パラベクター

パラベクトルという名前は、物理学者の間では幾何代数として知られるクリフォード代数におけるスカラーとベクトルの組み合わせに使用されます。

この名前は、1989 年にオランダのデルフト工科大学の博士論文で JG Maks によって付けられました。

3 次元ユークリッド空間のコンテキストにおける、対応するより高次の一般化を伴うパラベクトルの完全な代数は、David Hestenesによって導入された時空代数(STA) の代替アプローチです。この代替代数は、物理空間代数(APS)と呼ばれます。

ユークリッド空間の場合、基本公理はベクトルとそれ自身の積が長さの2乗（正）のスカラー値であることを示している。

${\displaystyle \mathbf {v} \mathbf {v} =\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }$

書き込み

${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {u} +\mathbf {w} ,}$

これを基本公理の表現に導入すると

${\displaystyle (\mathbf {u} +\mathbf {w} )^{2}=\mathbf {u} \mathbf {u} +\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} +\mathbf {w} \mathbf {w} ,}$

基本公理を再度適用すると、次の式が得られる。

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +2\mathbf {u} \cdot \mathbf {w} +\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} =\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} +\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} +\mathbf {w} \cdot \mathbf {w} ,}$

これにより、2つのベクトルのスカラー積を次のように識別することができる。

${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \mathbf {w} ={\frac {1}{2}}\left(\mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} \right).}$

重要な帰結として、2つの直交ベクトル（スカラー積がゼロ）は反交換であるという結論が導かれる。

${\displaystyle \mathbf {u} \mathbf {w} +\mathbf {w} \mathbf {u} =0}$

次のリストは、空間の完全な基底の例を表しています。 ${\displaystyle C\ell _{3}}$

${\displaystyle \{1,\{\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\},\{\mathbf {e} _{23},\mathbf {e} _{31},\mathbf {e} _{12}\},\mathbf {e} _{123}\},}$

これは8次元空間を形成し、複数のインデックスはそれぞれの基底ベクトルの積を示す。例えば

${\displaystyle \mathbf {e} _{23}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}.}$

基底要素の次数はベクトルの多重度によって定義され、

基本公理によれば、2つの異なる基底ベクトルは反交換であり、

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}+\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}=2\delta _{ij}}$

言い換えれば、

${\displaystyle \mathbf {e} _{i}\mathbf {e} _{j}=-\mathbf {e} _{j}\mathbf {e} _{i}\,\,;i\neq j}$

これは体積要素が2乗されることを意味します${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$${\displaystyle -1}$

${\displaystyle \mathbf {e} _{123}^{2}=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}=-\mathbf {e} _{3}\mathbf {e} _{3}=-1.}$

さらに、体積要素は代数の他の要素と可換であるため、混乱の恐れがなければ、複素数 と同一視することができます。実際、体積要素は 実スカラーとともに、標準的な複素代数と同型の代数を形成します。体積要素を使用して、基底の同等の形式を次のように書き直すことができます。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$${\displaystyle C\ell (3)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbf {e} _{123}}$

実スカラーとベクトルを組み合わせた対応する準ベクトル基底は

${\displaystyle \{1,\mathbf {e} _{1},\mathbf {e} _{2},\mathbf {e} _{3}\}}$、

これは 4 次元の線形空間を形成します。3 次元ユークリッド空間の準ベクトル空間は、物理空間代数(APS)で表現される特殊相対性理論の時空間を表すために使用できます。 ${\displaystyle C\ell _{3}}$

単位スカラーを と書くと便利で、完全な基底は次のように簡潔な形で書くことができる。 ${\displaystyle 1=\mathbf {e} _{0}}$

${\displaystyle \{\mathbf {e} _{\mu }\},}$

ここで、ギリシャ語のインデックスは から までです。 ${\displaystyle \mu }$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 3}$

逆反自己同型は で表されます。この共役の作用は、幾何積（一般にクリフォード数間の積）の順序を逆にすることです。 ${\displaystyle \dagger }$

