²で定義される関数g  : R → Rは、 x ² = −1となる実数xが存在しないことから、全射ではありません。しかし、g ( x ) = x ² (制限された共役領域を持つ)で定義される関数g  : R → R _≥0は、非負の実共役領域Yのすべてのyに対して、実領域Xにx ² = yとなるxが少なくとも 1 つ存在することから、全射です。
• 自然対数関数ln : (0, +∞) → R は全射かつ全単射です（正の実数の集合からすべての実数の集合への写像）。その逆関数である指数関数は、実数の集合を定義域と共域として定義される場合、全射ではありません（その値域は正の実数の集合であるため）。
• 指数行列は、すべてのn × n 行列の空間からそれ自身への写像として見ると、射影的ではありません。ただし、通常は、すべてのn × n行列の空間からn次一般線型群(つまり、すべてのn × n可逆行列の群) への写像として定義されます。この定義では、指数行列は複素行列に対しては射影的ですが、実数行列に対してはまだ射影的ではありません。
• デカルト積A × Bからその因子の 1 つへの射影は、他の因子が空でない限り、全射です。
• 3D ビデオ ゲームでは、ベクトルは射影関数によって 2D のフラット スクリーンに投影されます。

関数が全単射となるのは、それが全射かつ単射である場合のみです。

（よく行われるように）関数がそのグラフと同一視される場合、全射性は関数自体の特性ではなく、写像の特性になります。^[7]これは、関数とその共域の組み合わせです。単射性とは異なり、全射性は関数のグラフだけから読み取ることはできません。

関数g  : Y → X は、 Yの任意のyに対してf ( g ( y )) = yである( g はfによって元に戻せる)場合、関数f  : X → Yの右逆関数であると言えます。言い換えると、gとfの合成f o gがgのドメインY上の恒等関数である場合、 gはfの右逆関数です。関数gは、他の順序での合成g o fが fのドメインX上の恒等関数ではない可能性があるため、 fの完全な逆関数である必要はありません。言い換えると、f はgを元に戻す (つまり「元に戻す」)ことができますが、必ずしも g によって元に戻されるわけではありません。

右逆関数を持つすべての関数は、必然的に全射です。すべての全射関数に右逆関数があるという命題は、選択公理と同等です。

f  : X → Yが全射でB がYのサブセットである場合、f ( f ⁻¹ ( B )) = Bです。したがって、B はその逆像f ⁻¹ ( B )から復元できます。

たとえば、ギャラリーの最初の図では、g ( C ) = 4となる関数gが存在します。また、 f (4) = Cとなる関数f も存在します。 gが一意でなくても問題ありません( g ( C ) が 3 の場合でも機能します)。重要なのは、 f がg を 「反転」することだけです。

関数f  : X → Yが全射であるための必要十分条件は、右相殺的であることである。^[8]任意の関数g , h  : Y → Zが与えられたとき、g o f = h o fであればいつでも、g = hである。この性質は、関数とその合成に関して定式化され、より一般的なカテゴリの射とその合成の概念に一般化できる。右相殺的射はエピモーフィズムと呼ばれる。特に、全射関数は、集合のカテゴリにおけるエピモーフィズムとまったく同じである。接頭辞epi は、上、上、上のを意味するギリシャ語の前置詞ἐπίに由来する。

右逆を持つ射はいずれもエピモーフィズムですが、その逆は一般には成り立ちません。射fの右逆g はfの切断と呼ばれます。右逆を持つ射は分割エピモーフィズムと呼ばれます。

定義域Xと共定義域Y を持つ任意の関数は、その関数グラフと同一視することで、XとY の間の左全かつ右一意の二項関係として見ることができます。定義域Xと共定義域Yを持つ全射関数は、右一意で、左全かつ右全であるXとYの間の二項関係です。

射影関数の定義域の濃度は、その共域の濃度以上です。つまり、f  : X → Yが射影関数である場合、Xには、基数の意味で、少なくともYと同じ数の要素があります。(証明では、選択公理を利用して、 Yのすべてのyに対してf ( g ( y )) = y を満たす関数 g  : Y → X が存在することを示します。gは単射であることが簡単にわかるため、| Y | ≤ | X | の正式な定義が満たされます。)

