行と列のスペース

線型代数では、行列Aの列空間（値域または像とも呼ばれる）は、その列ベクトルの範囲（すべての可能な線型結合の集合）です。行列の列空間は、対応する行列変換の像または値域です。

を体とする。を成分とする $m$ $\times$ $n$ 行列の列空間は、 m 空間の線型部分空間である。列空間の次元は行列の階数と呼ばれ、最大で $min($ $m$ $,$ $n$ $)$ である。^[1]環上の行列の定義も可能である。 $F$ $F$ $F^{m}$ $R$

行空間も同様に定義されます。

行列 $Aの行空間と列空間はそれぞれ$ $C (AT)$ と $C$ $($ $A$ $)と$ $表記$ されることもある。^[2]

この記事では実数行列について考察する。行空間と列空間はそれぞれ実空間との部分空間である。^[3] $\mathbb {R} ^{n}$ $\mathbb {R} ^{m}$

概要

$Aを$ $m$ 行 $n$ 列の行列とする。すると

$ランク(A) = dim(rowsp(A)) = dim(colsp(A))$ 、^[4]
$ランク(A) =$ $A$ の任意の階段形におけるピボットの数、
$ランク(A) =$ $A$ の線形独立な行または列の最大数。^[5]

行列が線形変換を表す場合、行列の列空間はこの線形変換の像に等しくなります。

行列 $Aの列空間は、$ $A$ の列のすべての線形結合の集合です。 $A = [a 1 \dots a n]$ の場合、 $colsp(A) = span({a 1, ..., a n})$ となります。

行列 $A$ が与えられた場合、ベクトル $x$ に対する行列 $Aの作用は、$ $x$ の座標を係数とする $A$ の列の線形結合を返します。つまり、行列の列は列空間を生成します。

例

行列 $J$ が与えられる:

J={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\\-1&-2&1&0&5\\1&6&2&2&2\\3&6&2&5&1\end{bmatrix}}

行は、、、です。したがって、 $J$ の行空間は、 ${$ $r$ $1$ $、$ $r$ $2$ $、$ $r$ $3$ $、$ $r$ $4$ $}$ によって張られるの部分空間です。これらの 4 つの行ベクトルは線形独立なので、行空間は 4 次元です。さらに、この場合、それらはすべてベクトル $n$ $= [6、-1、4、-4、0]$ （ $n$ $はJ$ の核の要素）に直交していることがわかります。したがって、行空間は $n$ に直交する内のすべてのベクトルで構成されていることがわかります。 $\mathbf {r} _{1}={\begin{bmatrix}2&4&1&3&2\end{bmatrix}}$ $\mathbf {r} _{2}={\begin{bmatrix}-1&-2&1&0&5\end{bmatrix}}$ $\mathbf {r} _{3}={\begin{bmatrix}1&6&2&2&2\end{bmatrix}}$ $\mathbf {r} _{4}={\begin{bmatrix}3&6&2&5&1\end{bmatrix}}$ $\mathbb {R} ^{5}$ $\mathbb {R} ^{5}$

列スペース

意味

$K を$ スカラー体とする。A $を$ $m$ $\times$ $n$ 行列とし、列ベクトル $v$ $1$ $、$ $v$ $2$ $、 ...、$ $v$ $n$ とする。これらのベクトルの線形結合は、次の形式のベクトルである。

c_{1}\mathbf {v} _{1}+c_{2}\mathbf {v} _{2}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n},

ここで、 $c 1 、 c 2 、 ...、 c n は$ $スカラーです。 v 1 、 ...、 v n$ のすべての可能な線形結合の集合は、 $A$ の列空間と呼ばれます。つまり、 $A$ の列空間は、ベクトル $v$ $1$ $、 ...、$ $v$ $n$ の範囲です。

$行列A$ の列ベクトルの任意の線形結合は、 $A$ と列ベクトルの積として表すことができます。

{\begin{array}{rcl}A{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}&=&{\begin{bmatrix}a_{11}&\cdots &a_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\a_{m1}&\cdots &a_{mn}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}c_{1}\\\vdots \\c_{n}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}a_{11}+\cdots +c_{n}a_{1n}\\\vdots \\c_{1}a_{m1}+\cdots +c_{n}a_{mn}\end{bmatrix}}=c_{1}{\begin{bmatrix}a_{11}\\\vdots \\a_{m1}\end{bmatrix}}+\cdots +c_{n}{\begin{bmatrix}a_{1n}\\\vdots \\a_{mn}\end{bmatrix}}\\&=&c_{1}\mathbf {v} _{1}+\cdots +c_{n}\mathbf {v} _{n}\end{array}}

