ワンフォーム（微分幾何学）

微分幾何学において、微分可能多様体上の1 形式(または共ベクトル体)は、次数 1 の微分形式、つまり余接バンドルの滑らかな切断です。^[1]同様に、多様体上の 1 形式は、各ファイバーへの制限が接空間上の線型関数である、の接バンドルの全空間の への滑らかな写像です。^[2]記号的に、 ${\displaystyle M}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

$${\displaystyle \alpha :TM\rightarrow {\mathbb {R} },\quad \alpha _{x}=\alpha |_{T_{x}M}:T_{x}M\rightarrow {\mathbb {R} },}$$ ここで線形です。 ${\displaystyle \alpha _{x}}$

多くの場合、1 形式は局所的に、特に局所座標で記述されます。局所座標系では、1 形式は座標の 微分の線形結合です。 ここで、 は滑らかな関数です。この観点から、1 形式には、ある座標系から別の座標系に移る際に共変変換法則があります。したがって、1 形式は、次数 1 の共変テンソル場です。 $${\displaystyle \alpha _{x}=f_{1}(x)\,dx_{1}+f_{2}(x)\,dx_{2}+\cdots +f_{n}(x)\,dx_{n},}$$${\displaystyle f_{i}}$

最も基本的な非自明な微分 1 形式は、「角度の変化」形式です。これは、atan2 関数で明示的に定義できる角度「関数」の導関数として定義されます。導関数を取ると、次の全導関数の式が得られます。 角度「関数」は連続的に定義できません (関数 atan2 は負の - 軸に沿って不連続です)。これは、角度を連続的に定義できないという事実を反映しています。一方、この導関数は原点を除いて連続的に定義されており、原点以外のすべての場所で角度の微小な (そして実際には局所的な)変化を定義できるという事実を反映しています。この導関数をパスに沿って積分すると、パス全体の角度の変化が得られ、閉ループにわたって積分すると、巻き数xが得られます。${\displaystyle d\theta .}$${\displaystyle \theta (x,y)}$$${\displaystyle {\begin{aligned}d\theta &=\partial _{x}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dx+\partial _{y}\left(\operatorname {atan2} (y,x)\right)dy\\&=-{\frac {y}{x^{2}+y^{2}}}dx+{\frac {x}{x^{2}+y^{2}}}dy\end{aligned}}}$$${\displaystyle y}$${\displaystyle 2\pi .}$

微分幾何学の言語では、この導関数は、穴あき平面上の 1 形式です。これは閉じていますが(外導関数が 0)、正確ではありません。つまり、0 形式 (つまり関数) の導関数ではありません。角度は、穴あき平面全体にわたってグローバルに定義された滑らかな関数ではありません。実際、この形式は、穴あき平面の最初のde Rham コホモロジーを生成します。これは、そのような形式の最も基本的な例であり、微分幾何学の基本です。 ${\displaystyle \theta }$

を開関数（例えば区間）とし、導関数を持つ微分可能関数を考えます。微分は、各点に接空間から実数への線型写像を割り当てます。この場合、各接空間は実数直線と自然に同一視でき、問題の線型写像は でスケーリングすることで与えられます。これは微分（1 次）形式の最も単純な例です。 ${\displaystyle U\subseteq \mathbb {R} }$${\displaystyle (a,b)}$ ${\displaystyle f:U\to \mathbb {R} ,}$ ${\displaystyle f'.}$${\displaystyle df}$${\displaystyle x_{0}\in U}$${\displaystyle T_{x_{0}}U}$${\displaystyle \mathbb {R} \to \mathbb {R} }$${\displaystyle f'(x_{0}).}$

• 微分形式 – 領域上で積分できる表現
• 内積 – 内積の一般化。ヒルベルト空間の定義に用いられる。Pages displaying short descriptions of redirect targets
• 逆格子 – 固体物理学で重要な実空間格子のフーリエ変換
• テンソル – 幾何学的応用を持つ代数的オブジェクト