モジュールの直接和

抽象代数学において、直和とは、複数の加群を組み合わせてより大きな新しい加群を構成したものです。加群の直和は、与えられた加群を部分加群として含む最小の加群であり、不必要な制約はありません。そのため、直和は余積の一例となります。双対概念である直積とは対照的です。

この構成の最もよく知られた例は、ベクトル空間（体上の加群）とアーベル群（整数環Z上の加群）を考える際に現れる。この構成は、バナッハ空間やヒルベルト空間にも拡張できる。

モジュールをサブモジュールの直接和として記述する方法については、「モジュールの分解」の記事を参照してください。

ベクトル空間とアーベル群の構成

まず、対象が2つしかないという前提のもと、これら2つのケースにおける構成法を示します。次に、任意のモジュールの任意のファミリーへと一般化します。これら2つのケースを深く考察することで、一般的な構成法の重要な要素がより明確に特定されます。

2つのベクトル空間の構成

VとWを体K上のベクトル空間とします。デカルト積V × Wは、演算を成分ごとに定義することにより、K上のベクトル空間の構造を与えることができます（Halmos 1974 、§18）。

( v1 , w1 ) ₊( v2 , w2 ₎ = ( v1 + _v2 , w1 ₊w2 )
α ( v , w ) = ( α v , α w )

v、v ₁、v ₂ ∈ V、w、w ₁、w ₂ ∈ W、およびα ∈ K の場合。

結果として得られるベクトル空間は、VとWの直和と呼ばれ、通常は円の中にプラス記号で表されます。 $V\oplus W$

順序付き和の要素は、順序対 ( v , w ) ではなく、和v + wとして書くのが一般的です。

V ⊕ Wの部分空間V × {0} はVと同型であり、しばしばVと同一視されます。同様に、{0} × WとWについても同様です。（下記の内部直和を参照。）この同一視により、V ⊕ Wのすべての要素は、 Vの要素とWの要素の和として、ただ 1 つの方法で表すことができます。V ⊕ Wの次元は、VとWの次元の和に等しくなります。基本的な用途の 1 つは、任意の部分空間Wとその直交補空間から有限ベクトル空間を再構成することです。 $\displaystyle \mathbb {R} ^{n}=W\oplus W^{\perp }}$

この構成は、任意の有限個のベクトル空間に容易に一般化できる。

2つのアーベル群の構成

加法的に記述されるアーベル群GとHの場合、 GとHの直積は直和とも呼ばれます( Mac Lane & Birkhoff 1999 、§V.6)。したがって、デカルト積G × Hは、演算を要素ごとに定義することにより、アーベル群の構造を備えています。

( g1 , h1 ) + ( g2 , h2 ₎ = ( g1 ₊g2 , _h1₊h2 )

Gのg ₁、g ₂およびHのh ₁、h ₂について。

整数倍は同様に成分ごとに定義される。

n ( g , h ) = ( ng , nh )

gはGの要素、hはHの要素、n は整数である。これは、ベクトル空間のスカラー積を上記の直和に拡張したものと類似している。

結果として得られるアーベル群はGとHの直和と呼ばれ、通常は円の中にプラス記号で表されます。 $G\oplus H$

順序付き和の要素は、順序対 ( g , h ) ではなく、和g + hとして書くのが一般的です。

G ⊕ Hの部分群G × {0} はGと同型であり、しばしばGと同一視されます。同様に、{0} × HとHについても同様です。（下記の内部直和を参照。）この同一視により、 G ⊕ Hのすべての要素は、 Gの要素とHの要素の和として、ただ 1 つの方法で表すことができます。G ⊕ Hのランクは、GとHのランクの和に等しくなります。

この構成は、任意の有限個のアーベル群に容易に一般化できる。

任意のモジュール群の構築

2 つのベクトル空間の直和と 2 つのアーベル群の直和の定義には明らかな類似性があることに気づくべきである。実際、それぞれは 2 つのモジュールの直和の構成の特殊な場合である。さらに、定義を修正することで、無限族のモジュールの直和にも対応できる。正確な定義は次のとおりである( Bourbaki 1989 、§II.1.6)。

R を環とし、{ M i _: i ∈ I }を集合Iによって添え字付けられた左R加群の族とする。このとき、 { M _i } の直和は、すべてのシーケンスの集合として定義される。 $(\alpha _{i})$ どこ $\displaystyle \alpha _{i}\in M_{i}}$ そして $\displaystyle \alpha _{i}=0}$ 添え字iは有限個である。（直積も同様だが、添え字が有限個ゼロである必要はない。）

