内部（トポロジー）

数学、特に位相幾何学において、位相空間Xの部分集合Sの内部とは、 X内で開いているSのすべての部分集合の和集合のことである。 Sの内部にある点は、Sの内部点である。

Sの内部はSの補集合の閉包の補集合である。この意味で、内部と閉包は双対概念である。

集合Sの外部はSの閉包の補集合であり、集合にも境界にも属さない点から構成されます。部分集合の内部、境界、外部は、空間全体を 3 つのブロック (1 つ以上が空の場合はブロック数が少なくなります) に分割します。

閉曲線の内部と外部は少し異なる概念です。ジョルダン曲線定理を参照してください。

がユークリッド空間のサブセットである場合、を中心とし が に完全に含まれる開球が存在する場合、は の内点です (これは、この記事の導入セクションで説明されています)。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S.}$

この定義は、距離 を持つ距離空間の任意の部分集合に一般化されます。距離がであるときはいつでも、が であるような実数が存在する場合、は の内部点です。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle d}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle r>0,}$${\displaystyle y}$${\displaystyle S}$${\displaystyle d(x,y)<r.}$

この定義は、「開球」を「開集合」に置き換えることで位相空間に一般化されます。 が位相空間の部分集合である場合、が の開部分集合に含まれ、 が に完全に含まれる場合、はの内点です (同様に、が の近傍である場合、は の内点です)。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S.}$${\displaystyle x}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle x.}$

またはまたはで表される位相空間の部分集合の内部は、次のいずれかの同値な方法で定義できます。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S}$${\displaystyle \operatorname {int} S}$${\displaystyle S^{\circ },}$

1. ${\displaystyle \operatorname {int} S}$に含まれる最大の開集合である${\displaystyle X}$${\displaystyle S.}$
2. ${\displaystyle \operatorname {int} S}$に含まれるすべての開集合の和集合である。${\displaystyle X}$${\displaystyle S.}$
3. ${\displaystyle \operatorname {int} S}$は、${\displaystyle S.}$

文脈からスペースが理解できる場合は、通常、より短い表記が好まれます。${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} S}$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S.}$

• どのような空間でも、空集合の内部は空集合です。
• どのような空間でも${\displaystyle X,}$${\displaystyle S\subseteq X,}$${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}$
• が実数直線（標準位相）である場合、有理数集合の内部は空である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=(0,1)}$${\displaystyle \mathbb {Q} }$${\displaystyle \operatorname {int} \mathbb {Q} =\varnothing .}$
• が複素平面である場合、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {C} ,}$${\displaystyle \operatorname {int} (\{z\in \mathbb {C} :|z|\leq 1\})=\{z\in \mathbb {C} :|z|<1\}.}$
• 任意のユークリッド空間では、任意の有限集合の内部は空集合です。

実数の集合には、標準的な位相以外の位相を置くこともできます。

• が下限位相を持つ実数である場合、${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=[0,1).}$
• すべての集合が開集合である位相を考えると、${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])=[0,1].}$
• 唯一の開集合が空集合とそれ自身である位相を考えると、 は空集合です。${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \operatorname {int} ([0,1])}$

これらの例は、集合の内部が基礎となる空間の位相に依存することを示しています。最後の 2 つの例は、次の特殊なケースです。

• 任意の離散空間では、すべての集合は開集合であるため、すべての集合はその内部に等しい。
• 任意の非離散空間 では、開集合は空集合とそれ自身だけであり、のすべての適切な部分集合は空集合であるためです。${\displaystyle X,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} X=X}$ ${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S}$

を位相空間とし、 と を の部分集合とする。${\displaystyle X}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle X.}$

• ${\displaystyle \operatorname {int} S}$オープンしています${\displaystyle X.}$
• が開いている場合、${\displaystyle T}$${\displaystyle X}$${\displaystyle T\subseteq S}$${\displaystyle T\subseteq \operatorname {int} S.}$
• ${\displaystyle \operatorname {int} S}$は、部分空間位相が与えられたときの の開部分集合です。${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$
• ${\displaystyle S}$の開集合であるのは、${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {int} S=S.}$
• 集中的な：${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq S.}$
• 冪等性:${\displaystyle \operatorname {int} (\operatorname {int} S)=\operatorname {int} S.}$
• バイナリ交差を維持/分配します:${\displaystyle \operatorname {int} (S\cap T)=(\operatorname {int} S)\cap (\operatorname {int} T).}$
  • しかし、内部演算子は和集合に分配されない。なぜなら、一般には のみが保証されており、等式が成立しない可能性があるからである。 ^{[注 1]}例えば、およびの場合、は${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)~\supseteq ~(\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)}$${\displaystyle X=\mathbb {R} ,S=(-\infty ,0],}$${\displaystyle T=(0,\infty )}$${\displaystyle (\operatorname {int} S)\cup (\operatorname {int} T)=(-\infty ,0)\cup (0,\infty )=\mathbb {R} \setminus \{0\}}$${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} \mathbb {R} =\mathbb {R} .}$
• に関して${\displaystyle \subseteq }$単調/非減少：もし、${\displaystyle S\subseteq T}$${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {int} T.}$

