アフィン包

数学において、ユークリッド空間R ⁿにおける 集合Sのアフィン包またはアフィンスパンは、S を含む最小のアフィン集合^[1]、または同等に、S を含むすべてのアフィン集合の共通集合です。ここで、アフィン集合はベクトル部分空間の変換として定義できます。

Sのアフィン包aff( S )は、 Sの要素のすべてのアフィン組み合わせの集合であり、つまり、

${\displaystyle \operatorname {aff} (S)=\left\{\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}x_{i}\,{\Bigg |}\,k>0,\,x_{i}\in S,\,\alpha _{i}\in \mathbb {R} ,\,\sum _{i=1}^{k}\alpha _{i}=1\right\}.}$

• 空集合のアフィン包は空集合です。
• シングルトン（単一の要素で構成される集合）のアフィン包は、シングルトンそのものです。
• 2 つの異なる点の集合のアフィン包は、それらの点を通る線です。
• 1 本の直線上にない 3 点の集合のアフィン包は、それらの点を通る平面です。
• R ³内の平面上にない 4 つの点の集合のアフィン包は、空間R ³全体です。

任意のサブセット${\displaystyle S,T\subseteq X}$

• ${\displaystyle \operatorname {aff} (\operatorname {aff} S)=\operatorname {aff} S}$
• ${\displaystyle \operatorname {aff} S}$が有限次元であれば閉集合である。${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {aff} (S+T)=\operatorname {aff} S+\operatorname {aff} T}$
• もしそうなら。${\displaystyle 0\in S}$${\displaystyle \operatorname {aff} S=\operatorname {span} S}$
• の場合、 はの線形部分空間です。${\displaystyle s_{0}\in S}$${\displaystyle \operatorname {aff} (S)-s_{0}=\operatorname {span} (S-s_{0})}$${\displaystyle X}$
• ${\displaystyle \operatorname {aff} (SS)=\operatorname {span} (SS)}$。
  • したがって、特に、は常に のベクトル部分空間です。${\displaystyle \operatorname {aff} (SS)}$${\displaystyle X}$
• が凸ならば${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {aff} (SS)=\displaystyle \bigcup _{\lambda >0}\lambda (SS)}$
• 任意の に対して、は を含む最小の錐です(ここで、集合 が錐であるとは、すべての に対してであり、すべての非負のである場合です)。 ${\displaystyle s_{0}\in S}$${\displaystyle \operatorname {aff} S=s_{0}+\operatorname {cone} (S-S)}$${\displaystyle \operatorname {cone} (S-S)}$${\displaystyle S-S}$${\displaystyle C\subseteq X}$${\displaystyle rc\in C}$${\displaystyle c\in C}$${\displaystyle r\geq 0}$
  • したがって、は常にに平行なの線型部分空間です。${\displaystyle \operatorname {cone} (S-S)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {aff} S}$

• アフィン結合の代わりに凸結合を使用する場合、つまり、上記の式ですべてが非負であることを要求する場合、Sの凸包が得られますが、より多くの制約が関係するため、 S の凸包はSのアフィン包より大きくなることはできません。${\displaystyle \alpha _{i}}$
• 円錐結合の概念は円錐殻の概念を生み出す。
• しかし、数値にまったく制限を設けない場合は、アフィン結合の代わりに線型結合が得られ、結果の集合はSの線型スパンとなり​​、その中にSのアフィン包が含まれます。${\displaystyle \alpha _{i}}$

• RJ Webster、『Convexity』、 Oxford University Press、1994年。ISBN 0-19-853147-8 。
• ローマン、スティーブン（2008）、上級線形代数、数学大学院テキスト（第3版）、Springer、ISBN 978-0-387-72828-5