$したがって、 A$ の列空間は、 $x\inKn$ に対して、 $すべて$ $の$ $可能な積Ax$ $から$ 構成されます。これは、対応 $する$ 行列変換の像（または範囲）と同じです。

例

の場合、列ベクトルは $v$ $1$ $= [1, 0, 2]$ $T$ および $v$ $2$ $= [0, 1, 0]$ $T$ です。 v ₁とv ₂の線形結合は、形式の任意のベクトルです。このようなベクトルすべての集合は、 $A$ の列空間です。この場合、列空間は、方程式 $z$ $= 2$ $x$ $を満たすベクトルの集合($ $x$ $、$ $y$ $、$ $z$ $) \in$ $R$ $3$ とまったく同じです(直交座標を使用すると、この集合は3 次元空間の原点を通る平面になります)。 $A={\begin{bmatrix}1&0\\0&1\\2&0\end{bmatrix}}$ $c_{1}{\begin{bmatrix}1\\0\\2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0\\1\\0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}\\c_{2}\\2c_{1}\end{bmatrix}}$

基礎

$A$ の列は列空間を張っていますが、列ベクトルが線形独立でない場合は基底を形成しない可能性があります。幸いなことに、基本的な行演算は列ベクトル間の依存関係に影響を与えません。これにより、行削減を使用して列空間の基底を見つけることが可能になります。

例えば、次の行列を考えてみましょう。

A={\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}.

この行列の列は列空間に広がりますが、線形独立ではない可能性があり、その場合、それらの一部のサブセットが基底を形成します。この基底を見つけるには、 $A を$ 簡約された行階段形式に簡約します。

{\begin{bmatrix}1&3&1&4\\2&7&3&9\\1&5&3&1\\1&2&0&8\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&3&1&4\\0&1&1&1\\0&2&2&-3\\0&-1&-1&4\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&1\\0&1&1&1\\0&0&0&-5\\0&0&0&5\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&0&-2&0\\0&1&1&0\\0&0&0&1\\0&0&0&0\end{bmatrix}}.

^[6]

この時点で、1 列目、2 列目、4 列目は線形独立であるのに対し、3 列目は最初の 2 列の線形結合であることがわかります (具体的には、 $v 3 = -2 v 1 + v 2$ )。したがって、元の行列の 1 列目、2 列目、4 列目は列空間の基底になります。

{\begin{bmatrix}1\\2\\1\\1\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}3\\7\\5\\2\end{bmatrix}},\;\;{\begin{bmatrix}4\\9\\1\\8\end{bmatrix}}.

簡約された行階段形式の独立列は、まさにピボットを持つ列であることに注意してください。これにより、階段形式に簡約するだけで、どの列が線形独立であるかを判断できます。

上記のアルゴリズムは、一般に、任意のベクトル集合間の依存関係を見つけたり、任意の全域集合から基底を選択したりするために使用できます。また、 $Aの列空間の基底を見つけることは、$ 転置行列 $A T$ の行空間の基底を見つけることと同じです。

実際の設定（たとえば、大きな行列）で基底を見つけるには、通常、特異値分解が使用されます。

寸法

列空間の次元は、行列の階数と呼ばれます。階数は、縮小された行階段形式のピボットの数に等しく、行列から選択できる線形独立な列の最大数です。たとえば、上記の例の 4 × 4 行列の階数は 3 です。

列空間は対応する行列変換の像であるため、行列の階数は像の次元と同じです。たとえば、上記の行列によって記述される変換は、のすべてを3 次元部分空間にマッピングします。 $\mathbb {R} ^{4}\to \mathbb {R} ^{4}$ $\mathbb {R} ^{4}$

行列のヌル性はヌル空間の次元であり、縮小された行階段形式におけるピボットを持たない列の数に等しい。^[7] $n$ 列の行列 $A$ のランクとヌル性は次の式で関係している。

