多項式の次数

数学 において、多項式の次数は、係数がゼロでない多項式の単項式（個々の項）の次数のうち最も高いものを指します。項の次数は、項に現れる変数の指数の合計であるため、非負の整数になります。単変数多項式の場合、多項式の次数は、多項式に現れる指数の最大値です。^[1]次数という用語は次数の同義語として使用されてきましたが、現在では他のいくつかの概念を指すこともあります（多項式の次数（曖昧さ回避）を参照）。

たとえば、とも表記される多項式には 3 つの項があります。最初の項の次数は 5 ( 2 と 3 の累乗の合計)、2 番目の項の次数は 1、最後の項の次数は 0 です。したがって、この多項式の次数は 5 であり、これはどの項よりも高い次数です。 ${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x-9,}$${\displaystyle 7x^{2}y^{3}+4x^{1}y^{0}-9x^{0}y^{0},}$

標準形式ではない多項式、たとえば の次数を決定するには、積を展開し（分配法則により）、同類項を結合することで標準形式にすることができます。たとえば、 は各加数が 2 であっても次数 1 です。ただし、多項式が標準形式の多項式の積として表される場合、積の次数は因数の次数の合計であるため、これは必要ありません。 ${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}}$${\displaystyle (x+1)^{2}-(x-1)^{2}=4x}$

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多項式には次数に応じて以下の名前が割り当てられている：^{[2] [3] [4]}

• 特別な場合 -ゼロ（下記の§ゼロ多項式の次数を参照）
• 次数0 – 非ゼロ定数^[5]
• 1次 –線形
• 2次方程式 –二次方程式
• 3次 –立方
• 次数 4 – 4次（または、すべての項の次数が偶数の場合は、4次）
• 5次方程式 –五次方程式
• 6 度 –六度(または、あまり一般的ではないが、六度)
• 7度 –敗血症性（または、まれに肝性）
• 8度 – オクト
• 9度 – ノニック
• 10度 – デシック

3 次を超える名前は、ラテン語の序数に基づいており、末尾に-ic が付きます。これは、変数の数 に使用される名前、つまりラテン語の分配数に基づいており、末尾に-aryが付く、アリティとは区別する必要があります。たとえば、 などの 2 変数の 2 次多項式は、「2 項二次式」と呼ばれます。2変数のため 2 項、次数2 のため二次式です。 ^{[a]項の数にも名前があり、これもラテン語の分配数に基づいており、末尾に}-nomialが付きます。一般的な名前は、monomial、binomial、(あまり一般的ではありませんが) trinomialです。したがって、は「2 項二次二項式」です。 ${\displaystyle x^{2}+xy+y^{2}}$${\displaystyle x^{2}+y^{2}}$

この多項式は3 次多項式です。 を掛け合わせて同じ次数の項を集めると、最大指数が 3 の になります。 ${\displaystyle (y-3)(2y+6)(-4y-21)}$${\displaystyle -8y^{3}-42y^{2}+72y+378}$

この多項式は 5 次多項式です。つまり、同類項を結合すると、次数 8 の 2 つの項が打ち消され、最大指数が 5 の が残ります。 ${\displaystyle (3z^{8}+z^{5}-4z^{2}+6)+(-3z^{8}+8z^{4}+2z^{3}+14z)}$${\displaystyle z^{5}+8z^{4}+2z^{3}-4z^{2}+14z+6}$

2つの多項式の和​​、積、合成の次数は、入力多項式の次数と強く関係している。^[6]

2つの多項式の和​​（または差）の次数は、それらの次数のうち大きい方より小さいか等しい。つまり、

${\displaystyle \deg(P+Q)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}$そして。${\displaystyle \deg(PQ)\leq \max\{\deg(P),\deg(Q)\}}$

たとえば、 の次数は2 であり、 2 ≤ max{3, 3} です。 ${\displaystyle (x^{3}+x)-(x^{3}+x^{2})=-x^{2}+x}$

