波ベクトル

物理学において、波ベクトル（または波数ベクトル）は波を記述する際に用いられるベクトルであり、典型的な単位はサイクル毎メートルである。波ベクトルには大きさと方向がある。大きさは波の波数（波長に反比例する）であり、方向は波面に垂直である。等方性媒質においては、これは波の伝播方向でもある。

密接に関連するベクトルとして、角波ベクトル（または角波ベクトル）があり、その典型的な単位はラジアン毎メートルです。波ベクトルと角波ベクトルは、一定の比例定数である $2π$ ラジアン/サイクルで関係付けられています。

物理学のいくつかの分野では、例えば結晶学とは対照的に、角波ベクトルを単に波ベクトルと呼ぶのが一般的である。^[¹^]^[²^] また、どちらが使われているかに関わらず、記号 $k$ を使うのも一般的である。

特殊相対性理論の文脈では、（角）波数ベクトルと（角）周波数を組み合わせた波動4元ベクトルを定義することができる。

意味

波ベクトルと角波ベクトルという用語は、それぞれ異なる意味を持ちます。ここでは、波ベクトルは次のように表されます。 ${\チルダ {\boldsymbol {\nu }}}$ そして波数 ${\tilde {\nu }}=\left|{\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\right|$ 角波数ベクトルは $k$ で表され、角波数 $k = | k |$ で表されます。これらは次の関係にあります。 $\mathbf {k} =2\pi {\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ 。

正弦波進行波は次の式に従う。

\psi (\mathbf {r} ,t)=A\cos(\mathbf {k} \cdot \mathbf {r} -\omega t+\varphi ),

どこ：

$r$ は位置、
$時は来た$ 、
$ψは、波を表す擾乱を表す$ $r$ と $t$ の関数です（例えば、海洋波の場合、 $ψは$ 水の超過高さ、音波の場合、 $ψは$ 空気の超過圧力になります）。
$A$ は波の振幅（振動のピーク値）であり、
$φ$ は位相オフセットであり、
$ω$ は波の（時間的な）角周波数であり、単位時間あたりに波が何ラジアン進むかを表し、周期 $T$ とは次の式 $\omega ={\tfrac {2\pi }{T}},$
$k$ は波の角波数ベクトルであり、単位距離あたりに波が進むラジアン数を表し、波長とは次の式で $|\mathbf {k} |={\tfrac {2\pi }{\lambda }}.$

波数ベクトルと周波数を用いた等価方程式は^{[ 3 ]である。}

\psi \left(\mathbf {r} ,t\right)=A\cos \left(2\pi \left({\tilde {\boldsymbol {\nu }}}\cdot {\mathbf {r} }-ft\right)+\varphi \right),

どこ：

$f$ 周波数は
${\tilde {\boldsymbol {\nu }}}$ 波ベクトル

波ベクトルの方向

波数ベクトルが指す方向は、「波の伝播方向」とは区別されなければなりません。「波の伝播方向」とは、波のエネルギーの流れの方向、つまり小さな波束が移動する方向、すなわち群速度の方向です。真空中の光波の場合、これはポインティングベクトルの方向でもあります。一方、波数ベクトルは位相速度の方向を指します。言い換えれば、波数ベクトルは、位相が一定の面、すなわち波面の法線方向を指します。

空気、あらゆる気体、あらゆる液体、非晶質固体（ガラスなど）、立方晶などの損失のない等方性媒質では、波数ベクトルの方向は波の伝播方向と同じです。媒質が異方性の場合、波数ベクトルは一般に波の伝播方向とは異なる方向を向きます。波数ベクトルは常に一定位相面に垂直です。

例えば、光波が非対称結晶を通過する場合や音波が堆積岩を通過する場合など、波が異方性媒体を通過する際には、波ベクトルは波の伝播方向と正確に一致しない可能性がある。^[⁴^]^[⁵^]

固体物理学において

固体物理学では、結晶中の電子または正孔の「波数ベクトル」（kベクトルとも呼ばれる）は、その量子力学的波動関数の波数ベクトルである。これらの電子波は通常の正弦波ではないが、正弦波状の包絡関数を持ち、波数ベクトルはその包絡波を介して、通常は「物理学的定義」を用いて定義される。詳細についてはブロッホの定理を参照のこと。 ^[⁶^]