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n.\,

これはランク-ヌル定理として知られています。

左零空間との関係

$A$ の左零空間は、 $x$ $T$ $A$ $=$ $0$ $T$ となるすべてのベクトル $x$ の集合です。これは、 $A$ の転置の零空間と同じです。行列 $A$ $T$ とベクトル $x$ の積は、ベクトルのドット積で表すことができます。

A^{\mathsf {T}}\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {v} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {v} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {v} _{n}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

$A$ $T$ の行ベクトルは $A$ の列ベクトル $v$ $k$ の転置であるためです。したがって、 $x が$ $A$ の各列ベクトルに直交(垂直)する場合に限り、 $A$ $T$ $x$ $=$ $0$ となります。

したがって、左零空間（ $A T$ の零空間）は $A$ の列空間の直交補空間となります。

行列 $A$ の場合、列空間、行空間、ヌル空間、左ヌル空間は、4 つの基本部分空間と呼ばれることもあります。

環上の行列の場合

同様に、列空間（右列空間と曖昧さをなくすために使われることもある）は環 $K$ 上の行列に対して次のように定義できる。

\sum \limits _{k=1}^{n}\mathbf {v} _{k}c_{k}

$任意のc 1, ..., c n$ に対して、ベクトル $m$ 空間を「右自由加群」に置き換えると、ベクトル $v$ $k$ からスカラー $c$ $k$ へのスカラー乗算の順序が変わり、通常とは異なる順序のベクトル-スカラーで表されます。^[8]

行スペース

意味

$K を$ スカラー体とする。A $を$ 行ベクトル $r$ $1$ $,$ $r$ $2$ $, ...,$ $r$ $m$ $を持つm$ $\times$ $n$ 行列とする。これらのベクトルの線形結合は、次の形式のベクトルである。

c_{1}\mathbf {r} _{1}+c_{2}\mathbf {r} _{2}+\cdots +c_{m}\mathbf {r} _{m},

ここで、 $c 1 、 c 2 、 ...、 c m は$ $スカラーです。 r 1 、 ...、 r m$ のすべての可能な線形結合の集合は、 $A$ の行空間と呼ばれます。つまり、 $A$ の行空間は、ベクトル $r$ $1$ $、 ...、$ $r$ $m$ の範囲です。

例えば、

A={\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\end{bmatrix}},

行ベクトルは $r 1 = [1, 0, 2]$ 、 $r 2 = [0, 1, 0]です。r$ $1$ と $r 2$ の線形結合は、 $次$ の形式のベクトルです。

c_{1}{\begin{bmatrix}1&0&2\end{bmatrix}}+c_{2}{\begin{bmatrix}0&1&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}c_{1}&c_{2}&2c_{1}\end{bmatrix}}.

このようなベクトル全体の集合は $A$ の行空間です。この場合、行空間はまさに方程式 $z$ $= 2$ $x$ $を満たすベクトル(x, y, z) \in K 3$ の集合です(直交座標を使用すると、この集合は3 次元空間内の原点を通る平面になります)。

同次線形方程式系を表す行列の場合、行空間は系内の線形方程式から導かれるすべての線形方程式から構成されます。

$A$ の列空間は $A T$ の行空間に等しい。

基礎

行空間は基本的な行演算の影響を受けません。これにより、行削減を使用して行空間の基底を見つけることができます。

例えば、次の行列を考えてみましょう。

A={\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}.

この行列の行は行空間に広がりますが、線形独立ではない可能性があり、その場合、行は基底になりません。基底を見つけるには、 $A を$ 行階段形式に簡約します。

$r 1$ 、 $r 2$ 、 $r 3$ は行を表します。

{\begin{aligned}{\begin{bmatrix}1&3&2\\2&7&4\\1&5&2\end{bmatrix}}&\xrightarrow {\mathbf {r} _{2}-2\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{2}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\1&5&2\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-\,\,\mathbf {r} _{1}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&2&0\end{bmatrix}}\\&\xrightarrow {\mathbf {r} _{3}-2\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{3}} {\begin{bmatrix}1&3&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}\xrightarrow {\mathbf {r} _{1}-3\mathbf {r} _{2}\to \mathbf {r} _{1}} {\begin{bmatrix}1&0&2\\0&1&0\\0&0&0\end{bmatrix}}.\end{aligned}}

