座標変更時のベクトルの挙動
あ ベクトル vは 次のように表される。 接線基底 e 1 、 e 2 、 e 3 を 座標曲線（ 左 ）、 双対基底、共ベクトル基底、または逆数基底 e 1 、 e 2 、 e 3 から 座標面（ 右 ）、 3次元の 一般 曲線座標 （ q 1 、 q 2 、 q 3 ） において 、 位置空間 内の点を定義する数値の 組 。基底と共基底は、基底が 正規直交 である場合にのみ一致することに注意。 [1] [ 指定 ] 物理学 、 特に 多重線型代数 と テンソル解析 において、 共変性 と 反変性は、 特定の幾何学的または物理的実体の量的記述が 基底の変化 によってどのように変化するかを説明します。 [2] 簡単に言えば、反変ベクトルは基底の変化と逆に変換する数値のリストであり、共変ベクトルは同じように変換する数値のリストです。反変ベクトルは単に ベクトルと呼ばれることが多く、共変ベクトルは 共ベクトル または 双対ベクトル と呼ばれます。 共変 と 反変という 用語は、 1851年に ジェームズ・ジョセフ・シルベスター によって導入されました。 [3] [4]
円筒座標 や 球座標 などの 曲線座標系は 、物理や幾何学の問題でよく使用されます。どの座標系にも、空間の各点に基づくベクトルの座標基底の自然な選択が関連付けられており、共変性と反変性は、ある座標系から別の座標系に移ることでベクトルの座標記述がどのように変化するかを理解するために特に重要です。 テンソルは、 共変性と反変性の両方の側面を持つことができる
多重線型代数 のオブジェクトです。
導入 物理学では、ベクトルは通常、測定または一連の測定の結果として発生し、 次のような数値の
リスト（または タプル）として表されます。
（
ヴ
1
、
ヴ
2
、
ヴ
3
） 。
{\displaystyle (v_{1},v_{2},v_{3}).}
リスト内の数字は、座標系 の選択によって異なります 。たとえば、ベクトルが観測者に対する位置 ( 位置ベクトル) を表す場合、座標系は、成分 v 1 、 v 2 、および v 3 が測定される剛体ロッドまたは参照軸のシステムから取得できます 。ベクトルが幾何学的オブジェクトを表すには、他の座標系でどのように見えるかを記述できる必要があります。つまり、ベクトルの成分は、 ある座標系から別の座標系に移るときに特定の方法で
変換されます。
簡単な例として、 ユークリッド ベクトル が挙げられます。ベクトルの場合、基底ベクトルのセットが定義されると、そのベクトルの成分は常に 基底ベクトルの成分と 逆方向に変化します。したがって、そのベクトルは 反変 テンソルとして定義されます。標準的な位置ベクトルを例に挙げてみましょう。基準軸のスケールをメートルからセンチメートルに変更すると (つまり、基準軸のスケールを 100 で 割って 、基底ベクトルが メートル長になるようにすると)、測定された 位置 ベクトルの成分は 100 倍に なり ます 。ベクトルの成分は基準軸のスケールの変化と 反比例してスケールが変化するため、ベクトルは 反変 テンソルと呼ばれます 。
.01
{\displaystyle .01}
反変 テンソルの一例である ベクトル に は、参照軸 の変換と逆の変換を行う成分があります (変換の例には、 回転 や 膨張 などがあります)。 ベクトル自体はこれらの操作 では変化しません 。代わりに、ベクトルの成分が、空間軸の変化を打ち消すように変化します。言い換えれば、参照軸が一方向に回転した場合、ベクトルの成分表現は、まったく逆方向に回転します。同様に、参照軸が一方向に引き伸ばされた場合、ベクトル の成分は、正確に補償するように縮小します。数学的には、座標系が 可逆行列 M によって記述される変換を受け、基底ベクトルが に従って変換される場合、 元の基底 ( ) の ベクトル v の成分は、 を介して同様に変換される必要があります。 ベクトル の成分は 、多くの場合、列に配置されて表されます。
ん × ん
{\displaystyle n\times n}
[
e
1
′
e
2
′
。 。 。
e
ん
′
]
=
[
e
1
e
2
。 。 。
e
ん
]
ま
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}^{\prime }\ \mathbf {e} _{2}^{\prime }\ ...\ \mathbf {e} _{ n}^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}\ ...\ \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}M}
ヴ
私
{\displaystyle v^{i}}
[
ヴ
1
′
ヴ
2
′
。 。 。
ヴ
ん
′
]
=
ま
− 1
[
ヴ
1
ヴ
2
。 。 。
ヴ
ん
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}v^{1}{^{\prime }}\\v^{2}{^{\prime }}\\...\\v^{n}{^{ \プライム}}\end{bmatrix}}=M^{-1}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\\...\\v^{n}\end{bmatrix} }}
対照的に、共 ベクトルは 、参照軸のように変換される成分を持ちます。これは、双対ベクトル空間に存在し、ベクトルからスカラーへの線形写像を表します。ベクトルを含むドット積演算子は、共ベクトルの良い例です。説明のために、 （ はベクトル）として定義された共ベクトルがあるとします 。 この共ベクトルの任意の基底における成分は であり 、 は 対応するベクトル空間の基底ベクトルです。（これは、任意のベクトル （ 成分 ）を乗算するときにドット積演算の正しい答えを得たいことに留意することで導出できます）。これらの共ベクトル成分の共分散は、 可逆行列 M によって記述される変換が、 対応するベクトル空間 の基底ベクトルに適用された場合 、共ベクトルの成分が 同じ行列 （つまり ）で変換されることに注目することでわかります。 共ベクトル の成分は、 多くの場合、一列に並べて表現されます。
ヴ
⋅
{\displaystyle \mathbf {v} \ \cdot }
ヴ
{\displaystyle \mathbf {v} }
[
ヴ
⋅
e
1
ヴ
⋅
e
2
。 。 。
ヴ
⋅
e
ん
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}&...&\mathbf { v} \cdot \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}}
[
e
1
e
2
。 。 。
e
ん
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}\ ...\ \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}}
w
{\displaystyle \mathbf {w} }
[
w
1
w
2
.