多項式の次数が異なる場合でも、等式は常に成立します。たとえば、 の次数は3 で、 3 = max{3, 2} です。 ${\displaystyle (x^{3}+x)+(x^{2}+1)=x^{3}+x^{2}+x+1}$

多項式と非ゼロスカラーの積の次数は多項式の次数に等しい。つまり、

${\displaystyle \deg(cP)=\deg(P)}$。

たとえば、 の次数は2 であり、 の次数と等しくなります。 ${\displaystyle 2(x^{2}+3x-2)=2x^{2}+6x-4}$${\displaystyle x^{2}+3x-2}$

したがって、次数が与えられた数n以下である多項式（与えられた体Fからの係数を持つ）の集合はベクトル空間を形成します。詳細については、「ベクトル空間の例」を参照してください。

より一般的には、体または積分領域上の 2 つの多項式の積の次数は、それらの次数の合計です。

${\displaystyle \deg(PQ)=\deg(P)+\deg(Q)}$。

たとえば、 の次数は5 = 3 + 2 です。 ${\displaystyle (x^{3}+x)(x^{2}+1)=x^{5}+2x^{3}+x}$

任意の環上の多項式の場合、2 つの非ゼロ定数を乗算するときに相殺が発生する可能性があるため、上記の規則は有効でない場合があります。たとえば、4 を法とする整数の環では となりますが、 となり、これは因数の次数の和に等しくありません。 ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} }$${\displaystyle \deg(2x)=\deg(1+2x)=1}$${\displaystyle \deg(2x(1+2x))=\deg(2x)=1}$

2 つの非定数多項式と体または積分領域上の合成次数は、それらの次数の積です。 ${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$$${\displaystyle \deg(P\circ Q)=\deg(P)\deg(Q).}$$

たとえば、の次数が 3 で の次数が 2 の場合、それらの合成はの次数が 6 になります。 ${\displaystyle P=x^{3}+x}$${\displaystyle Q=x^{2}-1}$${\displaystyle P\circ Q=P\circ (x^{2}-1)=(x^{2}-1)^{3}+(x^{2}-1)=x^{6}-3x^{4}+4x^{2}-2,}$

任意の環上の多項式の場合、合成の次数は次数の積よりも小さくなる場合があることに注意してください。たとえば、多項式と(どちらも次数 1) の合成では、 は次数 0 の定数多項式です。 ${\displaystyle \mathbf {Z} /4\mathbf {Z} ,}$${\displaystyle 2x}$${\displaystyle 1+2x}$${\displaystyle 2x\circ (1+2x)=2+4x=2,}$

零多項式の次数は未定義のままにされるか、負の値（通常は−1または）として定義される。^[7]${\displaystyle -\infty}$

あらゆる定数値と同様に、値 0 は (定数) 多項式とみなすことができ、零多項式と呼ばれます。零でない項は存在しないため、厳密に言えば次数もありません。したがって、次数は通常定義されていません。上記のセクションの多項式の和​​と積の次数に関する命題は、関係する多項式のいずれかが零多項式である場合は適用されません。^[8]

しかし、零多項式の次数を負の無限大と定義し、算術規則^{[9]を導入すると便利である。}${\displaystyle -\infty ,}$

${\displaystyle \max(a,-\infty )=a,}$

そして

${\displaystyle a+(-\infty )=-\infty .}$

これらの例は、この拡張機能が上記の動作ルールをどのように満たしているかを示しています。

• 和の次数は3 です。これは、 という予想される動作を満たします。${\displaystyle (x^{3}+x)+(0)=x^{3}+x}$${\displaystyle 3\leq \max(3,-\infty )}$
• 差の度合いは です。これは、 という期待される動作を満たします。${\displaystyle (x)-(x)=0}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle -\infty \leq \max(1,1)}$
• 積の次数はです。これは、 という期待される動作を満たします。${\displaystyle (0)(x^{2}+1)=0}$${\displaystyle -\infty}$${\displaystyle -\infty =-\infty +2}$