行列が階段状になると、非ゼロ行は行空間の基底となる。この場合、基底は ${ [1, 3, 2], [2, 7, 4] }$ である。さらに縮約すると、別の基底 ${ [1, 0, 2], [0, 1, 0] }$ も得られる。^[9]

このアルゴリズムは、一般に、ベクトルの集合の範囲の基底を見つけるために使用できます。行列をさらに簡略化した行階段形式にすると、結果として得られる基底は行空間によって一意に決定されます。

代わりに元の行列の行の中から行空間の基底を見つける方が便利な場合があります (たとえば、この結果は、行列の行列式の階数がその階数に等しいという基本的な証明を与えるのに役立ちます)。行演算は行ベクトルの線形依存関係に影響を与える可能性があるため、そのような基底は、 $A T$ $の列空間がA$ の行空間に等しいという事実を使用して間接的に見つけられます。上記の例の行列 $A$ を使用して、 $A T を$ 見つけて行階段形式に簡約します。

A^{\mathrm {T} }={\begin{bmatrix}1&2&1\\3&7&5\\2&4&2\end{bmatrix}}\sim {\begin{bmatrix}1&2&1\\0&1&2\\0&0&0\end{bmatrix}}.

ピボットは、 $A Tの最初の 2 列が$ $A T$ の列空間の基底を形成することを示しています。したがって、 $Aの最初の 2 行 (行削減前) も$ $A$ の行空間の基底を形成します。

寸法

行空間の次元は行列のランクと呼ばれます。これは、行列から選択できる線形独立行の最大数、またはピボットの数と同じです。たとえば、上記の例の3×3行列のランクは2です。^[9]

行列の階数は列空間の次元とも等しくなります。零空間の次元は行列の零度と呼ばれ、次の式によって階数と関連しています。

\operatorname {rank} (A)+\operatorname {nullity} (A)=n,

ここで、 $nは行列$ $A$ の列数です。上記の式は、階数-零定理として知られています。

零空間との関係

$行列A$ のヌル空間は、 $A$ $x$ $=$ $0$ となるすべてのベクトル $x$ の集合です。行列 $A$ とベクトル $x$ の積は、ベクトルのドット積で表すことができます。

A\mathbf {x} ={\begin{bmatrix}\mathbf {r} _{1}\cdot \mathbf {x} \\\mathbf {r} _{2}\cdot \mathbf {x} \\\vdots \\\mathbf {r} _{m}\cdot \mathbf {x} \end{bmatrix}},

ここで、 $r 1 、...、 r m は$ $A$ の行ベクトルです。したがって、 $x が$ $A$ の各行ベクトルに直交（垂直）する場合のみ、 $A x = 0$ となります。

したがって、 $Aのヌル空間は行空間の$ 直交補空間となります。たとえば、行空間が 3 次元で原点を通る平面である場合、ヌル空間は原点を通る垂直線になります。これは、階数ヌル定理(上記の次元を参照) の証明となります。

行空間とヌル空間は、行列 $Aに関連付けられた$ 4 つの基本部分空間のうちの 2 つです(他の 2 つは列空間と左ヌル空間です)。

共像との関係

$V$ と $W が$ ベクトル空間である場合、線型変換 $T$ $:$ $V$ $\to$ $W$ の核は、 $T$ $($ $v$ $) =$ $0$ となるベクトル $v$ $\in$ $V$ の集合です。線型変換の核は、行列のヌル空間に類似しています。

$V が$ 内積空間である場合、カーネルの直交補空間は行空間の一般化として考えることができます。これは、 $T$ の共像と呼ばれることもあります。変換 $T は$ その共像と 1 対 1 であり、共像は $T$ の像に同型に写像します。