.
.
w
n
]
{\displaystyle {\begin{bmatrix}w^{1}\\w^{2}\\...\\w^{n}\end{bmatrix}}}
n
×
n
{\displaystyle n\times n}
[
e
1
′
e
2
′
.
.
.
e
n
′
]
=
[
e
1
e
2
.
.
.
e
n
]
M
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}^{\prime }\ \mathbf {e} _{2}^{\prime }\ ...\ \mathbf {e} _{n}^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}\ ...\ \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}M}
v
⋅
{\displaystyle \mathbf {v} \ \cdot }
M
{\displaystyle M}
[
v
⋅
e
1
′
v
⋅
e
2
′
.
.
.
v
⋅
e
n
′
]
=
[
v
⋅
e
1
v
⋅
e
2
.
.
.
v
⋅
e
n
]
M
{\displaystyle {\begin{bmatrix}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}^{\prime }&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}^{\prime }&...&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{n}^{\prime }\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1}&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2}&...&\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{n}\end{bmatrix}}M}
共変性と反変性に関連する 3 番目の概念は不変性 です 。 スカラー (タイプ 0 テンソルまたはランク 0 テンソルとも呼ばれる) は、基底の変化によって変化しないオブジェクトです。 スカラーである物理的 観測量の例としては、粒子の 質量 があります。質量の単一のスカラー値は、基底ベクトルの変化とは無関係であるため、 不変 と呼ばれます。ベクトル ( 距離 など ) の大きさは、幾何学的ベクトル成分が変化しても一定のままであるため、不変量のもう 1 つの例です。(たとえば、長さが メートルの位置ベクトルの場合、すべての 直交 基底ベクトルの長さがメートル からメートルに変更されると 、位置ベクトルの長さはメートルで変化しません が、ベクトル成分はすべて 倍に増加します )。ベクトルと共ベクトルのスカラー積は不変です。これは、一方には基底の変化に応じて変化する成分があり、もう一方には逆方向に変化する成分があり、2 つの効果が打ち消されるためです。したがって、共ベクトルはベクトルの 双対で あると言えます 。
3
{\displaystyle 3}
1
{\displaystyle 1}
.01
{\displaystyle .01}
3
{\displaystyle 3}
100
{\displaystyle 100}
要約すると次のようになります。
ベクトルまたは 接線ベクトルは、基底の変化を補正するために 反変する 成分を持ちます 。つまり、ベクトル成分を変換する行列は、基底ベクトルを変換する行列の逆行列でなければなりません。ベクトルの成分（共ベクトルの成分とは対照的に）は 反変であると言われています。 アインシュタイン表記 （繰り返されるインデックス上の暗黙的な合計）では 、反変成分は 上側のインデックス で次のように
表されます。
v
=
v
i
e
i
{\displaystyle \mathbf {v} =v^{i}\mathbf {e} _{i}}
共ベクトルまたは 余接ベクトルは、対応する（初期）ベクトル空間の基底の変化と 共変する 成分を持つ 。つまり、成分は、対応する（初期）ベクトル空間の基底行列の変化と同じ行列によって変換されなければならない。共ベクトルの成分（ベクトルの成分とは対照的に）は 共変 であると言われる。 アインシュタイン表記 では、共変成分は、次のように
小さいインデックス で表されます。
w
=
w
i
e
i
.
{\displaystyle \mathbf {w} =w_{i}\mathbf {e} ^{i}.}
ベクトルと共ベクトルのスカラー積はスカラーであり 、不変です。これは、ベクトルと共ベクトルの双対性の組み合わせです。
v
i
w
i
{\displaystyle v^{i}w_{i}}
意味 基底が直交していない場合のベクトルの共変成分と反変成分。 共変性と反変性の一般的な定式化は、座標ベクトルの成分が 基底の変化 （ 受動的な変換 ）によってどのように変化するかを指します。したがって、 Vを スカラー体 S 上 の n 次元 の ベクトル空間 とし 、 f = ( X 1 , ..., X n ) と f ′ = ( Y 1 , ..., Y n )のそれぞれを V の 基底 とします 。 [注1] また、 f から f ′への 基底の変化は 次のように表されます。
を要素とする 可逆な n × n 行列 A に対して定義 する。ここで、 f ′基底の各ベクトル Y j は f 基底の ベクトル X i の線形結合であるため、
a
j
i
{\displaystyle a_{j}^{i}}
Y
j
=
∑
i
a
j
i
X
i
.
