一般相対性理論入門

自由落下するエレベーターに乗っている人は無重力状態を体験します。物体は静止して浮遊するか、一定の速度で漂います。エレベーター内のすべてが一緒に落下しているため、重力の影響は観測されません。このように、自由落下中の観測者の体験は、重力の大きな源から遠く離れた深宇宙の観測者の体験と区別がつきません。このような観測者は、アインシュタインが特殊相対性理論で説明した特権的（「慣性」）観測者、つまり光が一定の速度で直進する観測者です。 ^{[ 2 ]}

アインシュタインは、特殊相対性理論において無重力観測者と慣性観測者が同様の経験をするのは重力の基本的な性質であると仮説を立て、これを一般相対性理論の礎とし、等価原理として定式化した。大まかに言えば、この原理は、自由落下するエレベーターに乗っている人は自分が自由落下していることに気づけない、と述べている。このような自由落下環境で行われるあらゆる実験は、重力源から遠く離れた深宇宙で静止している、あるいは等速運動している観測者の場合と同じ結果となる。^{[ 3 ]}

自由落下では重力の影響はほとんど消滅するが、加速した基準系では重力と同じように見える影響が生じることがある。閉鎖された部屋にいる観測者は、次の2つのシナリオのうちどちらが正しいかを判別できない。

• 部屋が地球の表面の上に載っているため、物体は重力によって床に引っ張られ、落下するのです。
• 部屋が宇宙空間を飛行するロケットの中にあり、地球の標準重力である9.81m/s²の加速度で加速しているため、物体が床に落下している。しかも 、^周囲には重力源が存在しない。物体が床に向かって引っ張られるのは、加速する車の運転手が座席の背もたれに押し付けられるのと同じ「慣性力」によるものだ。

逆に、加速系で観測されるあらゆる効果は、それに対応する強さの重力場でも観測されるはずである。この原理により、アインシュタインは1907年に重力のいくつかの新たな効果を予測することができた。

加速する基準系にいる観測者は、観測者自身と周囲の物体が経験する加速を説明するために、物理学者が「仮想力」と呼ぶものを導入しなければなりません。運転手がシートに押し付けられる例では、運転手が感じる力がその一例です。また、コマのように回転しようとして腕を上に引っ張ったときに感じる力もその一例です。アインシュタインの重要な洞察は、地球の重力場の一定で馴染みのある引力が、これらの仮想力と根本的に同じであるという点でした。^{[ 4 ]} 仮想力の見かけ上の大きさは、常に作用する物体の質量に比例しているように見えます。例えば、運転席は、運転手を車と同じ速度で加速させるのに十分な力を及ぼします。類推して、アインシュタインは、重力場にある物体は、ニュートンの万有引力の法則に示されているように、その質量に比例した重力を感じるはずだと提唱しました。^{[ 5 ]} 

1907年当時、アインシュタインは一般相対性理論を完成させるまでまだ8年を要していた。しかしながら、彼は自身の新しい理論を発展させる出発点である等価原理に基づいて、数々の斬新で検証可能な予測を行うことができた。^{[ 6 ]}

最初の新しい効果は、光の重力による周波数シフトです。加速するロケット船に乗っている2人の観測者を考えてみましょう。そのような船には、「上」と「下」という自然な概念があります。船が加速する方向は「上」であり、自由に浮遊する物体は反対方向に加速して「下」に落下します。一方の観測者がもう一方の観測者よりも「高い位置」にいると仮定します。低い位置の観測者が高い位置の観測者に光信号を送ると、船の加速によって光は赤方偏移します。これは特殊相対性理論から計算できます。2番目の観測者は、最初に送られた光よりも低い周波数を測定します。逆に、高い位置の観測者から低い位置の観測者に送られた光は青方偏移します。つまり、より高い周波数の方向にシフトします。^{[ 7 ]}アインシュタインは、このような周波数シフトは重力場でも観測されるはずだと主張しました。左の図は、重力加速度に逆らって上向きに進む光波が徐々に赤方偏移していく様子を示しており、この現象を視覚的に表している。この効果は、後述するように実験的にも確認されている。

この重力による周波数シフトは、重力による時間の遅れに対応します。つまり、「高い」観測者は「低い」観測者よりも同じ光波の周波数が低いと測定するため、高い観測者にとっては時間が速く流れていることになります。したがって、重力場の低い位置にいる観測者ほど、時間の流れが遅くなります。

それぞれの観察者にとって、その観察者の基準系で静止している事象や過程の時間の流れに目に見える変化はないことを強調しておくことが重要です。各観察者の時計で計った5分卵の時間は一貫しており、それぞれの時計で1年が経過すると、それぞれの観察者はその分だけ年を取ります。つまり、それぞれの時計は、すぐ近くで起こっているすべての過程と完全に一致しています。時計を別々の観察者間で比較したときに初めて、低い観察者の方が高い観察者よりも時間がゆっくり進んでいることに気づくことができます。^{[ 8 ]}この効果はごくわずかですが、これも後述 するように複数の実験で実験的に確認されています。