$Vが$ 内積空間でないとき、 $Tの共像は$ 商空間 $V / ker(T)$ として定義できる。

参照

ユークリッド部分空間

参考文献と注記

^ この記事で論じられている線形代数は、非常に確立された数学の分野であり、多くの情報源があります。この記事の資料のほぼすべては、Lay 2005、Meyer 2001、および Strang 2005 に記載されています。
^ ストラング、ギルバート (2016)。線形代数入門（第 5 版）。ウェルズリー、マサチューセッツ州：ウェルズリー・ケンブリッジ出版。pp. 128、168。ISBN 978-0-9802327-7-6. OCLC 956503593.
^ アントン（1987年、179ページ）
^ アントン（1987年、183ページ）
^ Beauregard & Fraleigh (1973、p. 254)
^ この計算では、ガウス・ジョルダンの行削減アルゴリズムを使用します。示されている各ステップには、複数の基本的な行操作が含まれます。
^ピボットのない列は、関連する同次 線形方程式系の自由変数を表します。
^ $Kが$ 可換でない場合にのみ重要です。実際には、この形式は、上の式とは異なり、因子の順序が保存された $K$ $n$ の列ベクトル $c$ と行列 $Aの$ 積 $A$ $c$ にすぎません。
^ abこの例は実数、有理数、その他の数体に対して有効です。ただし、非ゼロ特性を持つ体や環に対しては必ずしも正しいとは限りません。

さらに読む

アントン、ハワード（1987）、初等線形代数（第5版）、ニューヨーク：ワイリー、ISBN 0-471-84819-0
アクラー、シェルドン・ジェイ（1997年）、線形代数を正しく行う（第2版）、シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 0-387-98259-0
Banerjee, Sudipto、Roy, Anindya (2014 年 6 月 6 日)、統計のための線形代数と行列分析(第 1 版)、CRC Press、ISBN 978-1-42-009538-8
ボーリガード、レイモンド A.; フレイリー、ジョン B. (1973)、『線形代数の入門：群、環、体へのオプション入門』、ボストン：ホートン・ミフリン社、ISBN 0-395-14017-X
レイ、デイビッド C. (2005 年 8 月 22 日)、線形代数とその応用(第 3 版)、アディソンウェスレー、ISBN 978-0-321-28713-7
レオン、スティーブン J. (2006)、線形代数の応用(第 7 版)、ピアソンプレンティスホール
マイヤー、カール D. (2001 年 2 月 15 日)、「行列解析と応用線形代数」、工業応用数学協会 (SIAM)、ISBN 978-0-89871-454-8、2001年3月1日時点のオリジナルよりアーカイブ
プール、デイビッド（2006）、線形代数：現代入門（第2版）、ブルックス/コール、ISBN 0-534-99845-3
ストラング、ギルバート（2005年7月19日）、線形代数とその応用（第4版）、ブルックス・コール、ISBN 978-0-03-010567-8

外部リンク

Weisstein、Eric W.「行空間」。MathWorld。
Weisstein、Eric W.「列空間」。MathWorld。
ギルバート・ストラング、MIT 線形代数講義「4 つの基本部分空間」Google Video、 MIT OpenCourseWareより
カーンアカデミーのビデオチュートリアル
MIT のギルバート・ストラングによる列空間と零空間に関する講義
行スペースと列スペース

[ReferenceA-1] この記事で論じられている線形代数は、非常に確立された数学の分野であり、多くの情報源があります。この記事の資料のほぼすべては、Lay 2005、Meyer 2001、および Strang 2005 に記載されています。

[2] ストラング、ギルバート (2016)。線形代数入門（第 5 版）。ウェルズリー、マサチューセッツ州：ウェルズリー・ケンブリッジ出版。pp. 128、168。ISBN 978-0-9802327-7-6. OCLC 956503593.

[3] アントン（1987年、179ページ）

[4] アントン（1987年、183ページ）

[5] Beauregard & Fraleigh (1973、p. 254)

[6] この計算では、ガウス・ジョルダンの行削減アルゴリズムを使用します。示されている各ステップには、複数の基本的な行操作が含まれます。

[7] ^ピボットのない列は、関連する同次 線形方程式系の自由変数を表します。

[8] $Kが$ 可換でない場合にのみ重要です。実際には、この形式は、上の式とは異なり、因子の順序が保存された $K$ $n$ の列ベクトル $c$ と行列 $Aの$ 積 $A$ $c$ にすぎません。

[example-9] この例は実数、有理数、その他の数体に対して有効です。ただし、非ゼロ特性を持つ体や環に対しては必ずしも正しいとは限りません。