また、これは、 IからモジュールM _iの非交和への関数αとして定義することもできます。ただし、すべてのi ∈ Iに対して α( i ) ∈ M _iであり、有限個のインデックスiに対してα( i ) = 0 となります。これらの関数は、インデックス集合I上のファイバー束の有限サポートセクションと同等に考えることができ、ファイバーは $i\in I$ いる $M_{i}$ 。

この集合は、要素ごとの加算とスカラー乗算によってモジュール構造を継承します。具体的には、このような2つのシーケンス（または関数）αとβは、次のように記述することで加算できます。 $(\alpha +\beta )_{i}=\alpha _{i}+\beta _{i}$ すべてのiに対して (これは有限個のインデックスを除いて再びゼロになることに注意してください)、このような関数は、次のように定義することにより、Rの要素rと乗算できます。 $r(\alpha )_{i}=(r\alpha )_{i}$ すべてのiについて。このようにして、直和は左R加群となり、次のように表記されます。 $\bigoplus _{i\in I}M_{i}.$

シーケンスを記述するのが慣例です $(\alpha _{i})$ 合計として $\displaystyle \sum \alpha _{i}}$ . 時には、準備された総和 $\sum '\alpha _{i}$ これは、項のうち有限個がゼロであることを示すために使用されます。

不動産

直和は、モジュールM _iの直積の部分モジュールです( Bourbaki 1989 、§II.1.7)。直積は、IからモジュールM _iの非交和へのすべての関数αの集合であり、 α ( i )∈ M _iですが、有限個のiを除いて必ずしもゼロになるわけではありません。インデックス集合Iが有限の場合、直和と直積は等しくなります。
各モジュールM _{i は}、 iと異なるすべてのインデックスでゼロになる関数からなる直和のサブモジュールと同一視できます。これらの同一視により、直和のすべての要素x は、モジュールM _iからの有限個の要素の和として、ただ 1 つの方法で記述できます。
M _iが実際にベクトル空間である場合、直和の次元はM _iの次元の和に等しくなります。アーベル群のランクとモジュールの長さについても同様です。
体K上の任意のベクトル空間は、 Kの十分な数の直和と同型であるため、ある意味ではこれらの直和だけを考慮すればよい。これは任意の環上の加群には当てはまらない。
テンソル積は、次の意味で直和に対して分配法則を持ちます。N が何らかの右 R 加群である場合、 NとM iの_テンソル積(これらはアーベル群です)の直和は、 NとM _iの直和のテンソル積と自然に同型になります。
直和は交換法則と結合法則（同型を除いて）を満たすため、直和を構成する順序は関係ありません。
直和から左R加群LへのR線形準同型のアーベル群は、M _iからLへのR線形準同型のアーベル群の直積と自然に同型である。 $\operatorname {Hom} _{R}{\biggl (}\bigoplus _{i\in I}M_{i},L{\biggr )}\cong \prod _{i\in I}\operatorname {Hom} _{R}\left(M_{i},L\right).$ 実際、左辺から右辺への準同型写像τが存在することは明らかであり、 τ ( θ )( i )はx∈M iをθ ( x )に写すR線形準同型写像である（ M _iを直和に自然に含めることを用いる）。準同型写像τの逆写像は次のように定義される_。 $\tau ^{-1}(\beta )(\alpha )=\sum _{i\in I}\beta (i)(\alpha (i))$ モジュールM _iの直和における任意のαに対して。重要な点は、 α ( i ) は有限個のiを除いてすべてゼロであるため、和が有限であることから、 τ ⁻¹の定義が意味を持つということです。
特に、ベクトル空間の直和の双対ベクトル空間は、それらの空間の双対の直積と同型である。
有限個のモジュールの直和は双積である： $p_{k}:A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}\to A_{k}$ は正準射影写像であり、 $i_{k}:A_{k}\mapsto A_{1}\oplus \cdots \oplus A_{n}$ 包含マッピングは、 $i_{1}\circ p_{1}+\cdots +i_{n}\circ p_{n}$ A ₁ ⊕ ⋯ ⊕ A _nの恒等射に等しく、 $p_{k}\circ i_{l}$ l = kの場合、はA _kの恒等射であり、それ以外の場合はゼロ写像である。