{\displaystyle Y_{j}=\sum _{i}a_{j}^{i}X_{i}.}
V の ベクトルは、 f 基底の 要素の 線形結合 として一意に表現されます 。
v
{\displaystyle v}
X
i
{\displaystyle X_{i}}
ここで、 v i [ f ]は体 Sの元であり、 f 基底における v の 成分 として知られています 。vの 成分 の 列ベクトルを v [ f ]
で表します。
v
[
f
]
=
[
v
1
[
f
]
v
2
[
f
]
⋮
v
n
[
f
]
]
{\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}v^{1}[\mathbf {f} ]\\v^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\v^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}}
なので、（ ２ ）は行列積として書き直すことができる。
v
=
f
v
[
f
]
.
{\displaystyle v=\mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ].}
ベクトル vは f ′基底で表現することもできる ので、
v
=
f
′
v
[
f
′
]
.
{\displaystyle v=\mathbf {f'} \,\mathbf {v} [\mathbf {f'} ].}
しかし、ベクトル v 自体は基底の選択に対して不変なので、
f
v
[
f
]
=
v
=
f
′
v
[
f
′
]
.
{\displaystyle \mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]=v=\mathbf {f'} \,\mathbf {v} [\mathbf {f'} ].}
v の不変性と f と f ′の関係( 1 )を組み合わせると 、
f
v
[
f
]
=
f
A
v
[
f
A
]
,
{\displaystyle \mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]=\mathbf {f} A\,\mathbf {v} [\mathbf {f} A],}
変換規則を与える
v
[
f
′
]
=
v
[
f
A
]
=
A
−
1
v
[
f
]
.
{\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f'} ]=\mathbf {v} [\mathbf {f} A]=A^{-1}\mathbf {v} [\mathbf {f} ].}
コンポーネントに関しては、
v
i
[
f
A
]
=
∑
j
a
~
j
i
v
j
[
f
]
{\displaystyle v^{i}[\mathbf {f} A]=\sum _{j}{\tilde {a}}_{j}^{i}v^{j}[\mathbf {f} ]}
ここで係数は A の 逆行列 の要素です 。
a
~
j
i
{\displaystyle {\tilde {a}}_{j}^{i}}
ベクトル v の成分は行列 Aの 逆変換 によって変換されるため、これらの成分は 基底の変更によって
反変変換される と言われます。
A が 2 つのペアを関連付ける方法は 、次の非公式の図で矢印を使用して表されます。矢印の反転は反変変化を示します。
f
⟶
f
′
v
[
f
]
⟵
v
[
f
′
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &\longrightarrow \mathbf {f'} \\v[\mathbf {f} ]&\longleftarrow v[\mathbf {f'} ]\end{aligned}}}
V 上の 線型 汎関数 α は、 f 基底
におけるその 成分（ S の元 ） によって次のように一意に表現される。
α
(
X
i
)
=
α
i
[
f
]
,
i
=
1
,
2
,
…
,
n
.
{\displaystyle \alpha (X_{i})=\alpha _{i}[\mathbf {f} ],\quad i=1,2,\dots ,n.}
これらの成分は、 f 基底の 基底ベクトル X i に対するα の作用です 。
基底をfから f ′（ 1 経由）に 変更すると 、成分は次のように変換されます。
α の成分の 行ベクトルを α [ f ]
で 表す。
α
[
f
]
=
[
α
1
[
f
]
,
α
2
[
f
]
,
…
,
α
n
[
f
]
]
{\displaystyle \mathbf {\alpha } [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\alpha _{1}[\mathbf {f} ],\alpha _{2}[\mathbf {f} ],\dots ,\alpha _{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}}
なので、（ ３ ）は行列積として書き直すことができる。
α
[
f
A
]
=
α
[
f
]
A
.
{\displaystyle \alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A.}
線形関数 α の成分は行列 A とともに変換されるため、これらの成分は基底の変更に対して
共変的に変換する と言われます。
A が 2 つのペアを関連付ける方法は 、次の非公式の図で矢印を使用して表されます。矢印が同じ方向を向いているため、共変関係が示されます。
f
⟶
f
′
α
[
f
]
⟶
α
[
f
′
]
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &\longrightarrow \mathbf {f'} \\\alpha [\mathbf {f} ]&\longrightarrow \alpha [\mathbf {f'} ]\end{aligned}}}
列ベクトル表現が代わりに使用された場合、変換法則は 転置となる。
α
T
[
f
A
]
=
A
T
α
T
[
f
]
.
{\displaystyle \alpha ^{\mathrm {T} }[\mathbf {f} A]=A^{\mathrm {T} }\alpha ^{\mathrm {T} }[\mathbf {f} ].}
座標 ベクトル空間 V上の基底 f の選択は、 V 上の座標関数の集合を一意に定義し 、
x
i
[
f
]
(
v
)
=
v
i
[
f
]
.
{\displaystyle x^{i}[\mathbf {f} ](v)=v^{i}[\mathbf {f} ].}
したがって、
V 上の座標は、
x
i
[
f
A
]
=
∑
k
=
1
n
a
~
k
i
x
k
[
f
]
.