同様に、アインシュタインは光の重力による偏向を予測しました。重力場では、光は重力場の中心に向かって下向きに偏向します。定量的に見ると、彼の結果は2倍ずれていました。正しい導出には、等価原理だけでなく、一般相対性理論のより完全な定式化が必要です。^{[ 9 ]}

重力と慣性効果の等価性は、重力に関する完全な理論を構成するものではありません。地球表面上の私たちの位置付近における重力を説明する際には、私たちの基準系が自由落下していないため、仮想的な力が働くことが予想されるという点を考慮すれば、適切な説明となります。しかし、地球の片側にある自由落下する基準系では、地球の反対側にいる人々が反対方向の重力を感じる理由を説明することはできません。

同じ効果のより基本的な例として、ほぼ同じ位置と速度で地球に向かって並んで落下する2つの物体が挙げられます。これらの物体と並んで自由落下している基準系では、物体は無重力状態で浮いているように見えます が、厳密にはそうではありません。これらの物体は正確に同じ方向に落下しているのではなく、空間内の1点、つまり地球の重心に向かって落下しています。したがって、それぞれの物体の運動には、もう一方の物体に向かう成分が存在します（図を参照）。自由落下するエレベーターのような小さな環境では、この相対的な加速度はごくわずかですが、地球の反対側にいるスカイダイバーにとっては、その効果は大きくなります。このような力の差は、地球の海洋の潮汐の原因にもなっているため、この現象は「潮汐効果」と呼ばれます。

慣性と重力の等価性では潮汐効果を説明できません 。重力場の変動を説明できないからです。^{[ 10 ]}そのためには、物質（地球の大きな質量など）が周囲の慣性環境にどのように影響を与えるかを記述する理論が必要です。

アインシュタインは重力と加速度の等価性や潮汐力の役割を探求する中で、曲面の幾何学との類似点をいくつか発見した。その一例として、慣性系（自由粒子が一定速度で直線経路に沿って移動する系）から回転系（粒子の運動を説明するために仮想的な力を導入する必要がある系）への移行が挙げられる。これは、直交座標系（座標線が直線である系）から曲線座標系（座標線が直線である必要はない系）への移行に類似している。

より深い類推では、潮汐力は曲率と呼ばれる表面の性質と関連付けられます。重力場の場合、潮汐力の有無によって、自由落下する基準系を選択することで重力の影響を排除できるかどうかが決まります。同様に、曲率の有無によって、表面が平面と等価であるかどうかが決まります。1912年の夏、これらの類推に触発されて、アインシュタインは重力の幾何学的定式化を探求しました。^{[ 11 ]}

幾何学の基本オブジェクトである点 、線、三角形は 、伝統的に3次元空間または2次元曲面で定義されます。1907年、スイス連邦工科大学でアインシュタインの元数学教授であったヘルマン・ミンコフスキーは、アインシュタインの特殊相対性理論の幾何学的定式化であるミンコフスキー空間を導入しました。この幾何学は、空間だけでなく時間も含みます。この新しい幾何学の基本要素は4次元時空です。運動する物体の軌道は時空における曲線であり、方向を変えずに一定速度で運動する物体の軌道は直線に対応します。^{[ 12 ]}

一般曲面の幾何学は、19 世紀初頭にカール・フリードリヒ・ガウスによって開発されました。この幾何学は、1850 年代にベルンハルト・リーマンによって導入されたリーマン幾何学において、より高次元の空間に一般化されました。リーマン幾何学の助けを借りて、アインシュタインは重力の幾何学的記述を定式化しました。この記述では、曲面が通常の平面の一般化であるのと同様に、ミンコフスキーの時空が歪んだ曲がった時空に置き換えられます。埋め込み図は、教育の文脈で曲がった時空を説明するために使用されます。^{[ 13 ] [ 14 ]}

この幾何学的類推の妥当性を認識した後、アインシュタインは、自身の理論の欠けていた礎石、すなわち物質が時空の曲率にどのように影響するかを記述する方程式を見つけるのにさらに3年を要した。現在アインシュタイン方程式（より正確には重力場方程式）として知られる方程式を定式化した後、彼は1915年後半にプロイセン科学アカデミーのいくつかのセッションで自身の新しい重力理論を発表し、1915年11月25日の最終発表でその集大成を迎えた。^{[ 15 ]}

