基底（線形代数）

数学では、ベクトル空間V内のベクトルの集合 B は、 Vのすべての要素がBの要素の有限線形結合として一意に表せる場合、基底(複数形:基底)と呼ばれます。この線形結合の係数は、 Bに関するベクトルの成分または座標と呼ばれます。基底の要素は、 基底ベクトル。

同様に、集合Bが基底であるとは、その要素が線型独立であり、 Vのすべての要素がBの要素の線型結合である場合である。^[1]言い換えれば、基底は線型独立な全域集合である。

ベクトル空間には複数の基底が存在することがありますが、すべての基底にはベクトル空間の 次元と呼ばれる同じ数の要素があります。

この記事では主に有限次元ベクトル空間を扱います。ただし、多くの原理は無限次元ベクトル空間にも当てはまります。

基底ベクトルは結晶構造や参照フレームの研究に応用されています。

体F上のベクトル空間Vの基底 B (実数Rや複素数Cなど) は、Vを張るVの線形独立な部分集合です。つまり、Vの部分集合B は、次の 2 つの条件を満たす場合、基底となります。

線形独立性

Bの任意の有限部分集合に対して、Fのいずれかに対してであれば、${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{m}\}}$${\displaystyle c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{m}\mathbf {v} _{m}=\mathbf {0} }$${\displaystyle c_{1},\dotsc ,c_{m}}$${\displaystyle c_{1}=\cdots =c_{m}=0}$

スパニングプロパティ

V内の任意のベクトルvに対して、 F内およびB内でとなるものを選択できます。${\displaystyle a_{1},\dotsc ,a_{n}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{1},\dotsc ,\mathbf {v} _{n}}$${\displaystyle \mathbf {v} =a_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +a_{n}\mathbf {v} _{n}}$

スカラーは基底 Bに対するベクトルvの座標と呼ばれ、最初の特性によって一意に決定されます。 ${\displaystyle a_{i}}$

有限の基底を持つベクトル空間は有限次元と呼ばれます。この場合、有限部分集合をB自体としてとることで、上記の定義における線型独立性をチェックできます。

基底ベクトルに順序を付けると便利な場合や、場合によっては必要になる場合がよくあります。たとえば、方向について議論する場合や、基底要素を明示的に参照せずに基底に関するベクトルのスカラー係数を検討する場合などです。この場合、各係数を対応する基底要素に関連付けるために順序付けが必要です。この順序付けは、基底要素に番号を付けることによって行うことができます。順序が選択されたことを強調するために、順序付き基底について言及します。これは、したがって、単なる構造化されていないセットではなく、シーケンス、インデックス付きファミリ、または同様のものになります。以下の § 順序付き基底と座標 を参照してください。

実数の順序付きペアの集合R ²は、任意の実数である成分ごとの加算とスカラー乗算の演算の下でのベクトル空間です。このベクトル空間の単純な基底は、2つのベクトル e 1 = (1, 0) と e 2 = (0, 1) で構成されます 。 これら の ベクトル_は、 R 2_の任意のベクトル v = ( a , b ) が次のように一意に記述できるため、基底（標準基底と呼ばれる）を形成します。^R 2のその他の線形独立ベクトルのペア、たとえば⁽ 1 , 1)や(−1, 2)も、 R ²の基底を形成します。 $${\displaystyle (a,b)+(c,d)=(a+c,b+d)}$$$${\displaystyle \lambda (a,b)=(\lambda a,\lambda b),}$$${\displaystyle \lambda}$$${\displaystyle \mathbf {v} =a\mathbf {e} _{1}+b\mathbf {e} _{2}.}$$

より一般的には、Fが体である場合、 Fのn組の元の集合は、同様に定義された加算とスカラー乗算のベクトル空間です。を、 i番目だけが 1 である以外のすべての要素が 0 であるn組とします。すると、 はの基底となり、これは の標準基底と呼ばれます。${\displaystyle F^{n}}$$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}=(0,\ldots ,0,1,0,\ldots ,0)}$$${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$${\displaystyle F^{n},}$${\displaystyle F^{n}.}$

異なる趣の例は、多項式環によって与えられます。F が体である場合、Fに係数を持つ1 つの不定元Xのすべての多項式の集合F [ X ]は、 Fベクトル空間です。この空間の 1 つの基底は、すべての単項式で構成される単項式基底Bです。各次数にちょうど 1 つの多項式が存在するような多項式の集合 (ベルンシュタイン基底多項式やチェビシェフ多項式など) も基底です。 (このような多項式の集合は、多項式列と呼ばれます。) しかし、この形式ではないF [ X ]の基底も多数存在します。 $${\displaystyle B=\{1,X,X^{2},\ldots \}.}$$