特殊相対性理論では

特殊相対性理論における移動する波面は、波面を通過するすべての事象によって形成される時空内の超曲面（3次元部分空間）とみなすことができる。波列（ある変数 $X$ で表される）は、時空内のそのような超曲面の1パラメータ族とみなすことができる。この変数 $X$ は、時空内の位置のスカラー関数である。このスカラーの導関数は、波を特徴付けるベクトル、すなわち4元波ベクトルである。^{[ 7 ]}

4次元波数ベクトルは、ミンコフスキー座標系において次のように定義される波数4次元ベクトルである。

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{v_{p}}}{\hat {n}}\right)=\left({\frac {2\pi }{cT}},{\frac {2\pi {\hat {n}}}{\lambda }}\right)\,

角周波数 ${\tfrac {\omega }{c}}$ は時間成分であり、波数ベクトルは ${\vec {k}}$ これは空間成分です。

あるいは、波数 $k は$ 、角周波数 $ω$ を位相速度 $v p$ で割った値、または逆周期 $T$ と逆波長 $λ$ を用いて表すこともできます。

明示的に書き出すと、その反変形式と共変形式は次のようになります。

{\begin{aligned}K^{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},k_{x},k_{y},k_{z}\right)\,\\[4pt]K_{\mu }&=\left({\frac {\omega }{c}},-k_{x},-k_{y},-k_{z}\right)\end{aligned}}

一般に、波動4元ベクトルのローレンツスカラー量は次のようになる。

K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=\left({\frac {\omega _{o}}{c}}\right)^{2}=\left({\frac {m_{o}c}{\hbar }}\right)^{2}

質量のない（光子）粒子の場合、4波数ベクトルはゼロになります。 $m_{o}=0$

ヌル4波ベクトルの例としては、位相速度が $v_{p}=c$

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega }{c}},{\frac {\omega }{c}}{\hat {n}}\right)={\frac {\omega }{c}}\left(1,{\hat {n}}\right)\,

{光のような/ヌルの場合}

これは、4元波数ベクトルの空間部分の周波数と大きさの間に、次のような関係を持つことになる。

K^{\mu }K_{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}}\right)^{2}-k_{x}^{2}-k_{y}^{2}-k_{z}^{2}=0

{光のような/ヌルの場合}

4元波数ベクトルは、4元運動量と次のような関係にある。

P^{\mu }=\left({\frac {E}{c}},{\vec {p}}\right)=\hbar K^{\mu }=\hbar \left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)

4次元波数ベクトルは、4次元周波数と以下の関係にある。

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)N^{\mu }=\left({\frac {2\pi }{c}}\right)\left(\nu ,\nu {\vec {n}}\right)

4元波数ベクトルは、4元速度と以下の関係にある。

K^{\mu }=\left({\frac {\omega }{c}},{\vec {k}}\right)=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)U^{\mu }=\left({\frac {\omega _{o}}{c^{2}}}\right)\gamma \left(c,{\vec {u}}\right)

ローレンツ変換

4元波数ベクトルのローレンツ変換を行うことで、相対論的ドップラー効果を導出できる。ローレンツ行列は次のように定義される。

\Lambda ={\begin{pmatrix}\gamma &-\beta \gamma &\ 0\ &\ 0\ \\-\beta \gamma &\gamma &0&0\\0&0&1&0\\0&0&0&1\end{pmatrix}}

高速で移動する光源から光が放出され、地球（実験室）座標系で検出された光の周波数を知りたい場合、次のようにローレンツ変換を適用します。光源は座標系 $S s$ にあり、地球は観測座標系 $S obs$ にあることに注意してください。波数ベクトルにローレンツ変換を適用すると、

k_{s}^{\mu }=\Lambda _{\nu }^{\mu }k_{\mathrm {obs} }^{\nu }

そして、ただ見ることを選んだ $\mu =0$ コンポーネントの結果

{\begin{aligned}k_{s}^{0}&=\Lambda _{0}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{0}+\Lambda _{1}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{1}+\Lambda _{2}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{2}+\Lambda _{3}^{0}k_{\mathrm {obs} }^{3}\\[3pt]{\frac {\omega _{s}}{c}}&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma k_{\mathrm {obs} }^{1}\\&=\gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}-\beta \gamma {\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{c}}\cos \theta .\end{aligned}}

