アフィン平面

定義

アフィン平面を正式に定義する方法は 2 つあり、これらは体上のアフィン平面と同等です。最初の方法は、次元 2 のベクトル空間が単純に推移的に作用する集合としてアフィン平面を定義することです。直感的に言えば、これはアフィン平面が、原点がどこにあるかを「忘れた」次元 2 のベクトル空間であることを意味します。2 番目の方法は、入射幾何学で発生し、アフィン平面は、公理系を満たす点と線の抽象的なシステムとして定義されます。

座標と同型性

体上で定義されたすべてのアフィン平面はと同型です。より正確には、体上のアフィン平面にアフィン座標系（または、実際の場合は直交座標系）を選択すると、との間にアフィン平面の同型性が誘導されます。 $P$ $F$ $P$ $F^{2}$

より一般的な状況では、アフィン平面が体上で定義されていない場合、それらは一般に同型ではありません。異なる直線を削除することによって同じ非デザルグ射影平面から生じる 2 つのアフィン平面は、同型ではない場合があります。

例

アフィン平面の典型的な例は

ユークリッド平面は、メトリック、つまりユークリッド距離を備えた実数上のアフィン平面です。言い換えると、実数上のアフィン平面は、メトリックを「忘れた」ユークリッド平面です（つまり、長さや角度の測定については話しません）。
ゼロベクトルが他の要素と異なるとは見なされない、2 次元のベクトル空間。
あらゆる体または分割環に対して、の元のペアの集合。 $F$ $F^{2}$ $F$
任意の射影平面から任意の単一の直線（およびその直線上のすべての点）を削除した結果。

アプリケーション

数学の応用では、ユークリッド平面の代わりにユークリッド計量を持たないアフィン平面が使用される状況がしばしばある。例えば、紙に描くことができ、粒子の位置が時間に対してプロットされるグラフでは、点間の距離や線間の角度の尺度は一般に物理的な重要性を持たないため、ユークリッド計量はその解釈には適切ではない（アフィン平面では、軸は比較できない異なる単位を使用することがあり、尺度も異なる単位とスケールによって変化する^[a]）。^[1]^[2]

注記

^ Mandelbrotの著書『Gaussian Self-Affinity and Fractals』、Leviの著書『Foundations of Geometry and Trigonometry』、Yaglomの著書『A Simple Non-Euclidean Geometry and its Physical Basis』も参照のこと。

参考文献

^ ポール・バンバーグ、シュロモ・スターンバーグ(1991)。物理学を学ぶ学生のための数学コース。第1巻。ケンブリッジ大学出版局。pp. 1–2。ISBN 978-0-521-40649-9。
^ ハワード・レヴィ(1975)。幾何学の話題。RE クリーガー出版社。p. 75。ISBN 978-0-88275-280-8。

出典

アルティン、エミール (1987)、「II. アフィン幾何学と射影幾何学」、幾何学代数、インターサイエンス出版社、ISBN 0-470-03432-7
ブルーメンソール、レナード M. (1980) [1961]、「IV. アフィン平面の座標」、幾何学の現代的観点、ドーバー、ISBN 0-486-63962-2
Gruenberg, KW; Weir, AJ (1977)、「II. アフィン幾何学と射影幾何学」、線形幾何学(第 2 版)、Springer-Verlag、ISBN 0-387-90227-9
スナッパー、エルンスト; トロイヤー、ロバート J. (1989) [1971]、計量アフィン幾何学、ドーバー、ISBN 0-486-66108-3
イェール、ポール B. (1968)、「第 5 章アフィン空間」、幾何学と対称性、ホールデンデイ

[1] Mandelbrotの著書『Gaussian Self-Affinity and Fractals』、Leviの著書『Foundations of Geometry and Trigonometry』、Yaglomの著書『A Simple Non-Euclidean Geometry and its Physical Basis』も参照のこと。

[2] ポール・バンバーグ、シュロモ・スターンバーグ(1991)。物理学を学ぶ学生のための数学コース。第1巻。ケンブリッジ大学出版局。pp. 1–2。ISBN 978-0-521-40649-9。

[3] ハワード・レヴィ(1975)。幾何学の話題。RE クリーガー出版社。p. 75。ISBN 978-0-88275-280-8。