有限基底の多くの性質は、シュタイニッツの交換補題から生じます。シュタイニッツの交換補題は、任意のベクトル空間Vについて、有限全域集合 SとVのn個の要素からなる線型独立集合L が与えられたとき、 Sの適切に選ばれたn個の要素をLの要素で置き換えることで、 L を含み、 L のその他の要素がSに含まれ、Sと同じ数の要素を持つ全域集合を得ることができるというものです。

シュタイニッツ交換補題から生じる性質のほとんどは有限の全域集合が存在しない場合には真のままであるが、無限の場合の証明には通常選択公理またはそのより弱い形式、例えば超フィルタ補題が必要である。

V が体F上のベクトル空間である場合、次のようになります。

• L が全域集合S ⊆ Vの線型独立部分集合である場合、基底Bが存在し、$${\displaystyle L\subseteq B\subseteq S.}$$
• V には基底があります（これは、L が空集合であり、S = Vである場合の前述の性質です）。
• Vのすべての基数は同じ濃度を持ち、これをVの次元と呼びます。これが次元定理です。
• 生成集合SがVの基底となるのは、それが最小である場合のみです。つまり、Sの適切な部分集合は、 Vの生成集合でもありません。
• 線型独立集合L は、それが最大であるとき、つまり、任意の線型独立集合の適切な部分集合でないときにのみ基底となります。

V がn次元のベクトル空間である場合、次のようになります。

• n個の要素を持つVのサブセットは、線形独立である場合にのみ基底となります。
• n個の要素を持つVの部分集合は、それがVの全域集合である場合にのみ基底となります。

V を体F上の有限次元nのベクトル空間とし、を V の基底とする。基底の定義により、Vのすべてのv は一意に次のように表記される。 ここで係数はスカラー（つまり、Fの元）であり、これをB上のvの座標と呼ぶ。しかし、係数の集合について話す場合、係数と基底元との対応が失われ、複数のベクトルが同じ係数の集合を持つ可能性がある。たとえば、とは同じ係数の集合{2, 3}を持つが、と は異なる。したがって、順序付き基底を扱う方が便利な場合が多い。これは通常、基底元に最初の自然数でインデックスを付けることによって行われる。すると、ベクトルの座標は同様にインデックス付けされたシーケンスを形成し、ベクトルは座標のシーケンスによって完全に特徴付けられる。順序付き基底は、特に原点と組み合わせて使用​​される場合、座標フレームまたは単にフレーム（たとえば、直交フレームまたはアフィン フレーム） とも呼ばれる。$${\displaystyle B=\{\mathbf {b} _{1},\ldots ,\mathbf {b} _{n}\}}$$$${\displaystyle \mathbf {v} =\lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +\lambda _{n}\mathbf {b} _{n},}$$${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$${\displaystyle 3\mathbf {b} _{1}+2\mathbf {b} _{2}}$${\displaystyle 2\mathbf {b} _{1}+3\mathbf {b} _{2}}$

いつものように、 をFのn組の要素の集合とします。この集合はFベクトル空間であり、加算とスカラー乗算が成分ごとに定義されています。写像は ベクトル空間からVへの線型同型 です。言い換えると、はVの座標空間であり、n組はvの座標ベクトルです。 ${\displaystyle F^{n}}$$${\displaystyle \varphi :(\lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n})\mapsto \lambda _{1}\mathbf {b} _{1}+\cdots +\lambda _{n }\mathbf {b} _{n}}$$${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle \varphi ^{-1}(\mathbf {v} )}$

の逆像は、 i番目だけが 1 である以外はすべての成分が 0 であるn組です。はの順序基底を形成し、これはその標準基底または標準基底と呼ばれます。 順序基底B はの標準基底のによる像です。${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \mathbf {b} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle \mathbf {e} _{i}}$${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle F^{n}}$

前述のことから、すべての順序基底は の標準基底の線型同型による像であり、からVへのすべての線型同型は、の標準基底をVの与えられた順序基底に写す同型として定義できることがわかります。言い換えると、 Vの順序基底を定義すること、または からVへの線型同型を定義することと同等です。 ${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle F^{n}}$${\displaystyle F^{n}}$