{\displaystyle x^{i}[\mathbf {f} A]=\sum _{k=1}^{n}{\tilde {a}}_{k}^{i}x^{k}[\mathbf {f} ].}
逆に、 V 上の 座標 x i のように変換するn 個の量 v i のシステムは 、反変ベクトル (または単にベクトル) を定義します。座標と反対に変換する n 個の量のシステムは、共変ベクトル (または共ベクトル) です。
この反変性と共変性の定式化は、ベクトルが接ベクトル または 余接ベクトル として存在する 座標空間（ 多様体 ）が存在するアプリケーションではより自然であることが多い。多様体上の局所座標系 x i が与えられた場合、座標系の参照軸は ベクトル場である。
X
1
=
∂
∂
x
1
,
…
,
X
n
=
∂
∂
x
n
.
{\displaystyle X_{1}={\frac {\partial }{\partial x^{1}}},\dots ,X_{n}={\frac {\partial }{\partial x^{n}}}.}
これにより、座標パッチのすべての点に
フレーム f = ( X 1 、...、 X n )が生成されます。
y i が 異なる座標系で
あり、
Y
1
=
∂
∂
y
1
,
…
,
Y
n
=
∂
∂
y
n
,
{\displaystyle Y_{1}={\frac {\partial }{\partial y^{1}}},\dots ,Y_{n}={\frac {\partial }{\partial y^{n}}},}
するとフレーム f'は 座標遷移の
ヤコビ行列 の逆行列によって フレーム fに関連付けられます。
f
′
=
f
J
−
1
,
J
=
(
∂
y
i
∂
x
j
)
i
,
j
=
1
n
.
{\displaystyle \mathbf {f} '=\mathbf {f} J^{-1},\quad J=\left({\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}\right)_{i,j=1}^{n}.}
あるいは、インデックスでは、
∂
∂
y
i
=
∑
j
=
1
n
∂
x
j
∂
y
i
∂
∂
x
j
.
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial y^{i}}}=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial x^{j}}{\partial y^{i}}}{\frac {\partial }{\partial x^{j}}}.}
接線ベクトルは定義により、座標部分の線形結合であるベクトルである 。したがって、接線ベクトルは次のように定義される。
∂
/
∂
x
i
{\displaystyle \partial /\partial x^{i}}
v
=
∑
i
=
1
n
v
i
[
f
]
X
i
=
f
v
[
f
]
.
{\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i}=\mathbf {f} \ \mathbf {v} [\mathbf {f} ].}
このようなベクトルはフレームの変化に対して反変である。座標系の変化に対して、
v
[
f
′
]
=
v
[
f
J
−
1
]
=
J
v
[
f
]
.
{\displaystyle \mathbf {v} \left[\mathbf {f} '\right]=\mathbf {v} \left[\mathbf {f} J^{-1}\right]=J\,\mathbf {v} [\mathbf {f} ].}
したがって、接線ベクトルの成分は次のように変換される。
v
i
[
f
′
]
=
∑
j
=
1
n
∂
y
i
∂
x
j
v
j
[
f
]
.
{\displaystyle v^{i}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}v^{j}[\mathbf {f} ].}
したがって、ある座標系から別の座標系に移るときにこのように変換される、座標に依存する
n 個の量 v i のシステムは、反変ベクトルと呼ばれます。
計量を持つベクトルの共変成分と反変成分 反変成分 ベクトルの 座標軸に 投影する ことで得られる。共変成分 座標超平面の法線上に投影することによって得られます。 対称 双線型形式 g : V × V → K （計量テンソル とも呼ばれる）を持つ 体 K 上の有限次元 ベクトル空間 Vでは、 双線型形式 によって共変ベクトルと反変ベクトルの間にほとんど区別がありません。 つまり、ベクトル v は、共変ベクトル α を 次のよう
に一意に決定します。
α
(
w
)
=
g
(
v
,
w
)
{\displaystyle \alpha (w)=g(v,w)}
すべてのベクトル w に対して成り立ちます。逆に、各共ベクトル α は この式によって一意のベクトル v を決定します。ベクトルと共ベクトルのこの同一視により、ベクトルの 共変成分 または 反変成分 について話すことができます。つまり、それらは単に 逆数基底 を使用した同じベクトルの表現です。
V の 基底 f = ( X 1 , ..., X n )が与えられたとき、 V の 逆基底 f # = ( Y 1 , ..., Y n ) は、次の式で定義される。
g
(
Y
i
,
X
j
)
=
δ
j
i
,
{\displaystyle g(Y^{i},X_{j})=\delta _{j}^{i},}
クロネッカー のデルタ 。これらの基底では、任意のベクトル v は 次の 2 つの方法で表すことができます。
v
=
∑
i
v
i
[
f
]
X
i
=
f
v
[
f
]
=
∑
i
v
i
[
f
]
Y
i
=
f
♯
v
♯
[
f
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}v&=\sum _{i}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i}=\mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]\\&=\sum _{i}v_{i}[\mathbf {f} ]Y^{i}=\mathbf {f} ^{\sharp }\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ].\end{aligned}}}
成分 v i [ f ] は 基底 f におけるベクトル vの 反変成分 であり、成分 v i [ f ] は 基底 fにおける v の 共変成分 である。この用語は、基底の変更のもとで、
v
[
f
A
]
=
A
−
1
v
[
f
]
,
v
♯
[
f
A
]
=
A
T
v
♯
[
f
]
.