${\displaystyle (AB)^{\dagger }=B^{\dagger }A^{\dagger }}$、

ここで、ベクトルと実スカラー数は反転共役に対して不変であり、実数であると言われます。たとえば、

${\displaystyle \mathbf {a} ^{\dagger }=\mathbf {a} }$

${\displaystyle 1^{\dagger }=1}$

一方、三重ベクトルと二重ベクトルは反転共役によって符号が変わり、純虚数であると言われる。各基底要素に適用される反転共役は以下のように与えられる。

クリフォード活用は、オブジェクトの上にバーが付くことで表されます 。この活用はバー活用とも呼ばれます。 ${\displaystyle {\bar {}}}$

クリフォード活用は、等級の退化と逆転の複合作用です。

クリフォード共役のパラベクトルへの作用は、実スカラー数の符号を維持しながらベクトルの符号を反転することである。例えば、

${\displaystyle {\bar {\mathbf {a} }}=-\mathbf {a} }$

${\displaystyle {\bar {1}}=1}$

これは、スカラーとベクトルの両方が反転に対して不変であるためです (1 つまたはまったく順序を反転することは不可能です)。また、スカラーはゼロ次であるため偶数次ですが、ベクトルは奇数次であるため、次数の反転によって符号が変わります。

反自己同型として、クリフォード共役は次のように分布する。

${\displaystyle {\overline {AB}}={\overline {B}}\,\,{\overline {A}}}$

各基底要素に適用されるバー共役は以下のように示される。

• 注意: 体積要素は棒グラフの共役に対して不変です。

等級自己同型性

${\displaystyle {\overline {AB}}^{\dagger }={\overline {A}}^{\dagger }{\overline {B}}^{\dagger }}$

は、偶数次多重ベクトルの不変量を維持しながら、奇数次多重ベクトルの符号を反転したものとして定義されます。

反転とクリフォード共役の下での対称性に基づいて、空間 内に4つの特別な部分空間を定義できる。${\displaystyle C\ell _{3}}$

• スカラー部分空間: クリフォード共役に対して不変。
• ベクトル部分空間: クリフォード共役の下で符号を反転します。
• 実部分空間: 反転共役に対して不変。
• 虚数部分空間: 反転共役の下で符号を反転します。

一般クリフォード数として与えられると、の補スカラー部分と補ベクトル部分は、クリフォード共役による対称および反対称の組み合わせで与えられる。 ${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{S}={\frac {1}{2}}(p+{\overline {p}}),}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{V}={\frac {1}{2}}(p-{\overline {p}})}$。

同様に、の補実部と虚部は、反転共役による対称および反対称の組み合わせで与えられる。 ${\displaystyle p}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{R}={\frac {1}{2}}(p+p^{\dagger }),}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{I}={\frac {1}{2}}(p-p^{\dagger })}$。

以下に挙げる4つの交差点を定義することが可能である。

${\displaystyle \langle p\rangle _{RS}=\langle p\rangle _{SR}\equiv \langle \langle p\rangle _{R}\rangle _{S}}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{RV}=\langle p\rangle _{VR}\equiv \langle \langle p\rangle _{R}\rangle _{V}}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{IV}=\langle p\rangle _{VI}\equiv \langle \langle p\rangle _{I}\rangle _{V}}$

${\displaystyle \langle p\rangle _{IS}=\langle p\rangle _{SI}\equiv \langle \langle p\rangle _{I}\rangle _{S}}$

次の表は、それぞれの部分空間のグレードをまとめたものであり、例えばグレード0は実部分空間とスカラー部分空間の交差として見ることができる。

• 注意: 「虚数」という用語は代数の文脈で使用され、いかなる形式でも標準的な複素数の導入を意味するものではありません。${\displaystyle C\ell _{3}}$

積に関して閉じている部分空間は 2 つあります。それらは、複素数と四元数のよく知られた代数と同型であるスカラー空間と偶数空間です。

• 0級と3級からなるスカラー空間は、複素数の標準代数と同型であり、

  ${\displaystyle \mathbf {e} _{123}=i.}$

• 0次と2次の元からなる偶数空間は、次の同一視により 四元数の代数と同型である。

  ${\displaystyle -\mathbf {e} _{23}=i}$

  ${\displaystyle -\mathbf {e} _{31}=j}$

  ${\displaystyle -\mathbf {e} _{12}=k.}$

2つのパラベクトルとが与えられた場合、スカラー積の一般化は ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle \langle u{\bar {v}}\rangle _{S}.}$