V を体F上のn次元のベクトル空間とします。Vの2 つの (順序付けられた) 基底と が与えられている場合、 に関するベクトルxの座標をに関する座標で表すと便利なことがよくあります。これは、以下で説明する基底変換公式によって行うことができます。添え字の「古い」と「新しい」が選択されているのは、とをそれぞれ古い基底と新しい基底と呼ぶのが慣例となっているためです。古い座標を新しい座標で表すと便利なのは、一般に、古い座標を含む式があり、新しい座標で同等の式を得たい場合、古い座標を新しい座標で表した式で置き換えることによって得られるからです。 ${\displaystyle B_{\text{old}}=(\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{n})}$${\displaystyle B_{\text{new}}=(\mathbf {w} _{1},\ldots ,\mathbf {w} _{n})}$${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$${\displaystyle B_{\mathrm {new} }.}$${\displaystyle B_{\mathrm {old} }}$${\displaystyle B_{\mathrm {new} }}$

通常、新しい基底ベクトルは、古い基底上の座標によって与えられます。つまり、 と がそれぞれ古い基底と新しい基底上のベクトルxの座標である 場合、基底変換式は、 i = 1, ..., n に対して次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {w} _{j}=\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}.}$$${\displaystyle (x_{1},\ldots,x_{n})}$${\displaystyle (y_{1},\ldots ,y_{n})}$$${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},}$$

この式は行列記法で簡潔に書くことができる。Aを の行列とし、をそれぞれ 古い基底と新しい基底におけるvの座標の列ベクトル とすると、座標変換の式は次のようになる。 ${\displaystyle a_{i,j}}$$${\displaystyle X={\begin{bmatrix}x_{1}\\\vdots \\x_{n}\end{bmatrix}}\quad {\text{and}}\quad Y={\begin{bmatrix}y_{1}\\\vdots \\y_{n}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle X=AY.}$$

この式は、ベクトルxの2つの基底への分解を考えることによって証明できる。1つは 、 $${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{i=1}^{n}x_{i}\mathbf {v} _{i},}$$$${\displaystyle \mathbf {x} =\sum _{j=1}^{n}y_{j}\mathbf {w} _{j}=\sum _{j=1}^{n}y_{j}\sum _{i=1}^{n}a_{i,j}\mathbf {v} _{i}=\sum _{i=1}^{n}{\biggl (}\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j}{\biggr )}\mathbf {v} _{i}.}$$

基底変換公式は、ベクトルの基底への分解の一意性から生じます。ここでは、i = 1, ..., n の場合です 。 ${\displaystyle B_{\text{old}}}$$${\displaystyle x_{i}=\sum _{j=1}^{n}a_{i,j}y_{j},}$$

ベクトル空間の定義に現れる体 を環 に置き換えると、モジュールの定義が得られます。モジュールの場合、線形独立性と全域集合はベクトル空間の場合とまったく同じように定義されますが、「生成集合」は「全域集合」よりも一般的に使用されます。

ベクトル空間の場合と同様に、モジュールの基底は線形独立な部分集合であり、生成集合でもあります。ベクトル空間の理論との主な違いは、すべてのモジュールが基底を持つわけではないことです。基底を持つモジュールは自由モジュールと呼ばれます。自由モジュールは、自由分解を通じて非自由モジュールの構造を記述するために使用できるため、モジュール理論で基本的な役割を果たします。

整数上の加群は、アーベル群とまったく同じものです。したがって、整数上の自由加群は自由アーベル群でもあります。自由アーベル群には、他の環上の加群にはない特定の特性があります。具体的には、自由アーベル群のすべての部分群は自由アーベル群であり、Gが有限生成自由アーベル群H (つまり有限基底を持つアーベル群)の部分群である場合、非ゼロの整数に対して、 Hの基底と整数0 ≤ k ≤ nが存在し、そのような整数がGの基底になります。詳細については、自由アーベル群 § 部分群を参照してください。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{1},\ldots ,\mathbf {e} _{n}}$${\displaystyle a_{1}\mathbf {e} _{1},\ldots ,a_{k}\mathbf {e} _{k}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{k}}$