{\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f} A]=A^{-1}\mathbf {v} [\mathbf {f} ],\quad \mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} A]=A^{T}\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ].}
ユークリッド平面 ユークリッド平面では、 ドット積によって ベクトルを共ベクトルと同一視することができる。 が 基底である場合、双対基底は次式 を満たす。
e
1
,
e
2
{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2}}
e
1
,
e
2
{\displaystyle \mathbf {e} ^{1},\mathbf {e} ^{2}}
e
1
⋅
e
1
=
1
,
e
1
⋅
e
2
=
0
e
2
⋅
e
1
=
0
,
e
2
⋅
e
2
=
1.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {e} ^{1}\cdot \mathbf {e} _{1}=1,&\quad \mathbf {e} ^{1}\cdot \mathbf {e} _{2}=0\\\mathbf {e} ^{2}\cdot \mathbf {e} _{1}=0,&\quad \mathbf {e} ^{2}\cdot \mathbf {e} _{2}=1.\end{aligned}}}
したがって、 e 1 と e 2 は 互いに垂直であり、 e 2 と e 1 も垂直であり、 e 1 と e 2 の長さはそれぞれ
e 1 と e 2 に対して正規化されます。
例 例えば [5] では、互いに45°の角度をなすベクトルのペアからなる 基底 e1 、 e2 が与えられており、 e1 の 長さは2、 e2 の長さは1 で あるとします。このとき、双対基底ベクトルは次のように与えられます。
e 2は、 e 1 を 90° の角度で 回転させ（ここで、 e 1 、 e 2のペアが正の方向にあると仮定して方向を測定）、 e 2 ⋅ e 2 = 1 が成立するように再スケーリングした結果です 。 e 1 は、 e 2 を 90° 回転し、 e 1 ⋅ e 1 = 1 が成立するように再スケーリングした結果です 。 これらのルールを適用すると、
e
1
=
1
2
e
1
−
1
2
e
2
{\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {1}{2}}\mathbf {e} _{1}-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{2}}
そして
e
2
=
−
1
2
e
1
+
2
e
2
.
{\displaystyle \mathbf {e} ^{2}=-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\mathbf {e} _{1}+2\mathbf {e} _{2}.}
したがって、元の基底から逆基底への基底行列の変化は
R
=
[
1
2
−
1
2
−
1
2
2
]
,
{\displaystyle R={\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&2\end{bmatrix}},}
以来
[
e
1
e
2
]
=
[
e
1
e
2
]
[
1
2
−
1
2
−
1
2
2
]
.
{\displaystyle [\mathbf {e} ^{1}\ \mathbf {e} ^{2}]=[\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}]{\begin{bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&2\end{bmatrix}}.}
例えば、ベクトル
v
=
3
2
e
1
+
2
e
2
{\displaystyle v={\frac {3}{2}}\mathbf {e} _{1}+2\mathbf {e} _{2}}
反変成分を持つベクトルである
v
1
=
3
2
,
v
2
=
2.
{\displaystyle v^{1}={\frac {3}{2}},\quad v^{2}=2.}
共変成分はベクトル v の 2 つの式を等しくすることで得られます。
v
=
v
1
e
1
+
v
2
e
2
=
v
1
e
1
+
v
2
e
2
{\displaystyle v=v_{1}\mathbf {e} ^{1}+v_{2}\mathbf {e} ^{2}=v^{1}\mathbf {e} _{1}+v^{2}\mathbf {e} _{2}}
それで
[
v
1
v
2
]
=
R
−
1
[
v
1
v
2
]
=
[
4
2
2
1
]
[
v
1
v
2
]
=
[
6
+
2
2
2
+
3
2
]
.
{\displaystyle {\begin{aligned}{\begin{bmatrix}v_{1}\\v_{2}\end{bmatrix}}&=R^{-1}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}4&{\sqrt {2}}\\{\sqrt {2}}&1\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}v^{1}\\v^{2}\end{bmatrix}}\\&={\begin{bmatrix}6+2{\sqrt {2}}\\2+{\frac {3}{\sqrt {2}}}\end{bmatrix}}\end{aligned}}.}
3次元ユークリッド空間 3次元 ユークリッド空間では、必ずしも直交や単位ノルムであるとは想定されていない E 3 の 基底ベクトル e 1 、 e 2 、 e 3 の与えられたセットに対する双対基底を明示的に決定すること もできます。双対基底ベクトルは次のとおりです。
e
1
=
e
2
×
e
3
e
1
⋅
(
e
2
×
e
3
)
;
e
2
=
e
3
×
e
1
e
2
⋅
(
e
3
×
e
1
)
;
e
3
=
e
1
×
e
2
e
3
⋅
(
e
1
×
e
2
)
.
{\displaystyle \mathbf {e} ^{1}={\frac {\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3}}{\mathbf {e} _{1}\cdot (\mathbf {e} _{2}\times \mathbf {e} _{3})}};\qquad \mathbf {e} ^{2}={\frac {\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1}}{\mathbf {e} _{2}\cdot (\mathbf {e} _{3}\times \mathbf {e} _{1})}};\qquad \mathbf {e} ^{3}={\frac {\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2}}{\mathbf {e} _{3}\cdot (\mathbf {e} _{1}\times \mathbf {e} _{2})}}.}
e i と e i が 正規直交 でない 場合でも 、それらは相互に逆数です。
e
i
⋅
e
j
=
δ
j
i
,
{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{j}=\delta _{j}^{i},}
すると、任意のベクトルv の反変成分は、 v と双対基底ベクトル
の ドット積 によって得られます。
q
1
=
v
⋅
e
1
;
q
2
=
v
⋅
e
2
;
q
3
=
v
⋅
e
3
.