パラベクトルの大きさの2乗は ${\displaystyle u}$

${\displaystyle \langle u{\bar {u}}\rangle _{S},}$

これは明確な双線形形式ではなく、パラベクトルがゼロでない場合でもゼロになることがあります。

パラベクトル空間がミンコフスキー空間の計量に自動的に従うというの は、 非常に示唆的である。

${\displaystyle \eta _{\mu \nu }=\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\rangle _{S}}$

特に:

${\displaystyle \eta _{00}=\langle \mathbf {e} _{0}{\bar {\mathbf {e} }}_{0}\rangle =\langle 1(1)\rangle _{S}=1,}$

${\displaystyle \eta _{11}=\langle \mathbf {e} _{1}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\rangle =\langle \mathbf {e} _{1}(-\mathbf {e} _{1})\rangle _{S}=-1,}$

${\displaystyle \eta _{01}=\langle \mathbf {e} _{0}{\bar {\mathbf {e} }}_{1}\rangle =\langle 1(-\mathbf {e} _{1})\rangle _{S}=0.}$

2つのパラベクトルとが与えられた場合、双パラベクトルB は次のように定義されます。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$

${\displaystyle B=\langle u{\bar {v}}\rangle _{V}}$。

双パラベクトル基底は次のように書ける。

${\displaystyle \{\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\rangle _{V}\},}$

実数項と虚数項を含む6つの独立した要素が含まれています。3つの実数要素（ベクトル）は

${\displaystyle \langle \mathbf {e} _{0}{\bar {\mathbf {e} }}_{k}\rangle _{V}=-\mathbf {e} _{k},}$

そして3つの虚数要素（二ベクトル）は

${\displaystyle \langle \mathbf {e} _{j}{\bar {\mathbf {e} }}_{k}\rangle _{V}=-\mathbf {e} _{jk}}$

1 から 3 まで実行します 。${\displaystyle j,k}$

物理空間の代数では、電磁場は双パラベクトルとして次のように表現される。

${\displaystyle F=\mathbf {E} +i\mathbf {B} ^{\,},}$

ここで、電場と磁場は両方とも実数ベクトルである。

${\displaystyle \mathbf {E} ^{\dagger }=\mathbf {E} }$

${\displaystyle \mathbf {B} ^{\dagger }=\mathbf {B} }$

擬スカラー体積要素を表します 。${\displaystyle i}$

双パラベクトルのもう一つの例は、次のように表される時空回転速度の表現である。

${\displaystyle W=i\theta ^{j}\mathbf {e} _{j}+\eta ^{j}\mathbf {e} _{j},}$

3 つの通常の回転角変数と 3 つのラピディティを持ちます。 ${\displaystyle \theta ^{j}}$ ${\displaystyle \eta ^{j}}$

3 つのパラベクトル、およびが与えられた場合、3パラベクトルT は次のように定義されます。 ${\displaystyle u}$${\displaystyle v}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle T=\langle u{\bar {v}}w\rangle _{I}}$。

三重ベクトル基底は次のように書ける。

${\displaystyle \{\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\mathbf {e} _{\lambda }\rangle _{I}\},}$

しかし、独立した三重ベクトルは4つしかないので、次のように簡約できる。

${\displaystyle \{i\mathbf {e} _{\rho }\}}$。

擬スカラー基底は

${\displaystyle \{\langle \mathbf {e} _{\mu }{\bar {\mathbf {e} }}_{\nu }\mathbf {e} _{\lambda }{\bar {\mathbf {e} }}_{\rho }\rangle _{IS}\},}$

しかし計算してみると、そこには 1 つの項しか含まれていないことがわかります。この項は体積要素です。 ${\displaystyle i=\mathbf {e} _{1}\mathbf {e} _{2}\mathbf {e} _{3}}$

4つの等級をペアで組み合わせると、次の表に示すように、パラベクトル、バイパラベクトル、トリパラベクトル空間が生成されます。たとえば、パラベクトルは等級0と等級1で構成されています。