内部直接合計

MをR加群とし、Iの各iについてMの部分加群をM _iとする。Mのすべてのxを、M _iの有限個の要素の和としてちょうど 1 通りの方法で表すことができる場合、 M は部分加群M _iの内部直和であると言う( Halmos 1974 、§18)。この場合、M は、上記で定義したM _iの (外部) 直和と自然に同型である( Adamson 1972 、p.61)。

Mの部分加群NがMの直和因子であるとは、 Mの別の部分加群N′ が存在し、 M がNとN′の内部直和となる場合をいう。この場合、NとN′は相補部分加群と呼ばれる。

普遍的な財産

圏論の言葉で言えば、直和は左R加群の圏における余積であり、したがって余極限である。これは、直和が次の普遍性によって特徴付けられることを意味する。Iの任意のiに対して、自然な埋め込みを考える。

j_{i}:M_{i}\rightarrow \bigoplus _{i\in I}M_{i}

これは、 M _iの要素を、i以外のすべての引数に対してゼロとなる関数に送る。ここで、M を任意のR加群とし、 f _i : M _i → M を任意のR線形写像とすると、 R線形写像はちょうど 1 つ存在する。

f:\bigoplus _{i\in I}M_{i}\rightarrow M

すべてのiに対してf o j _i = f _iとなる。

グロタンディーク・グループ

直和は、オブジェクトの加算は定義されるが減算は定義されないという点で、オブジェクトの集合に可換モノイドの構造を与える。実際には減算を定義することができ、すべての可換モノイドはアーベル群に拡張できる。この拡張はグロタンディーク群として知られている。この拡張は、オブジェクトのペアの同値類を定義することによって行われ、特定のペアを逆元として扱うことができる。グロタンディーク群に関する記事で詳しく説明されているこの構成は、「普遍的」である。つまり、一意性を持ち、可換モノイドの他のアーベル群への埋め込みと同型であるという普遍的な性質を持つ。

追加構造を持つモジュールの直接合計

検討対象のモジュールが何らかの追加構造（例えば、ノルムや内積）を持つ場合、モジュールの直和も多くの場合、この追加構造を持つようにすることができます。この場合、追加構造を持つすべての対象の適切なカテゴリにおける余積が得られます。代表的な例として、バナッハ空間とヒルベルト空間が挙げられます。

古典的な文献^{[ 1 ]}では体上の代数の「直和」と呼ばれているものは、現在では代数の直積と呼ばれています。これらについては直積に関する記事を参照してください。

バナッハ空間の直和

2つのバナッハ空間の直和 $X$ そして $Y$ は直接合計です $X$ そして $Y$ ベクトル空間とみなされ、ノルムは $\|(x,y)\|=\|x\|_{X}+\|y\|_{Y}$ すべての人々のために $x\in X$ そして $y\in Y.$

一般的に、もし $X_{i}$ はバナッハ空間の集合であり、 $i$ インデックスセットを走査する $I,$ そして直接合計 $\bigoplus _{i\in I}X_{i}$ すべての関数で構成されるモジュールです $x$ 定義済み $I$ そのため $x(i)\in X_{i}$ すべての人々のために $i\in I$ そして $\sum _{i\in I}\|x(i)\|_{X_{i}}<\infty .$

ノルムは上記の和によって与えられる。このノルムとの直和は、再びバナッハ空間となる。

例えば、インデックスセットを取ると $I=\mathbb {N}$ そして $X_{i}=\mathbb {R} ,$ そして直接合計 $\bigoplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}$ 空間は $\ell _{1},$ すべてのシーケンスから構成される $\left(a_{i}\right)$ 有限ノルムを持つ実数 ${\textstyle \|a\|=\sum _{i}\left|a_{i}\right|.}$

閉じた部分空間 $A$ バナッハ空間の $X$ 別の閉部分空間が存在する場合は補完される。 $B$ の $X$ そのため $X$ 内部直接和に等しい $A\oplus B.$ すべての閉部分空間が補空間であるわけではないことに注意してください。例： $c_{0}$ 補語ではない $\ell ^{\infty }.$

双線形形式を持つモジュールの直和

させて $\left\{\left(M_{i},b_{i}\right):i\in I\right\}$ 家族としてインデックス付けされる $I$ 双線形形式を備えたモジュールの直和。直交直和は双線形形式を備えたモジュール直和である。 $B$ ^[²^]で定義される $B\left({\left({x_{i}}\right),\left({y_{i}}\right)}\right)=\sum _{i\in I}b_{i}\left({x_{i},y_{i}}\right)$ 無限のインデックス集合に対しても総和が意味を持つ $I$ なぜなら、非ゼロの項は有限個しかないからである。

