複素アフィン空間

アフィン幾何学は、大まかに言えば、直線、平面、およびそれらの高次元類似物の幾何学的特性の研究であり、「平行」の概念は保持されますが、距離や角度の計量概念は保持されません。アフィン空間は、原点の明確な選択がない点で線型空間（つまりベクトル空間）と異なります。したがって、マルセル・ベルガーの言葉を借りれば、「アフィン空間は、線型写像に平行移動を追加することで原点を忘れようとするベクトル空間に他なりません。」^[1] したがって、複素アフィン空間、つまり複素数上のアフィン空間は、複素ベクトル空間に似ていますが、原点として機能する明確な点がありません。

アフィン幾何学は、古典代数幾何学の 2 つの主要な分野のうちの 1 つで、もう 1 つは射影幾何学です。複素アフィン空間は、超平面を固定することによって複素射影空間から得ることができます。超平面は、アフィン空間の「無限遠」にある理想点の超平面と考えることができます。違い (実数について) を説明すると、アフィン平面の放物線は無限遠線と交差しますが、楕円は交差しません。ただし、任意の 2 つの円錐曲線は射影的に同等です。したがって、放物線と楕円は射影的に考えると同じですが、アフィン オブジェクトと見なすと異なります。やや直感的ではありませんが、複素数について、楕円は 2つの点で無限遠線と交差しますが、放物線は1 つの点で無限遠線と交差します。したがって、少し異なる理由により、楕円と放物線は複素アフィン平面上では同値ではありませんが、（複素）射影平面上では同値のままです。

任意の複素ベクトル空間はアフィン空間です。必要なのは原点（およびおそらく内積などの追加の構造）を忘れることだけです。たとえば、複素n空間は 、そのアフィン特性（たとえば線型または計量特性ではなく）のみに関心がある場合は、複素アフィン空間と見なすことができます。同じ次元の任意の 2 つのアフィン空間は と同型であるため、状況によっては、アフィン不変な概念のみが最終的に意味を持つという理解のもと、それらを と同一視することが適切です。この用法は、現代の代数幾何学では非常に一般的です。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

n次元複素アフィン空間Aのアフィン構造を指定するには、いくつかの同等な方法があります。最も単純な方法は、複素数上のベクトル空間である差分空間と呼ばれる補助空間Vを使用する方法です。アフィン空間は、集合Aと、 VのAへの単純かつ推移的な作用を組み合わせたものです。(つまり、AはV回転子です。)

もう一つの方法は、特定の公理を満たすアフィン結合の概念を定義することです。点p ₁ , …, p _k ∊ Aのアフィン結合は、次の形式の和として表されます。

${\displaystyle a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k}}$

ここで、スカラーa _iは合計が 1 になる複素数です。

差分空間は、形式的な差分がアフィン結合を明白に尊重するという関係を法として、 「形式的な差分」 p − qの集合と同一視できます。

アフィン関数とは、アフィン結合を保存する関数のことである。つまり、 ${\displaystyle f:\mathbf {A} \mapsto \mathbb {C} }$

${\displaystyle f(a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k})=a_{1}f(\mathbf {p} _{1})+\cdots +a_{k}f(\mathbf {p} _{k})}$

任意のアフィン組み合わせに対して

${\displaystyle a_{1}\mathbf {p} _{1}+\cdots +a_{k}\mathbf {p} _{k}}$Aで。

アフィン関数の空間A *は線型空間である。A *の双対ベクトル空間は、A上の自由ベクトル空間である( n +1) 次元ベクトル空間F( A )と自然に同型である。ただし、 A上のアフィン結合はF( A )上のアフィン結合と一致するという関係を法とする。 この構成により、アフィン空間Aのアフィン構造は、アフィン関数の空間から完全に復元できる。

A上のアフィン関数の多項式代数は、代数幾何学でアフィン座標環と呼ばれる関数の環を定義します。この環は、アフィン関数の次数によるフィルタリングを持ちます。逆に、アフィン座標環から複素数への代数準同型の集合としてアフィン空間の点を回復することも可能です。これは、その最大イデアルの集合と一致するため、環の最大スペクトルと呼ばれます。この最大スペクトルには、アフィン座標環上のフィルタリングと互換性のある一意のアフィン構造があります。

1 次元複素アフィン空間、または複素アフィン直線は、 上の 1 次元線形空間のトルサーです。最も単純な例は、複素数のアルガン平面そのものです。これは標準的な線形構造を持っているため、原点を「忘れる」と標準的なアフィン構造になります。 ${\displaystyle \mathbb {C} }$${\displaystyle \mathbb {C} }$