パラ勾配演算子は、パラベクトル空間における勾配演算子の一般化である。標準パラベクトル基底におけるパラ勾配は、

${\displaystyle \partial =\mathbf {e} _{0}\partial _{0}-\mathbf {e} _{1}\partial _{1}-\mathbf {e} _{2}\partial _{2}-\mathbf {e} _{3}\partial _{3},}$

これにより、ダランベール演算子は次のように 書ける。

${\displaystyle \square =\langle {\bar {\partial }}\partial \rangle _{S}=\langle \partial {\bar {\partial }}\rangle _{S}}$

標準的な勾配演算子は、次のように自然に定義できます。

${\displaystyle \nabla =\mathbf {e} _{1}\partial _{1}+\mathbf {e} _{2}\partial _{2}+\mathbf {e} _{3}\partial _{3},}$

パラグラディエントは次のように書ける。

${\displaystyle \partial =\partial _{0}-\nabla ,}$

どこ。 ${\displaystyle \mathbf {e} _{0}=1}$

パラグラディエント演算子の適用は、その非可換性に常に留意しながら慎重に行う必要がある。例えば、広く使用されている導関数は次の通りである。

${\displaystyle \partial e^{f(x)\mathbf {e} _{3}}=(\partial f(x))e^{f(x)\mathbf {e} _{3}}\mathbf {e} _{3},}$

ここで、は座標のスカラー関数です。 ${\displaystyle f(x)}$

パラグラディエントは、関数がスカラー関数である場合に常に左から作用する演算子です。ただし、関数がスカラーでない場合は、パラグラディエントは右からも作用します。たとえば、次の式は次のように展開されます。

${\displaystyle (L\partial )=\mathbf {e} _{0}\partial _{0}L+(\partial _{1}L)\mathbf {e} _{1}+(\partial _{2}L)\mathbf {e} _{2}+(\partial _{3}L)\mathbf {e} _{3}}$

ヌルパラベクトルは、必ずしもゼロではないが、大きさがゼロと同じである要素である。ヌルパラベクトルの場合、この特性は必然的に次の恒等式を意味する 。${\displaystyle p}$

${\displaystyle p{\bar {p}}=0.}$

特殊相対性理論の文脈では、これらは光のようなパラベクトルとも呼ばれます。

射影子は、次の形式のヌルパラベクトルである。

${\displaystyle P_{\mathbf {k} }={\frac {1}{2}}(1+{\hat {\mathbf {k} }}),}$

ここで は単位ベクトルです。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$

この形式のプロジェクターには補完的なプロジェクターがある${\displaystyle P_{\mathbf {k} }}$${\displaystyle {\bar {P}}_{\mathbf {k} }}$

${\displaystyle {\bar {P}}_{\mathbf {k} }={\frac {1}{2}}(1-{\hat {\mathbf {k} }}),}$

そのような

${\displaystyle P_{\mathbf {k} }+{\bar {P}}_{\mathbf {k} }=1}$

プロジェクターとしては冪等である

${\displaystyle P_{\mathbf {k} }=P_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }=P_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }P_{\mathbf {k} }=...}$

そして、一方を他方に投影すると、それらはヌルパラベクトルであるためゼロになる。

${\displaystyle P_{\mathbf {k} }{\bar {P}}_{\mathbf {k} }=0.}$

投影の関連する単位ベクトルは次のように抽出できる。

${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}=P_{\mathbf {\mathbf {k} } }-{\bar {P}}_{\mathbf {k} },}$

これは、が固有関数 および を持ち 、 それぞれの固有値 およびを持つ演算子である ことを意味します。 ${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$${\displaystyle P_{\mathbf {\mathbf {k} } }}$${\displaystyle {\bar {P}}_{\mathbf {\mathbf {k} } }}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle -1}$

前の結果から、がゼロ付近で解析的であると 仮定すると、次の等式が成立する。${\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }})}$

${\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }})=f(1)P_{\mathbf {k} }+f(-1){\bar {P}}_{\mathbf {k} }.}$

これにより、 pacwomanプロパティの起源が与えられ、次の恒等式が満たされます。

${\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }})P_{\mathbf {k} }=f(1)P_{\mathbf {k} },}$