実数または複素数上の無限次元ベクトル空間の文脈では、ハメル基底（ゲオルク・ハメル^[2]）または代数基底は、この記事で定義されている基底を指すために使用できます。これは、無限次元ベクトル空間に追加の構造が付与されている場合に存在する他の「基底」の概念と区別するためです。最も重要な代替基底は、ヒルベルト空間上の直交基底、シャウダー基底、およびノルム線型空間上マルクシェビッチ基底Q上のベクトル空間として見たRの場合、ハメル基底は無数であり、特に連続体の濃度基数ここで、（アレフ-ノート）は最小の無限基数、つまり整数の基数です。 ${\displaystyle 2^{\aleph _{0}}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

他の概念の共通点は、空間を生成するために基底ベクトルの無限線形結合をとることができることです。もちろん、これには、位相ベクトル空間の場合のように、これらの空間上で無限和が意味のある形で定義されていることが必要です。位相ベクトル空間とは、ヒルベルト空間、バナッハ空間、フレシェ空間などのベクトル空間の大きなクラスです。

無限次元空間に他の種類の基底が好まれる理由は、バナッハ空間ではハメル基底が「大きくなりすぎる」という事実によって正当化される。X が完備な無限次元ノルムベクトル空間（つまり、Xがバナッハ空間）である場合、Xの任意のハメル基底は必然的に非可算 である。これは、ベールのカテゴリ定理の結果である。完全性と無限次元は、前の主張における重要な仮定である。確かに、有限次元空間は定義により有限の基底を持ち、可算なハメル基底を持つ無限次元（非完全 ）ノルム空間が存在している。ノルムを持つ、有限個の非ゼロ要素のみを持つ実数列の空間を考えてみよう。1 に等しい 1 つの非ゼロ要素のみを持つ列で構成されるその標準基底 は、可算なハメル基底である。 ${\displaystyle c_{00}}$ ${\displaystyle x=(x_{n})}$${\textstyle \|x\|=\sup _{n}|x_{n}|}$

フーリエ級数の研究では、関数{1} ∪ { sin( nx ), cos( nx ) : n = 1, 2, 3, ... }は、区間[0, 2π]上で2乗積分可能なすべての（実数値または複素数値）関数の（実数値または複素数値）ベクトル空間の「直交基底」であることが分かります 。つまり、$${\displaystyle \int _{0}^{2\pi }\left|f(x)\right|^{2}\,dx<\infty .}$$

関数{1} ∪ { sin( nx ), cos( nx ) : n = 1, 2, 3, ... }は線形独立であり、[0, 2π]上で2乗積分可能なすべての関数fは、それらの「無限線形結合」である。 $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\int _{0}^{2\pi }{\biggl |}a_{0}+\sum _{k=1}^{n}\left(a_{k}\cos \left(kx\right)+b_{k}\sin \left(kx\right)\right)-f(x){\biggr |}^{2}dx=0}$$

適切な（実数または複素数の）係数a _k、b _kに対して。しかし、多くの^[3]二乗可積分関数はこれらの基底関数の有限線形結合として表すことができないため、ハメル基底を構成しません。この空間のすべてのハメル基底は、この単なる可算無限関数の集合よりもはるかに大きくなります。この種の空間のハメル基底は通常役に立ちませんが、これらの空間の正規直交基底はフーリエ解析に不可欠です。

アフィン空間、射影空間、凸集合、円錐という幾何学的概念は、関連する概念である。 ^[4] n次元アフィン空間のアフィン基底は、一般的な線形位置にある点である。${\displaystyle n+1}$射影基底は、 n次元の射影空間における一般的な位置にある点である。${\displaystyle n+2}$多面体の凸基底は、その凸包の頂点の集合である。円錐基底^[5]多角形円錐の1点と1辺から構成される。ヒルベルト基底（線型計画法）。

確率密度関数を持つR ⁿの確率分布、例えばルベーグ測度に関するn次元球体の等分布では、 n個のランダムかつ独立に選択されたベクトルが確率 1 で基底を形成することが示されます。これは、R ⁿのn 個の線形従属ベクトルx ₁、...、x _nが方程式 det [ x ₁ ⋯ x _n ] = 0 (列x _iを持つ行列の零行列式) を満たす必要があり、非自明な多項式の零点集合が零測度を持つという事実によるものです。この観察から、ランダム基底を近似する手法が生まれました。^{[6] [7]}

線形従属関係や正確な直交性を数値的に確認することは困難です。そのため、ε 直交性の概念が使用されます。内積を持つ空間では、x がyに対して ε 直交する場合(つまり、 xとy の間の角度の余弦がε未満の場合) は、 ${\displaystyle \left|\left\langle x,y\right\rangle \right|/\left(\left\|x\right\|\left\|y\right\|\right)<\varepsilon }$