別の例として、X が複素数上の2次元ベクトル空間であるとします。を線型汎関数とします。 α ( x ) = 0の解の集合、つまりαの核が1次元の線型部分空間（つまり、 Xの原点を通る複素直線）であることはよく知られています。 しかし、 c がゼロでない複素数である場合、 α ( x ) = cの解の集合AはXのアフィン直線ですが、任意の線型結合で閉じていないため、線型部分空間ではありません。 差分空間Vはαの核です。これは、非同次方程式α ( x ) = cの2つの解の差分が核に含まれるためです。 ${\displaystyle \alpha :\mathbf {X} \to \mathbb {C} }$

同様の構成が、1階線形常微分方程式の解にも適用されます。同次微分方程式の解は、

${\displaystyle y'(x)+\mu (x)y(x)=0}$

は1次元の線形空間であるが、不均質問題の解の集合は

${\displaystyle y'(x)+\mu (x)y(x)=f(x)}$

は 1 次元のアフィン空間Aです。一般解は、方程式の特殊解と同次方程式の解を加えたものに等しくなります。同次方程式の解の空間は差分空間Vです。

もう一度、線型形式αを備えた 2 次元ベクトル空間Xの一般的なケースを考えてみましょう。アフィン空間A ( c ) は、解α( x ) = cで与えられます。 cの 2 つの差のゼロでない値、たとえばc ₁とc ₂に対して、アフィン空間A ( c ₁ )とA ( c ₂ )は自然に同型であることに注意してください。つまり、 c ₂ / c ₁でスケーリングすると、A ( c ₁ )がA ( c ₂ )にマップされます。したがって、この状況で考慮する価値のあるアフィン空間は実際には 1 つだけであり、これをAと呼びます。そのアフィン空間の点は、 Xの原点を通り、 αの核上にない直線です。

代数的に、今述べた複素アフィン空間Aは、正確な数列の分割空間である。

${\displaystyle 0\to \ker \alpha \,{\overset {\subseteq }{\rightarrow }}\,X\xrightarrow {\alpha } \mathbb {C} \to 0.}$

複素アフィン平面は、複素数上の2次元アフィン空間です。例として、2次元複素座標空間 があります。これは自然な線型構造を持ち、忘却関数の下でアフィン構造を継承します。別の例として、2階の非同次線型常微分方程式（複素数上）の解の集合があります。最後に、1次元の場合と同様に、正確な数列の分割空間 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{2}}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {C} ^{2}\to \mathbb {C} ^{3}\to \mathbb {C} \to 0}$

2次元のアフィン空間です。

ローレンツ群の共形スピン群はSU(2,2)であり、4次元複素ベクトル空間T（ツイスター空間と呼ばれる）に作用する。共形ポアンカレ群はSU(2,2)の部分群として、次の形式の正確な列を安定化する。

${\displaystyle 0\to \Pi \to \mathbf {T} \to \Omega \to 0}$

ここで、Π はTの最大等方性部分空間です。この数列の分割空間は4次元アフィン空間、つまり（複素化された）ミンコフスキー空間です。

A をn次元のアフィン空間とします。n 個のアフィン独立なアフィン関数の集合は、 A上のアフィン座標系です。 A上のアフィン座標系は、Aと複素座標空間（その要素はn 組の複素数） との一対一の関係を設定します。${\displaystyle z_{1},z_{2},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

逆に、は複素アフィンn空間と呼ばれることもあり、その場合、興味深いのはアフィン空間としての構造（たとえば、線型空間や座標空間としての状態とは対照的）であると理解されます。このような用法は代数幾何学で一般的です。 ${\displaystyle \mathbb {C} ^{n}}$

複素アフィン空間Aには、次のように定義される標準射影完備化P ( A ) があります。 F( A ) のアフィン結合がAのアフィン結合と一致するという関係を法としてA上の自由ベクトル空間であるベクトル空間 F( A ) を形成します。すると、dim F( A ) = n + 1となり、ここでn はAの次元です。 Aの射影完備化は、 F( A )の 1 次元複素線型部分空間の射影空間です。

群Aut( P ( A )) = PGL(F( A )) ≅ PGL( n + 1, C )はP ( A )に作用します。無限遠における超平面の安定化群は放物線部分群であり、Aの自己同型群です。これは、群GL( V )とVの半直積に同型です (ただし、自然に同型ではありません) 。部分群GL( V ) は、 A内の固定された参照点o (「原点」)の安定化群であり、 oから発するベクトルの空間の線型自己同型群として機能し、V は変換によって機能します。