${\displaystyle f({\hat {\mathbf {k} }}){\bar {P}}_{\mathbf {k} }=f(-1){\bar {P}}_{\mathbf {k} }.}$

それぞれの要素がヌルである要素の基底は、完全な 空間に対して構築できます。興味のある基底は次のようになります。 ${\displaystyle C\ell _{3}}$

${\displaystyle \{{\bar {P}}_{3},P_{3}\mathbf {e} _{1},P_{3},\mathbf {e} _{1}P_{3}\}}$

任意のパラベクトル

${\displaystyle p=p^{0}\mathbf {e} _{0}+p^{1}\mathbf {e} _{1}+p^{2}\mathbf {e} _{2}+p^{3}\mathbf {e} _{3}}$

次のように書くことができる

${\displaystyle p=(p^{0}+p^{3})P_{3}+(p^{0}-p^{3}){\bar {P}}_{3}+(p^{1}+ip^{2})\mathbf {e} _{1}P_{3}+(p^{1}-ip^{2})P_{3}\mathbf {e} _{1}}$

この表現は、それぞれおよびの 係数である光円錐変数で自然に表現されるいくつかのシステムに役立ちます 。 ${\displaystyle P_{3}}$${\displaystyle {\bar {P}}_{3}}$

パラベクトル空間内のあらゆる表現は、ヌル基底で表すことができます。パラベクトルは一般に、2つの実スカラー数 と一般スカラー数 （スカラー数と擬スカラー数を含む） によってパラメータ化されます。${\displaystyle p}$${\displaystyle \{u,v\}}$${\displaystyle w}$

${\displaystyle p=u{\bar {P}}_{3}+vP_{3}+w\mathbf {e} _{1}P_{3}+w^{\dagger }P_{3}\mathbf {e} _{1}}$

零基底におけるパラグラディエントは

${\displaystyle \partial =2P_{3}\partial _{u}+2{\bar {P}}_{3}\partial _{v}-2\mathbf {e} _{1}P_{3}\partial _{w^{\dagger }}-2P_{3}\mathbf {e} _{1}\partial _{w}}$

n 次元ユークリッド空間では、n 次数の多重ベクトル (n ベクトル) が存在できます。ベクトル空間の次元は明らかに n に等しく、簡単な組み合わせ解析により、バイベクトル空間の次元は であることが示されます。一般に、m 次数の多重ベクトル空間の次元は であり、クリフォード代数全体の次元は です。 ${\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\2\end{pmatrix}}}$${\displaystyle {\begin{pmatrix}n\\m\end{pmatrix}}}$${\displaystyle C\ell (n)}$${\displaystyle 2^{n}}$

同次次数を持つ与えられた多重ベクトルは、不変であるか、または反転共役の作用下で符号が変化するかのいずれかである。不変のままである要素はエルミートとして定義され、符号が変化する要素は反エルミートとして定義される。したがって、次数は次のように分類できる。 ${\displaystyle \dagger }$

空間の代数はパウリ行列代数と同型であり、 ${\displaystyle C\ell (3)}$

そこからヌル基底要素が

${\displaystyle {P_{3}}={\begin{pmatrix}1&0\\0&0\end{pmatrix}}\,;{\bar {P}}_{3}={\begin{pmatrix}0&0\\0&1\end{pmatrix}}\,;{P_{3}}\mathbf {e} _{1}={\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}}\,;\mathbf {e} _{1}{P}_{3}={\begin{pmatrix}0&0\\1&0\end{pmatrix}}.}$

3Dにおける一般的なクリフォード数は次のように表される。

${\displaystyle \Psi =\psi _{11}P_{3}-\psi _{12}P_{3}\mathbf {e} _{1}+\psi _{21}\mathbf {e} _{1}P_{3}+\psi _{22}{\bar {P}}_{3},}$

ここで係数はスカラー要素（擬スカラーを含む）である。このクリフォード数をパウリ行列で表現すると次のようになるよう、インデックスが選択された。 ${\displaystyle \psi _{jk}}$

${\displaystyle \Psi \rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{11}&\psi _{12}\\\psi _{21}&\psi _{22}\end{pmatrix}}}$