多項式関数fの次数を評価する公式は数多く存在する。漸近解析に基づく公式は

${\displaystyle \deg f=\lim _{x\rightarrow \infty }{\frac {\log |f(x)|}{\log x}}}$;

これは、 log-logプロットの傾きを推定する方法とまったく同じです。

この式は、次数の概念を多項式ではないいくつかの関数に一般化します。例:

• 逆数の次数は−1です。${\displaystyle \ 1/x}$
• 平方根の次数は1/2 です。${\displaystyle {\sqrt {x}}}$
• 対数の次数は0 です。${\displaystyle \ \log x}$
• 指数関数の次数、は、${\displaystyle \exp x}$${\displaystyle \infty .}$

この式は、このような関数の多くの組み合わせに対しても適切な結果を与えます。 たとえば、 の次数はです。${\displaystyle {\frac {1+{\sqrt {x}}}{x}}}$${\displaystyle -1/2}$

fの値から fの次数を計算する別の式は次の通りである。

${\displaystyle \deg f=\lim _{x\to \infty }{\frac {xf'(x)}{f(x)}}}$;

この 2 番目の式は、ロピタルの規則を最初の式に適用することで得られます。しかし、直感的には、これはの導関数における追加の定数因子として次数d を示すことに関するものです。 ${\displaystyle dx^{d-1}}$${\displaystyle x^{d}}$

関数の漸近挙動をより細かく（単純な数値次数よりも）記述するには、ビッグオー記法を使用します。アルゴリズムの解析では、たとえば、上式によればどちらも同じ次数になる と の成長率を 区別することがしばしば重要になります。${\displaystyle x}$${\displaystyle x\log x}$

2 つ以上の変数を持つ多項式の場合、項の次数は項内の変数の指数の合計です。多項式の次数 (総次数と呼ばれることもあります) は、多項式内のすべての項の次数の最大値です。たとえば、多項式x ² y ² + 3 x ³ + 4 yの次数は 4 で、項x ² y ²と同じ次数です。

しかし、変数xとyの多項式は、係数がyの多項式であるxの多項式であり、係数がxの多項式であるyの多項式でもあります。多項式

${\displaystyle x^{2}y^{2}+3x^{3}+4y=(3)x^{3}+(y^{2})x^{2}+(4y)=(x^{2})y^{2}+(4)y+(3x^{3})}$

xの次数は 3 、 yの次数は 2です。

環 Rが与えられたとき、多項式環 R [ x ] は、 Rに係数を持つxのすべての多項式の集合です。 Rが体でもある特別な場合、多項式環R [ x ] は主イデアル領域であり、ここでの議論にとってより重要なのは、ユークリッド領域であることです。

体上の多項式の次数は、ユークリッド領域におけるノルム関数のすべての要件を満たすことが示されます。つまり、2 つの多項式f ( x ) とg ( x ) が与えられた場合、積f ( x ) g ( x )の次数は、fとgの個々の次数よりも大きくなければなりません。実際、より強い次数が成り立ちます。

${\displaystyle \deg(f(x)g(x))=\deg(f(x))+\deg(g(x))}$

体ではない環に対して次数関数が失敗する理由の例として、次の例を見てみましょう。R = 、つまり 4 を法とする整数の環とします。この環は体ではありません (整域でもありません)。なぜなら 2 × 2 = 4 ≡ 0 (mod 4) だからです。したがって、f ( x ) = g ( x ) = 2 x + 1 とします。すると、f ( x ) g ( x ) = 4 x ² + 4 x + 1 = 1 となります。したがって、deg( f ⋅ g ) = 0 となり、これはfとgの次数(それぞれ次数 1) より大きくなりません。 ${\displaystyle \mathbb {Z} /4\mathbb {Z} }$

環の零元に対してノルム関数は定義されていないため、多項式f ( x ) = 0の次数も未定義であるとみなし、ユークリッド領域におけるノルムの規則に従います。

• アーベル・ルフィニの定理
• 代数学の基本定理

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