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幾何学において、射影空間Pの任意の超平面H は無限遠の超平面とみなすことができます。このとき、補集合P ∖ Hはアフィン空間と呼ばれます。例えば、( x 1 , ..., x n , x n +1 )がn次元射影空間の同次座標である場合、方程式x n +1 = 0 は、座標( x 1 , ..., x n )を持つn次元アフィン空間の無限遠の超平面を定義します。Hは理想超平面とも呼ばれます。
同様に、アフィン空間Aから出発して、平行線のすべてのクラスを無限遠点に対応付けることができます。すべての平行線のクラスの和集合は、無限遠点の超平面の点を構成します。この超平面の点 (理想点と呼ばれる) をAに付加すると、実射影空間R P nのようなn次元射影空間に変換されます。
これらの理想点を加えることで、アフィン空間A全体が射影空間Pに完成され、これはAの射影完成と呼ばれることがあります。Aの各アフィン部分空間Sは、Sに含まれる直線の方向に対応するすべての理想点をSに加えることで、 Pの射影部分空間に完成されます。結果として得られる射影部分空間は、無限部分空間または理想部分空間（無限における超平面の部分空間ですが、これらは射影空間であってアフィン空間ではありません）とは対照的に、射影空間 P のアフィン部分空間と呼ばれることがよくあります。
射影空間では、次元kの各射影部分空間は、次元がk − 1である「無限遠」の射影部分空間で理想超平面と交差します。
平行でない一対のアフィン超平面は、次元n − 2のアフィン部分空間で交差するが、平行な一対のアフィン超平面は、理想超平面の射影部分空間で交差する（交点は理想超平面上にある）。したがって、アフィン空間では交わらなかった平行な超平面も、無限遠点に超平面が加わることで、射影完備化空間では交差するようになる。