正確なシーケンスを分割

数学において、分割完全数列とは、中間の項が 2 つの外側の項から可能な限り単純な方法で構築される 短い完全数列です。

アーベル群または固定環上の加群の短い完全列、またはより一般的にはアーベル圏内のオブジェクトの短い完全列

${\displaystyle 0\to A\mathrel {\stackrel {a}{\to }} B\mathrel {\stackrel {b}{\to }} C\to 0}$

中間の項が外側の項の 直和である正確な数列と同型である場合、分割正確と呼ばれます。

${\displaystyle 0\to A\mathrel {\stackrel {i}{\to }} A\oplus C\mathrel {\stackrel {p}{\to }} C\to 0}$

シーケンスが同型であるという要件は、合成数が自然な包含であり、合成数がbに等しいような同型が存在することを意味します。これは 、可換図によって次のようにまとめることができます。 ${\displaystyle f:B\to A\oplus C}$${\displaystyle f\circ a}$ ${\displaystyle i:A\to A\oplus C}$${\displaystyle p\circ f}$

分割補題は、分割された完全列のさらに同等な特徴付けを提供します。

分割短完全列の簡単な例は

${\displaystyle 0\to M_{1}\mathrel {\stackrel {q}{\to }} M_{1}\oplus M_{2}\mathrel {\stackrel {p}{\to }} M_{2}\to 0}$

ここで、はR加群、は正準射影、は正準射影です。 ${\displaystyle M_{1},M_{2}}$${\displaystyle q}$${\displaystyle p}$

ベクトル空間の任意の短完全列は分割完全です。これは、ベクトル空間内の任意の線形独立ベクトルの集合を基底に拡張できるという事実を言い換えたものです。

正確なシーケンス(最初のマップが 2 の乗算) は分割正確ではありません。 ${\displaystyle 0\to \mathbf {Z} \mathrel {\stackrel {2}{\to }} \mathbf {Z} \to \mathbf {Z} /2\mathbf {Z} \to 0}$

純粋完全列は、分割完全列のフィルタリングされた余極限として特徴付けられる。^[1]

• フックス、ラースロー(2015)、アーベル群、Springer Monographs in Mathematics、Springer、ISBN 9783319194226
• シャープ、RY、ロ​​ドニー（2001）、Steps in Commutative Algebra、第2版、ロンドン数学協会学生用テキスト、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0521646235