反転共役はエルミート共役に変換され、バー共役は次の行列に変換されます。

${\displaystyle {\bar {\Psi }}\rightarrow {\begin{pmatrix}\psi _{22}&-\psi _{12}\\-\psi _{21}&\psi _{11}\end{pmatrix}},}$

スカラー部分は次のように翻訳される。

${\displaystyle \langle \Psi \rangle _{S}\rightarrow {\frac {\psi _{11}+\psi _{22}}{2}}{\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}}={\frac {Tr[\psi ]}{2}}\mathbf {1} _{2\times 2}}$

残りの部分空間は次のように翻訳される。

${\displaystyle \langle \Psi \rangle _{V}\rightarrow {\begin{pmatrix}0&\psi _{12}\\\psi _{21}&0\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \langle \Psi \rangle _{R}\rightarrow {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\psi _{11}+\psi _{11}^{*}&\psi _{12}+\psi _{21}^{*}\\\psi _{21}+\psi _{12}^{*}&\psi _{22}+\psi _{22}^{*}\end{pmatrix}}}$

${\displaystyle \langle \Psi \rangle _{I}\rightarrow {\frac {1}{2}}{\begin{pmatrix}\psi _{11}-\psi _{11}^{*}&\psi _{12}-\psi _{21}^{*}\\\psi _{21}-\psi _{12}^{*}&\psi _{22}-\psi _{22}^{*}\end{pmatrix}}}$

高次元ユークリッド空間の行列表現は、パウリ行列のクロネッカー積によって構成することができ、次元の複素行列が得られる。4D表現は次のように表される。 ${\displaystyle 2^{n}}$

7D表現は次のように考えることができる。

クリフォード代数は、あらゆる古典的なリー代数を表すために使用できます。一般に、反エルミート元を使用してコンパクト群のリー代数を識別することができ、エルミート元を追加することで非コンパクト群に拡張できます。

n 次元ユークリッド空間の双ベクトルはエルミート要素であり、リー代数を表すために使用できます。 ${\displaystyle \mathrm {spin} (n)}$

3 次元ユークリッド空間の双ベクトルは リー代数を形成し、リー代数はリー代数 と同型です。この偶然の同型性により、ブロッホ球面を使用して 2 次元ヒルベルト空間の状態の幾何学的解釈を描くことができます。これらのシステムの 1 つがスピン 1/2 粒子です。 ${\displaystyle \mathrm {spin} (3)}$${\displaystyle \mathrm {su} (2)}$

リー代数は、3 つのユニタリ ベクトルを追加して、リー代数に同型なリー代数を形成することによって拡張できます。これは、ローレンツ群の二重被覆です 。この同型性により、 に基づく特殊相対論の形式化を展開することが可能になり、これは物理空間の代数の形で実行されます。 ${\displaystyle \mathrm {spin} (3)}$${\displaystyle \mathrm {SL} (2,C)}$${\displaystyle \mathrm {SO} (3,1)}$${\displaystyle \mathrm {SL} (2,C)}$

スピンリー代数とリー代数の間には、偶然の同型性が 1 つだけ追加されます。これは、 との間の同型性です。 ${\displaystyle \mathrm {su} (N)}$${\displaystyle \mathrm {spin} (6)}$${\displaystyle \mathrm {su} (4)}$

との間には別の興味深い同型が存在します。したがって、 リー代数を使用して群を生成できます。この群は 群よりも小さいですが、4 次元ヒルベルト空間を張るのに十分であることがわかります。 ${\displaystyle \mathrm {spin} (5)}$${\displaystyle \mathrm {sp} (4)}$${\displaystyle \mathrm {sp} (4)}$${\displaystyle USp(4)}$${\displaystyle \mathrm {SU} (4)}$

• 物理空間の代数
• 物理空間の代数におけるディラック方程式

• ベイリス、ウィリアム (2002)。『電気力学：現代の幾何学的アプローチ』（第 2 版）。ビルクハウザー。ISBN 0-8176-4025-8 
• ベイリス、ウィリアム、クリフォード（幾何）代数と物理学、数学、工学への応用、バークハウザー（1999）
• [H1999] デイヴィッド・ヘステネス：古典力学の新基礎（第2版）。ISBN 0-7923-5514-8 、 Kluwer Academic Publishers（1999） 
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