{\displaystyle q^{1}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{1};\qquad q^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{2};\qquad q^{3}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{3}.}
同様に、 v の共変成分は、 v と基底ベクトルのドット積から得られます 。
q
1
=
v
⋅
e
1
;
q
2
=
v
⋅
e
2
;
q
3
=
v
⋅
e
3
.
{\displaystyle q_{1}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{1};\qquad q_{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{2};\qquad q_{3}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{3}.}
そして、 v は 2 つの (逆数の) 方法で表現できます。
v
=
q
i
e
i
=
q
1
e
1
+
q
2
e
2
+
q
3
e
3
.
{\displaystyle \mathbf {v} =q^{i}\mathbf {e} _{i}=q^{1}\mathbf {e} _{1}+q^{2}\mathbf {e} _{2}+q^{3}\mathbf {e} _{3}.}
または
v
=
q
i
e
i
=
q
1
e
1
+
q
2
e
2
+
q
3
e
3
{\displaystyle \mathbf {v} =q_{i}\mathbf {e} ^{i}=q_{1}\mathbf {e} ^{1}+q_{2}\mathbf {e} ^{2}+q_{3}\mathbf {e} ^{3}}
上記の関係を組み合わせると、
v
=
(
v
⋅
e
i
)
e
i
=
(
v
⋅
e
i
)
e
i
{\displaystyle \mathbf {v} =(\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i})\mathbf {e} _{i}=(\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i})\mathbf {e} ^{i}}
そして基底と双対基底を次のように変換できる。
q
i
=
v
⋅
e
i
=
(
q
j
e
j
)
⋅
e
i
=
(
e
j
⋅
e
i
)
q
j
{\displaystyle q_{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i}=(q^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=(\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{i})q^{j}}
そして
q
i
=
v
⋅
e
i
=
(
q
j
e
j
)
⋅
e
i
=
(
e
j
⋅
e
i
)
q
j
.
{\displaystyle q^{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(q_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=(\mathbf {e} ^{j}\cdot \mathbf {e} ^{i})q_{j}.}
基底ベクトルが 正規直交で ある場合、それらは双対基底ベクトルと同じになります。
一般ユークリッド空間 より一般的には、 n 次元ユークリッド空間 V において 、基底が
e
1
,
…
,
e
n
,
{\displaystyle \mathbf {e} _{1},\dots ,\mathbf {e} _{n},}
逆数基底は次のように与えられる（二重の指数は合計される）。
e
i
=
g
i
j
e
j
{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}=g^{ij}\mathbf {e} _{j}}
ここで係数 g ijは 逆行列の要素である。
g
i
j
=
e
i
⋅
e
j
.
{\displaystyle g_{ij}=\mathbf {e} _{i}\cdot \mathbf {e} _{j}.}
実際、
e
i
⋅
e
k
=
g
i
j
e
j
⋅
e
k
=
g
i
j
g
j
k
=
δ
k
i
.
{\displaystyle \mathbf {e} ^{i}\cdot \mathbf {e} _{k}=g^{ij}\mathbf {e} _{j}\cdot \mathbf {e} _{k}=g^{ij}g_{jk}=\delta _{k}^{i}.}
任意のベクトルの共変成分と反変成分
v
=
q
i
e
i
=
q
i
e
i
{\displaystyle \mathbf {v} =q_{i}\mathbf {e} ^{i}=q^{i}\mathbf {e} _{i}\,}
上記のように関連している
q
i
=
v
⋅
e
i
=
(
q
j
e
j
)
⋅
e
i
=
q
j
g
j
i
{\displaystyle q_{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} _{i}=(q^{j}\mathbf {e} _{j})\cdot \mathbf {e} _{i}=q^{j}g_{ji}}
そして
q
i
=
v
⋅
e
i
=
(
q
j
e
j
)
⋅
e
i
=
q
j
g
j
i
.