どこ $\cos \theta$ は方向余弦です $k^{1}$ に関して $k^{0},k^{1}=k^{0}\cos \theta .$

それで

光源が遠ざかっている（赤方偏移）

例えば、光源が観測者からまっすぐ遠ざかっている状況にこれを適用すると（ $\theta =\pi$ )、これは次のようになります。

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1+\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1+\beta }}={\frac {\sqrt {1-\beta }}{\sqrt {1+\beta }}}

光源が（青方偏移）に向かって移動している

これを、光源が観測者に向かってまっすぐ移動している状況（ $θ = 0$ ）に適用すると、次のようになります。

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-\beta )}}={\frac {\sqrt {1-\beta ^{2}}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {(1+\beta )(1-\beta )}}{1-\beta }}={\frac {\sqrt {1+\beta }}{\sqrt {1-\beta }}}

音源が接線方向に移動している場合（横方向ドップラー効果）

これを、観測者に対して横方向に移動する光源（ $θ = π /2$ ）の状況に適用すると、次のようになります。

{\frac {\omega _{\mathrm {obs} }}{\omega _{s}}}={\frac {1}{\gamma (1-0)}}={\frac {1}{\gamma }}

参考文献

↑物理学の例： Harris 、 Benenson、Stöcker（2002）。物理学ハンドブック。p.288。ISBN 978-0-387-95269-7。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)
↑結晶学の例： Vaĭnshteĭn (1994). Modern Crystallography . p. 259. ISBN 978-3-540-56558-1。
↑ヴァーンシュティーン、ボリス・コンスタンティノヴィッチ (1994)。現代の結晶学。 p. 259.ISBN 978-3-540-56558-1。
↑フォウルズ、グラント (1968)。現代光学入門。ホルト、ラインハート、ウィンストン。p. 177。
↑「この効果はマスグレイブ（1959）によって説明されており、異方性媒質中の弾性波のエネルギーは一般に、平面波面の法線と同じ経路をたどらないことが示されている…」、ポラード著『固体中の音波』（1977年）。リンク
↑ドナルド・H・メンゼル（1960）。「§10.5 ブロッホ波」。物理学の基本公式、第2巻（プレンティス・ホール1955年第2版の復刻版）。クーリエ・ドーバー。p. 624。ISBN 978-0486605968。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）
↑ヴォルフガング・リンドラー(1991). 「§24 波動運動」。特殊相対性理論入門（第2版）。オックスフォード・サイエンス出版。60-65頁。ISBN 978-0-19-853952-0。

さらに読む

Brau, Charles A. (2004). 『古典電磁気学における現代的問題』オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-514665-3。

[1] 物理学の例： Harris 、 Benenson、Stöcker（2002）。物理学ハンドブック。p.288。ISBN 978-0-387-95269-7。{{cite book}}: CS1 maint: 複数の名前: 著者リスト (リンク)

[2] 結晶学の例： Vaĭnshteĭn (1994). Modern Crystallography . p. 259. ISBN 978-3-540-56558-1。

[3] ヴァーンシュティーン、ボリス・コンスタンティノヴィッチ (1994)。現代の結晶学。 p. 259.ISBN 978-3-540-56558-1。

[fowles-4] フォウルズ、グラント (1968)。現代光学入門。ホルト、ラインハート、ウィンストン。p. 177。

[pollard-5] 「この効果はマスグレイブ（1959）によって説明されており、異方性媒質中の弾性波のエネルギーは一般に、平面波面の法線と同じ経路をたどらないことが示されている…」、ポラード著『固体中の音波』（1977年）。リンク

[6] ドナルド・H・メンゼル（1960）。「§10.5 ブロッホ波」。物理学の基本公式、第2巻（プレンティス・ホール1955年第2版の復刻版）。クーリエ・ドーバー。p. 624。ISBN 978-0486605968。{{cite book}}ISBN /日付の不一致（ヘルプ）

[7] ヴォルフガング・リンドラー(1991). 「§24 波動運動」。特殊相対性理論入門（第2版）。オックスフォード・サイエンス出版。60-65頁。ISBN 978-0-19-853952-0。

[

[

[ 3 ]である。

[

[

[

[ 7 ]

意味