ヒルベルト空間の直和

有限個のヒルベルト空間 $H_{1},\ldots ,H_{n}$ これらが与えられた場合、上記のように直交直和を構成することができ（これらはベクトル空間であるため）、内積を次のように定義する。 $\left\langle \left(x_{1},\ldots ,x_{n}\right),\left(y_{1},\ldots ,y_{n}\right)\right\rangle =\langle x_{1},y_{1}\rangle +\cdots +\langle x_{n},y_{n}\rangle .$

結果として得られる直和は、与えられたヒルベルト空間を互いに直交する部分空間として含むヒルベルト空間である。

無限に多くのヒルベルト空間 $H_{i}$ のために $i\in I$ が与えられれば、同じ構成を実行できます。内積を定義する際には、有限個の項のみが非ゼロになることに注意してください。ただし、結果は内積空間にすぎず、必ずしも完備ではありません。次に、ヒルベルト空間の直和を定義します。 $H_{i}$ この内部製品空間の完成形となること。

あるいは、同等に、ヒルベルト空間の直和を定義することもできる。 $H_{i}$ 定義域を持つすべての関数 α の空間として $I,$ そのため $\alpha (i)$ は $H_{i}$ すべての $i\in I$ そして： $\sum _{i}\left\|\alpha _{(i)}\right\|^{2}<\infty .$

このような2つの関数αとβの内積は、次のように定義されます。 $\langle \alpha ,\beta \rangle =\sum _{i}\langle \alpha _{i},\beta _{i}\rangle .$

この空間は完成し、ヒルベルト空間が得られます。

例えば、インデックスセットを取ると $I=\mathbb {N}$ そして $X_{i}=\mathbb {R} ,$ そして直接合計 $\oplus _{i\in \mathbb {N} }X_{i}$ 空間は $\ell _{2},$ すべてのシーケンスから構成される $\left(a_{i}\right)$ 有限ノルムを持つ実数 ${\textstyle \|a\|={\sqrt {\sum _{i}\left\|a_{i}\right\|^{2}}}.}$ これをバナッハ空間の例と比較すると、バナッハ空間の直和とヒルベルト空間の直和は必ずしも同じではないことがわかります。しかし、被加数が有限個しかない場合は、ノルムは異なりますが、バナッハ空間の直和はヒルベルト空間の直和と同型になります。

すべてのヒルベルト空間は、十分多くの基本体の直和と同型であり、それは以下のいずれかである。 $\mathbb {R} {\text{ or }}\mathbb {C} .$ これは、すべてのヒルベルト空間が正規直交基底を持つという主張と同等である。より一般的に言えば、ヒルベルト空間のすべての閉部分空間は直交補空間を持つため、補空間である。逆に、リンデンシュトラウス・ツァフリリの定理は、バナッハ空間のすべての閉部分空間が補空間であるならば、バナッハ空間は（位相的に）ヒルベルト空間と同型であると主張している。

参考文献

↑ Wedderburn , JHM (1934).行列に関する講義. アメリカ数学会. p. 151.
↑ミルナー、J. ;ヒューゼモラー、D. (1973)。対称双線形形式。Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 Vol. 73.シュプリンガー・フェルラークページ4–5。ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 .

アダムソン、イアン・T. (1972)、初等環と加群、大学数学テキスト、オリバー・アンド・ボイド、ISBN 0-05-002192-3。
ブルバキ、ニコラ（1989）、『数学の基礎、代数学I』、シュプリンガー・フェルラーク、ISBN 3-540-64243-9。
ダミット、デイビッド・S.、フット、リチャード・M. (1991) 『抽象代数学』、ニュージャージー州エングルウッド・クリフス：プレンティス・ホール社、ISBN 0-13-004771-6。
Halmos、Paul (1974)、有限次元ベクトル空間、Springer、ISBN 0-387-90093-4
Mac Lane, S. ; Birkhoff, G. (1999), Algebra , AMS Chelsea, ISBN 0-8218-1646-2。

[1] Wedderburn , JHM (1934).行列に関する講義. アメリカ数学会. p. 151.

[2] ミルナー、J. ;ヒューゼモラー、D. (1973)。対称双線形形式。Ergebnisse der Mathematik および ihrer Grenzgebiete。 Vol. 73.シュプリンガー・フェルラークページ4–5。ISBN 3-540-06009-X. Zbl 0292.10016 .

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