高次元では、2つの独立したランダムベクトルは高い確率でほぼ直交し、すべての独立したランダムベクトルの数は、与えられた高い確率でほぼ直交し、次元とともに指数関数的に増加します。より正確には、n次元球の等分布を考えます。球からN個の独立したランダムベクトルを選択します（それらは独立しており、同一に分布しています）。θを小さな正の数とします。

N 個のランダムベクトルはすべて確率1 − θで ε 直交する。^[7]このN は次元nとともに指数関数的に増加し、nが十分に大きい場合に増加する。ランダム基底のこの性質は、いわゆる測度集中現象の現れである。^[8]${\displaystyle N\gg n}$

図 (右) は、n次元の立方体[−1, 1] ⁿから独立にランダムにサンプリングされたベクトルのペアワイズほぼ直交チェーンの長さ N の分布を、次元nの関数として示しています。最初に、立方体内の点がランダムに選択されます。2 番目の点は、同じ立方体内でランダムに選択されます。ベクトル間の角度がπ/2 ± 0.037π/2以内であれば、ベクトルは保持されます。次のステップでは、同じハイパーキューブ内に新しいベクトルが生成され、以前に生成されたベクトルとの角度が評価されます。これらの角度がπ/2 ± 0.037π/2以内であれば、ベクトルは保持されます。このプロセスは、ほぼ直交チェーンが切断されるまで繰り返され、そのようなペアワイズほぼ直交ベクトルの数 (チェーンの長さ) が記録されます。各nについて、各次元で 20 個のペアワイズほぼ直交チェーンが数値的に構築されました。これらのチェーンの長さの分布が示されています。

V を何らかの体F上の任意のベクトル空間とし、X をVのすべての線形独立な部分集合の集合とする。

空集合はVの独立部分集合であり、包含によって部分的に順序付けられているため、集合X は空ではありません。包含は、通常どおり⊆で表されます。

Y を⊆によって完全に順序付けられたXのサブセットとし、L _{Y を}Yのすべての要素（それ自体がVの特定のサブセット）の和集合とします。

( Y , ⊆)は完全に順序付けられているので、 L _Yのすべての有限部分集合は、 Vの線形独立部分集合であるYの要素の部分集合であり、したがってL _{Y は}線形独立です。したがって、 L _{Y は}Xの要素です。したがって、 L Y は( X , ⊆)におけるYの上限です。つまり、L _Yは、 Yのすべての要素を含むXの要素です。

Xは空でなく、( X , ⊆)のすべての全順序付き部分集合はXに上限を持つため、ゾルンの補題は_{X に最大元が存在することを主張します。言い換えれば、 X の何らかの元 L に対して L max} ⊆ Lであるときは常にL = _L maxという条件を満たす_、 Xの何らかの元L max が存在します。

L _{max が}Vの基底であることを証明する必要があります。L _{max は}Xに属しているため、L _maxがVの線形独立な部分集合であることはすでにわかっています。

VのベクトルwがL _maxの範囲にない場合、w もL _maxの要素にはなりません。L _w = L _max ∪ { w }とします。この集合はXの要素、つまりVの線形独立な部分集合です( w はL _maxの範囲になく、L _maxは独立しているため)。L _max ⊆ L _wであり、L _max ≠ L _{w で}あるため ( L _wにはL _maxに含まれないベクトルwが含まれるため)、これはL _maxの最大性と矛盾します。したがって、これはL _{max が}Vを張ることを示しています。

したがって、L _{max は}線形独立であり、Vを張る。したがって、これはVの基底であり、すべてのベクトル空間には基底があることが証明されます。

この証明は、選択公理と同等のツォルンの補題に依存しています。逆に、すべてのベクトル空間が基底を持つ場合、選択公理が真であることが証明されています。^[9]したがって、2つの主張は同等です。

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• ベクトル空間のフレーム – ベクトル空間の基底に似ているが、必ずしも線形独立ではないPages displaying short descriptions of redirect targets
• 球面基底 – 球面テンソルを表現するために使われる基底

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• カーンアカデミーの指導ビデオ
  • 部分空間の基底の紹介
  • 任意の部分空間基底が同じ数の要素を持つことの証明
• 「線形結合、スパン、基底ベクトル」。線形代数の本質。2016年8月6日。2021年11月17日にオリジナルからアーカイブ – YouTube経由。
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