代数多様体としての射影空間P ( A )の自己同型群は、共線群PGL(F( A ))に他なりません。対照的に、代数多様体としてのアフィン空間A の自己同型群ははるかに大きくなります。たとえば、アフィン座標のペアで定義されたアフィン平面の自己写像を考えてみましょう。

${\displaystyle (z_{1},z_{2})\mapsto (z_{1},z_{2}+f(z_{1}))}$

ここで、f は1 変数の多項式です。これは代数多様体の自己同型ですが、アフィン構造の自己同型ではありません。このような代数自己同型のヤコビ行列式は、必然的に非ゼロの定数です。複素アフィン空間の自己写像のヤコビ行列式が非ゼロの定数である場合、その写像は (代数) 自己同型であると考えられています。これはヤコビ予想として知られています。

複素アフィン空間上の関数は、その複素共役が差分空間Vに沿ってリー導出されるとき、正則である。これにより、任意の複素アフィン空間は複素多様体の構造を持つ。

Aから複素数までの すべてのアフィン関数は正則です。したがって、アフィン関数のすべての多項式も正則です。

複素アフィン空間には、よく使われる 2 つのトポロジがあります。

解析的位相は、複素数へのアフィン関数の族の初期位相であり、複素数は、複素絶対値をノルムとして誘導される通常のユークリッド位相を持ちます。これは、正則関数の族の初期位相でもあります。

解析的位相は多円板からなる基底を持つ。A上の任意のn個の独立なアフィン関数に関連して、単位多円板は次のように定義される。 ${\displaystyle z_{1},\dots ,z_{n}:\mathbf {A} \to \mathbb {C} }$

${\displaystyle B(z_{1},\dots ,z_{n})=\left\{\mathbf {z} \in \mathbf {A} \,:\,\left|z_{1}(\mathbf {z} )\right|<1,\dots ,\left|z_{n}(\mathbf {z} )\right|<1\right\}.}$

解析位相における任意の開集合は、単位多面体の可算な集合の和集合である。

ザリスキ位相はアフィン複素数値関数の初期位相ですが、複素直線に有限補数位相を与えます。したがって、ザリスキ位相では、Aのサブセットが閉じられるのは、それがA上の複素数値多項式関数のコレクションのゼロセットである場合のみです。ザリスキ位相のサブベースは、既約代数集合の補集合です。

解析的位相はザリスキ位相よりも細かく、つまりザリスキ位相で開いているすべての集合は解析的位相でも開いていることになります。逆は成り立ちません。たとえば、多円板は解析的位相では開いていますが、ザリスキ位相では開いていません。

複素アフィン空間上で距離を定義することができ、 V上の内積を選択することで、それをユークリッド空間にすることができる。Aの2点pとqの間の距離は、V上 の関連するノルムによって次のように与えられる。

${\displaystyle d(\mathbf {p} ,\mathbf {q} )=\left\|\mathbf {p} -\mathbf {q} \right\|.}$

メトリックに関連付けられた開いたボールは、解析的トポロジーと同じトポロジーの基底を形成します。

複素アフィン空間A上の正則関数の族は、その上に環の層を形成します。定義により、そのような層は、Aの各 (解析的) 開部分集合Uに、 U上のすべての複素数値正則関数の環を関連付けます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$

解析接続の一意性は、 C ⁿの連結な開部分集合U上の 2 つの正則関数が与えられたとき、それらがUの空でない開部分集合上で一致する場合、それらはU上で一致することを意味します。層理論では、一意性は、エタール空間として見た場合、 がハウスドルフ位相空間であることを意味します。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

岡のコヒーレンス定理は、複素アフィン空間の構造層がコヒーレントであることを述べています。これは、多元複素変数関数論における基本的な結果です。たとえば、複素解析空間（たとえば、複素多様体）の構造層がコヒーレントであることが直ちに示されます。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

すべての複素アフィン空間は正則化の領域です。特に、それはスタイン多様体です。

• 解析空間
• 複素座標空間
• 複素多面体
• エキゾチックなアフィン空間

• MK Bennett (1995)、アフィンと射影幾何学、Wiley
• ニコラ・ブルバキ(1970)、アルジェブル、vol.私、マッソン、§II.9。
• ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセター（1987年）、射影幾何学（第2版）、シュプリンガー。
• ハロルド・スコット・マクドナルド・コクセター（1961）『幾何学入門』、ワイリー
• ハンス・グラウエルトReinhold Remmert (1984)、Coherent Analytic Sheaves、Grundlehren Der Mathematischen Wissenschaften、Springer。