その他のプロパティは次のとおりです。

• 閉じられたら​${\displaystyle S}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \operatorname {int} T=\varnothing }$${\displaystyle \operatorname {int} (S\cup T)=\operatorname {int} S.}$

閉鎖との関係

上記の記述は、記号/単語のすべてのインスタンスが

「内部」、「int」、「オープン」、「サブセット」、「最大」

それぞれ

「closure」、「 cl 」、「 closed 」、「 superset 」、および「 smallest 」

次の記号が入れ替わります。

1. 「 」を「 」と入れ替えました${\displaystyle \subseteq }$${\displaystyle \supseteq }$
2. 「 」を「 」と入れ替えました${\displaystyle \cup }$${\displaystyle \cap }$

この問題の詳細については、以下の内部演算子または記事「Kuratowski 閉包公理」を参照してください。

内部演算子は 、または上線^—で表される閉包演算子と双対であり、 という意味で 、 であり、 は を含む位相空間であり、バックスラッシュは集合論的差異を表す。したがって、閉包演算子の抽象理論とクラトフスキー閉包公理は、集合をその補集合に置き換えることによって、内部演算子の言語に簡単に翻訳できる。${\displaystyle \operatorname {int} _{X}}$${\displaystyle \operatorname {cl} _{X}}$$${\displaystyle \operatorname {int} _{X}S=X\setminus {\overline {(X\setminus S)}}}$$$${\displaystyle {\overline {S}}=X\setminus \operatorname {int} _{X}(X\setminus S),}$$${\displaystyle X}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle \,\setminus \,}$${\displaystyle X.}$

一般に、内部演算子は和集合と可換ではありません。ただし、完全な距離空間では次の結果が成り立ちます。

上記の結果は、すべての完全な距離空間がベール空間であることを意味します。

または単に で表される位相空間の部分集合の外部は、から交わらない最大の開集合である。すなわち、から交わらないのすべての開集合の和集合である。 外部は補集合の内部であり、閉包の補集合と同じである。^[2]式では、 ${\displaystyle S}$${\displaystyle X,}$${\displaystyle \operatorname {ext} _{X}S}$${\displaystyle \operatorname {ext} S,}$${\displaystyle S,}$${\displaystyle X}$${\displaystyle S.}$$${\displaystyle \operatorname {ext} S=\operatorname {int} (X\setminus S)=X\setminus {\overline {S}}.}$$

同様に、内部は補語の外部です。 $${\displaystyle \operatorname {int} S=\operatorname {ext} (X\setminus S).}$$

集合の内部、境界、外部は、空間全体を3つのブロック（1つ以上が空の場合にはそれより少ないブロック）に 分割します。 ここで、は^[3]の境界を表します。 内部と外部は常に開いていますが、境界は閉じています。 ${\displaystyle S}$$${\displaystyle X=\operatorname {int} S\cup \partial S\cup \operatorname {ext} S,}$$${\displaystyle \partial S}$${\displaystyle S.}$

外部演算子の特性の一部は、内部演算子の特性とは異なります。

• 外部演算子は包含を反転します。${\displaystyle S\subseteq T,}$${\displaystyle \operatorname {ext} T\subseteq \operatorname {ext} S.}$
• 外部演算子は冪等ではない。しかし、次のような性質がある。${\displaystyle \operatorname {int} S\subseteq \operatorname {ext} \left(\operatorname {ext} S\right).}$

2 つの図形の内部の交差が空の場合、それらの図形は内部分離していると呼ばれます。内部分離している図形は、境界で交差する場合と交差しない場合があります。 ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

• 代数的内部 – 位相的内部の一般化
• DE-9IM  – トポロジカルモデル
• 内部代数 – 代数構造
• ジョルダン曲線定理 – 閉曲線は平面を2つの領域に分割する
• 準相対内部 – 代数内部の一般化
• 相対内部 – 位相内部の一般化

• ブルバキ、ニコラス(1989) [1966]。一般的なトポロジー: 第 1 章から第 4 章 [ Topologie Générale ]。数学的要素。ベルリン、ニューヨーク: Springer Science & Business Media。ISBN 978-3-540-64241-1. OCLC  18588129.
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• PlanetMathのインテリア。