{\displaystyle q^{i}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {e} ^{i}=(q_{j}\mathbf {e} ^{j})\cdot \mathbf {e} ^{i}=q_{j}g^{ji}.}
テンソル解析での使用 共変性と反変性の区別は、混合分散を 持つことが多い テンソル の計算で特に重要です 。つまり、テンソルには共変成分と反変成分の両方、またはベクトル成分と共ベクトル成分の両方があります。テンソルの価数は共変項と反変項の数であり、 アインシュタイン表記 では、共変成分には低いインデックスが、反変成分には高いインデックスが付きます。共変性と反変性の双対性は、ベクトルまたはテンソルの量が成分によって表される場合に必ず発生しますが、現代の 微分幾何学 では、より洗練された インデックスフリーの方法を使用してテンソルを表します 。
テンソル解析 では 、 共変 ベクトルは、対応する反変ベクトルと多かれ少なかれ相互に変化します。ベクトル空間内のオブジェクトの長さ、面積、体積の表現は、共変および反変のインデックスを持つテンソルで表すことができます。座標の単純な拡大と縮小では相互性は正確ですが、アフィン変換では、共変表現と反変表現の間を行き来するときにベクトルの成分が混ざり合います。
多様体 では 、 テンソル場は 通常、複数の上限インデックスと下限インデックスを持ち、アインシュタイン表記が広く使用されています。多様体に計量 が備わっている場合 、 共変インデックスと反変インデックスは互いに非常に密接に関連します。反変インデックスは、計量テンソルと 縮約する ことで共変インデックスに変換できます。逆は、計量テンソルの (行列) 逆と縮約することで可能です。一般に、計量テンソルが備わっていない空間ではこのような関係は存在しないことに注意してください。さらに、より抽象的な観点からは、テンソルは単に「そこに」あり、どちらの種類のテンソルのコンポーネントも、選択した座標によって値が決まる計算上の成果物にすぎません。
幾何学的な用語で説明すると、一般テンソルは、 接バンドル だけでなく余接バンドルに存在する部分を持っているため、 共変 インデックスだけでなく反変インデックスも持つことになります。
反変ベクトルは のように変換されるベクトルであり 、ここでは 固有時間 における粒子の座標です 。共変ベクトルは のように変換されるベクトルであり 、ここで はスカラー場です。
d
x
μ
d
τ
{\displaystyle {\frac {dx^{\mu }}{d\tau }}}
x
μ
{\displaystyle x^{\mu }\!}
τ
{\displaystyle \tau }
∂
φ
∂
x
μ
{\displaystyle {\frac {\partial \varphi }{\partial x^{\mu }}}}
φ
{\displaystyle \varphi }
代数学と幾何学 圏論 には、 共変関手 と 反変関手 があります。 双対空間 をベクトル空間に 割り当てることは、反変関手の標準的な例です。反変（共変）ベクトルは、a - トルソル から の基本表現への反変（共変）関手です 。同様に、高次のテンソルは、 の他の表現に値を持つ関手です 。ただし、 多重線型代数 の一部の構成は「混合」分散であるため、関手になることができません。
GL
(
n
)
{\displaystyle {\text{GL}}(n)}
GL
(
n
)
{\displaystyle {\text{GL}}(n)}
GL
(
n
)
{\displaystyle {\text{GL}}(n)}
微分幾何学 では、 接束 の基底に対するベクトルの成分は 、基底の変化と同じ線型変換で変化する場合は共変です。逆変換で変化する場合は反変です。これは、2 つの異なるが関連する理由で混乱の原因になることがあります。1 つ目は、成分が共変であるベクトル (共ベクトルまたは 1 形式 と呼ばれる) は実際には 滑らかな関数で 引き戻されるため、共ベクトルの空間を滑らかな多様体に割り当てる操作は、実際には 反変 関数であるということです。同様に、成分が反変であるベクトルは滑らかなマッピングで 前進する ため、(反変) ベクトルの空間を滑らかな多様体に割り当てる操作は 共変 関数です。2 つ目は、微分幾何学への古典的なアプローチでは、最も基本的なオブジェクトは接束の基底ではなく、座標系の変化です。反変成分を持つベクトルは、座標の変化と同じように変換されます (これらは実際には基底の誘導された変化と反対に変化するため)。同様に、共変成分を持つベクトルは、座標の変化と反対に変換されます。
参照
注記
^ ここで基底 f は R n から V への 線型同型 として見ることができる 。 f を その要素が基底の要素である行ベクトルとみなすと、関連する線型同型は次のようになる。
x
↦
f
x
.
{\displaystyle \mathbf {x} \mapsto \mathbf {f} \mathbf {x} .}
引用
^ ミスナー、C.; ソーン、KS; ウィーラー、JA (1973)。 重力 。WHフリーマン 。ISBN
0-7167-0344-0 。
^ フランケル、セオドア（2012年）。物理学の幾何学：入門。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局 。p.42。ISBN 978-1-107-60260-1 . OCLC 739094283. ^ シルベスター、JJ (1851)。「関連代数形式の一般理論について」。 ケンブリッジおよびダブリン数学ジャーナル 。第6巻。pp. 289– 293。 ^ シルベスター、JJ大学出版局（2012年2月16日）。 ジェームズ・ジョセフ・シルベスターの数学論文集 。第3巻、 1870- 1883年。ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 978-1107661431 . OCLC 758983870. ^ Bowen, Ray; Wang, C.-C. (2008) [1976]. 「§3.14 逆基底と基底の変化」. ベクトルとテンソル入門 . ドーバー. pp. 78, 79, 81. ISBN 9780486469140 。
参考文献
Kusse, Bruce R.; Westwig, Erik A. (2010)、 数理物理学：科学者とエンジニアのための応用数学 （第2版）、Wiley、 ISBN 978-3-527-61814-9 。 アルフケン、ジョージ B. ; ウェーバー、ハンス J. (2005)、 物理学者のための数学的手法 (第 6 版)、ハーコート、 ISBN 0-12-059876-0 。 Dodson, CTJ; Poston, T. (1991)、 テンソル幾何学 、Graduate Texts in Mathematics、第130巻（第2版）、Springer、 ISBN 978-3-540-52018-4 、 MR 1223091 。 Greub、Werner Hildbert (1967)、 多重線形代数 、Die Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften、Band 136、Springer、 ISBN 9780387038278 、 MR 0224623 。 シュロモ・シュテルンバーグ （1983）『 微分幾何学の講義』 チェルシー、 ISBN 978-0-8284-0316-0 。 シルベスター、JJ (1853)、「2つの有理積分関数の合同関係の理論について、シュトゥルム関数の理論と最大代数共通測度の理論への応用を含む」、 ロンドン王立協会哲学論文集 、 143 : 407–548 、 doi : 10.1098/rstl.1853.0018 、 JSTOR 108572 。 ウェインライヒ、ガブリエル (1998)、 「幾何学的ベクトル」 、シカゴ物理学講義、シカゴ大学出版、p. 126、 ISBN 9780226890487
外部リンク
![{\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}v^{1}[\mathbf {f} ]\\v^{2}[\mathbf {f} ]\\\vdots \\v^{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afc428882c2502b9b82f8e88856bb8985f1836bb)
![{\displaystyle v=\mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/38d62c1fce2d588ff5543c46b26b15d354db8e7b)
![{\displaystyle v=\mathbf {f'} \,\mathbf {v} [\mathbf {f'} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f24c4af1d82c8bba470455e014d188cb989085c9)