具体的には、 XとY の両方が有限で要素数が同じである場合、 f  : X → Yは、 fが単射である場合に限り、射影的です。

2 つの集合XとY が与えられたとき、 X ≤ ^* Yという表記は、 Xが空であるか、 YからXへの全射が存在するかのいずれかを表すために使用されます。選択公理を使用すると、X ≤ ^* YとY ≤ ^* Xを合わせると、シュレーダー・ベルンシュタインの定理の変形である| Y | = | X |であることが示されます。

射影関数の合成は常に射影的です。つまり、 fとgが両方とも射影的で、gの余域がfの域に等しい場合、f o gは射影的です。逆に、f o gが射影的であれば、fは射影的です (ただし、最初に適用される関数gは、必ずしも射影的である必要はありません)。これらの特性は、集合のカテゴリの全射から、任意のカテゴリの任意のエピモフィズムに一般化されます。

任意の関数は、全射と単射に分解できます。任意の関数h  : X → Zに対して、全射f  : X → Yと単射g  : Y → Zが存在し、 h = g o fとなります。これを確認するには、Y を、z がh ( X )に含まれる逆像 h ⁻¹ ( z )の集合として定義します。これらの逆像は互いに素であり、X を分割します。次に、f は各x をそれを含むYの要素に運び、g はYの各要素を、 h がその点を送るZの点に運びます。次に、f は射影マップであるため全射であり、g は定義により単射です。

任意の関数は、その余域をその値域に制限することによって全射を誘導します。任意の全射関数は、与えられた固定像に写像するすべての引数を縮小することによって、その定義域の商で定義される全単射を誘導します。より正確には、すべての全単射f  : A → B は、次のように全単射が続く射影として因数分解できます。A /~ を、次の同値関係: x ~ yの場合に限り、f ( x ) = f ( y ) の下でのAの同値類とします。同様に、 A /~ は、 f の下でのすべての逆像の集合です。P (~) : A → A /~ を、 Aの各xをその同値類 [ x ] _~に送る射影マップとし、f_{​​ P}  : A /~ → Bを、 f _P ([ x ] _~ ) = f ( x )によって与えられる明確に定義された関数とします。このとき、f = f _P o P (~) です。

固定された有限集合AとB が与えられると、全射の集合A ↠ Bを形成できます。この集合の濃度は、ロータの12 通りの方法の 12 の側面の 1 つであり、 によって与えられます。ここで、 は第 2 種のスターリング数 を表します。 ${\textstyle |B|!{\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}}}$${\textstyle {\begin{Bmatrix}|A|\\|B|\end{Bmatrix}}}$

• 
  射影合成: 最初の関数は射影的である必要はありません。
• 
  デカルト平面における非全射関数。関数の一部は全射であり、Yの要素yはXで値xを持ち、 y = f ( x )となりますが、一部は全射ではありません。左: Yにはy ₀がありますが、 Xにはy ₀ = f ( x ₀ )となるx ₀はありません。右: Yにはy ₁、y ₂、y _{3 が}ありますが、Xには y 1 ₌ f ( x 1 ₎、y ₂ = f ( x ₂ )、y ₃ = f ( x ₃ )となるx ₁、x ₂、x ₃はありません。
• 
  デカルト平面における全射関数の解釈。写像f  : X → Yによって定義されます。ここで、y = f ( x )、X = 関数のドメイン、Y = 関数の値域です。値域内のすべての要素は、ルールfによって、ドメイン内の要素から に写像されます。同じ値域要素に写像されるドメイン要素が複数存在する場合があります。つまり、Y内のすべてのy はX内の要素xから写像され、複数のx が同じyに写像される可能性があります。左: f を全射にする 1 つのドメインのみが表示されています。右: 2 つの可能なドメインX ₁とX ₂が表示されています。

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• 全単射、単射、全射
• カバー（代数）
• カバーマップ
• 列挙
• 繊維束
• インデックスセット
• セクション（圏論）

• ブルバキ、N. (2004) [1968]. 集合論.数学の要素. 第1巻. シュプリンガー. doi :10.1007/978-3-642-59309-3. ISBN 978-3-540-22525-6LCCN  2004110815 。