随伴バンドル

数学において、随伴バンドル ^{[1]は、任意の}主バンドルに自然に関連付けられたベクトルバンドルです。随伴バンドルのファイバーはリー代数構造を持ち、随伴バンドルを（非結合的な）代数バンドルにします。随伴バンドルは、接続理論やゲージ理論で重要な応用があります。

G をリー代数を持つリー群とし、Pを滑らかな多様体M上の主G束とする。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \mathrm {Ad} :G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})\subset \mathrm {GL} ({\mathfrak {g}})}$

Gの（左）随伴表現とする。Pの随伴バンドルは、関連するバンドルである。

${\displaystyle \mathrm {ad} P=P\times _{\mathrm {Ad} }{\mathfrak {g}}}$

随伴バンドルは一般に とも表記される。明示的には、随伴バンドルの要素は、p ∈ PおよびX ∈に対してペア [ p , X ]の同値類であり、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}_{P}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle [p\cdot g,X]=[p,\mathrm {Ad} _{g}(X)]}$

すべてのg ∈ Gに対して。随伴バンドルの構造群はリー代数自己同型から構成されるため、ファイバーは自然にリー代数構造を持ち、随伴バンドルはM上のリー代数のバンドルになります。

G をリー代数 を持つ任意のリー群とし、H を G の閉部分群とする。Gの 上の (左) 随伴表現により、G は の位相変換群となる。G の随伴表現を部分群 H に制限することにより、 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$

${\displaystyle \mathrm {Ad\vert _{H}} :H\hookrightarrow G\to \mathrm {Aut} ({\mathfrak {g}})}$

また、H は 上の位相変換群としても作用します。H の任意の h に対して、はリー代数自己同型です。 ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle Ad\vert _{H}(h):{\mathfrak {g}}\mapsto {\mathfrak {g}}}$

H はリー群 G の閉じた部分群なので、同次空間 M=G/H は、全空間 G と構造群 H を持つ主バンドルの基底空間です。したがって、H 値遷移関数の存在が保証されます。ここで、 はM の開被覆であり、遷移関数はM 上の遷移関数のコサイクルを形成します。関連するファイバーバンドルは、典型的なファイバー を持つリー代数のバンドルであり、連続マッピングにより各ファイバー上にリーブラケットが誘導されます。^[2]${\displaystyle G\to M}$${\displaystyle g_{ij}:U_{i}\cap U_{j}\rightarrow H}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \xi =(E,p,M,{\mathfrak {g}})=G[({\mathfrak {g}},\mathrm {Ad\vert _{H}} )]}$${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$${\displaystyle \Theta :\xi \oplus \xi \rightarrow \xi }$

の値を持つM上の微分形式は、 P上の水平G同変リー代数値形式と一対一に対応します。主な例は、の値を持つM上の 2 形式と見なすことができるP上の任意の接続の曲率です。 ${\displaystyle \mathrm {ad} P}$ ${\displaystyle \mathrm {ad} P}$

随伴バンドルの切断空間は、当然 (無限次元) リー代数です。これは、バンドルの切断として考えることができるPのゲージ変換の無限次元リー群のリー代数と見なすことができます。ここで、conj は (左)共役によるGのそれ自体への作用です。 ${\displaystyle P\times _{\mathrm {c} onj}G}$

がベクトル束のフレーム束である場合、 には一般線型群( によって実数または複素数のいずれか)のファイバーが存在します。ここで です。この構造群はすべての行列からなるリー代数を持ち、これらはベクトル束 の自己準同型と考えることができます。実際、自然な同型 が存在します。 ${\displaystyle P={\mathcal {F}}(E)}$ ${\displaystyle E\to M}$${\displaystyle P}$ ${\displaystyle \operatorname {GL} (r)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \operatorname {rank} (E)=r}$${\displaystyle r\times r}$${\displaystyle \operatorname {Mat} (r)}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \operatorname {ad} {\mathcal {F}}(E)=\operatorname {End} (E)}$

• 小林正七；野水勝美 (1996)、微分幾何学の基礎、vol. 1、ワイリー・インターサイエンス、ISBN 0-471-15733-3
• コラーシュ、イワン。ミコル、ピーター。スロバキア語、1 月 (1993 年)、微分幾何学における自然演算子、Springer、161、400、ISBN 978-3-662-02950-3. PDFとして