![{\displaystyle \mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]=v=\mathbf {f'} \,\mathbf {v} [\mathbf {f'} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7f6ae22d1881c5be8c2e435fd3810a23551dda3d)
![{\displaystyle \mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf {f} ]=\mathbf {f} A\,\mathbf {v} [\mathbf {f} A],}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b3962d1a863f65b032f3b7d5a05175eac62af5bf)
![{\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f'} ]=\mathbf {v} [\mathbf {f} A]=A^{-1}\mathbf {v} [\mathbf {f} ]。 }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6630fe6471c5410ab309a1c0ab87c7223b5464e7)
![{\displaystyle v^{i}[\mathbf {f} A]=\sum _{j}{\tilde {a}}_{j}^{i}v^{j}[\mathbf {f} ] }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/36ca85c58ceffe95646387b0e4db8ca41c7d0e28)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &\longrightarrow \mathbf {f'} \\v[\mathbf {f} ]&\longleftarrow v[\mathbf {f'} ]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5d2943b0ec7e69cb464eb00796b0bff1d69a0f0)
![{\displaystyle \alpha (X_{i})=\alpha _{i}[\mathbf {f} ],\quad i=1,2,\dots ,n.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78cef0e07edd6ef776ee9446d8b5657e8cc60714)
![{\displaystyle \mathbf {\alpha } [\mathbf {f} ]={\begin{bmatrix}\alpha _{1}[\mathbf {f} ],\alpha _{2}[\mathbf {f} ] ,\dots ,\alpha _{n}[\mathbf {f} ]\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0247136386ed2b4d1f43e74799c7f407e11ed256)
![{\displaystyle \alpha [\mathbf {f} A]=\alpha [\mathbf {f} ]A.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/436acd9e89552942c6d549a6a038ca9937d8b7c8)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {f} &\longrightarrow \mathbf {f'} \\\alpha [\mathbf {f} ]&\longrightarrow \alpha [\mathbf {f'} ]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c04607cbf2bfc1a7da5b554f0420330d1f74b79)
![{\displaystyle \alpha ^{\mathrm {T} }[\mathbf {f} A]=A^{\mathrm {T} }\alpha ^{\mathrm {T} }[\mathbf {f} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/16f71a15d988fc7aaedf7dc061404b7fcbabd86d)
=v^{i}[\mathbf {f} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bf418accb17eaa6ed703c602ee0d86c16f3f7b20)
![{\displaystyle x^{i}[\mathbf {f} A]=\sum _{k=1}^{n}{\チルダ {a}}_{k}^{i}x^{k}[ \mathbf {f} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d965941430a4a727c5f692ca8e41f85be625e9e5)
![{\displaystyle v=\sum _{i=1}^{n}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i}=\mathbf {f} \ \mathbf {v} [\mathbf {f } ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f7f4bfe3855fb91cf213b8e6c7e4a7dbede12dd3)
![{\displaystyle \mathbf {v} \left[\mathbf {f} '\right]=\mathbf {v} \left[\mathbf {f} J^{-1}\right]=J\,\mathbf {v} [\mathbf {f} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab62393cdc939fedcec59eb7945ffc07a8a6e79d)
![{\displaystyle v^{i}\left[\mathbf {f} '\right]=\sum _{j=1}^{n}{\frac {\partial y^{i}}{\partial x^{j}}}v^{j}[\mathbf {f} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ea205057474e8e596a9406f07597320be1e4a660)
![{\displaystyle {\begin{aligned}v&=\sum _{i}v^{i}[\mathbf {f} ]X_{i}=\mathbf {f} \,\mathbf {v} [\mathbf { f} ]\\&=\sum _{i}v_{i}[\mathbf {f} ]Y^{i}=\mathbf {f} ^{\sharp }\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ].\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6538d5f776d3947fd2ed6d5db54be5e071b900ac)
![{\displaystyle \mathbf {v} [\mathbf {f} A]=A^{-1}\mathbf {v} [\mathbf {f} ],\quad \mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} A]=A^{T}\mathbf {v} ^{\sharp }[\mathbf {f} ].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3bca970af95f22780bfba49634b4e6a701098e32)
![{\displaystyle [\mathbf {e} ^{1}\ \mathbf {e} ^{2}]=[\mathbf {e} _{1}\ \mathbf {e} _{2}]{\begin{ bmatrix}{\frac {1}{2}}&-{\frac {1}{\sqrt {2}}}\\-{\frac {1}{\sqrt {2}}}&2\end{bmatrix}}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5846e698a99413b0601d451ac86e543924a4544)