物体の重力の影響をマッピングするには、物理​​学者がプローブ粒子またはテスト粒子と呼ぶものについて考えると便利です。これは重力の影響を受ける粒子ですが、非常に小さく軽いため、自身の重力の影響を無視できます。重力やその他の外力がない場合、テスト粒子は一定の速度で直線上を移動します。時空の言葉で言えば、これは、そのようなテスト粒子が時空内の直線の世界線に沿って移動することを意味します。重力が存在する場合、時空は非ユークリッド的、つまり曲がっており、曲がった時空では直線の世界線は存在しない可能性があります。その代わりに、テスト粒子は測地線と呼ばれる線に沿って移動します。測地線は「可能な限り直線的」であり、曲率を考慮した上で、始点と終点の間の最短経路をたどります。

簡単な例えを挙げると、地球の大きさや形を測定する測地学において、測地線とは地球表面上の2点間の最短経路のことです。おおよそ、このような経路は経線や赤道のような大円の一部です。これらの経路は、地球表面の曲率に従わなければならないため、決して直線ではありません。しかし、この制約の下で可能な限り直線に近いものとなっています。

測地線の性質は直線の性質とは異なります。たとえば、平面上では平行線は決して交わりませんが、地球表面上の測地線ではそうではありません。たとえば、経線は赤道では平行ですが、極では交わります。同様に、自由落下する試験粒子の世界線は時空測地線であり、時空で可能な限り最も直線的な線です。しかし、それでもなお、それらと特殊相対性理論の無重力時空で描くことができる真の直線との間には決定的な違いがあります。特殊相対性理論では、平行な測地線は平行のままです。潮汐効果のある重力場では、一般にそうはなりません。たとえば、2つの物体が最初は互いに静止しているが、地球の重力場に落とされると、地球の中心に向かって落下するにつれて、互いに近づいていきます。^{[ 17 ]}

惑星やその他の天体と比べると、日常生活で目にする物体（人、車、家、山など）の質量はごくわずかです。こうした物体に関しては、試験粒子の挙動を記述する法則で十分です。特に、試験粒子を測地線から逸らすには、外部からの力を加える必要があります。人が座っている椅子は、上向きの外部力を加え、人が地球の中心に向かって自由に落下し、測地線に沿って落下するのを防いでいます。椅子がなければ、あるいはその人と地球の中心点の間に他の物体がなければ、人は測地線に沿って落下するはずです。このように、一般相対性理論は、地球表面における重力の日常的な感覚を、重力による下向きの引力としてではなく、外部からの力による上向きの押し力として説明しています。これらの力は、地球表面にあるすべての物体を、本来なら辿るはずの測地線から逸らします。^{[ 18 ]}自身の重力の影響を無視できないほど質量が大きい物体の場合、運動法則はテスト粒子の場合よりもやや複雑になりますが、時空が物質の運動方法を指示するという事実は変わりません。^{[ 19 ]}

ニュートンの重力の記述では、重力は物質によって引き起こされます。より正確には、物質の特定の性質、すなわち質量によって引き起こされます。アインシュタインの理論および関連する重力理論では、時空のあらゆる点における曲率もまた、存在する物質によって引き起こされます。ここでも、質量は物質の重力の影響を決定する上で重要な性質です。しかし、相対論的重力理論では、質量は重力の唯一の源ではありません。相対性理論は質量とエネルギーを、そしてエネルギーと運動量を結びつけます。

質量とエネルギーの等価性は、 E  = mc²^という 式で表されるように、特殊相対性理論の最も有名な帰結です。相対性理論では、質量とエネルギーは、1 つの物理量を記述する 2 つの異なる方法です。物理系がエネルギーを持っている場合、対応する質量も持ち、その逆もまた然りです。特に、物体の温度や原子核や分子などの系の結合エネルギーなど、エネルギーに関連する物体のすべての特性は、その物体の質量に寄与し、したがって重力の源として作用します。^{[ 20 ]}

特殊相対性理論では、エネルギーは運動量と密接に関係しています。特殊相対性理論では、空間と時間が時空と呼ばれるより包括的な実体の異なる側面であるのと同様に、エネルギーと運動量は、物理学者が四元運動量と呼ぶ統一された四次元量の異なる側面にすぎません。したがって、エネルギーが重力の源であるならば、運動量もまた源でなければなりません。エネルギーと運動量に直接関係する量、すなわち内部圧力と張力についても同様です。一般相対性理論では、質量、エネルギー、運動量、圧力、張力が重力の源として機能します。これらは、物質が時空に曲がる方法を指示する方法です。この理論の数学的定式化では、これらの量はすべて、応力エネルギーテンソルと呼ばれるより一般的な物理量の側面にすぎません。^{[ 21 ]}

アインシュタイン方程式は一般相対性理論の中核を成すものです。これらは、数学の言葉を用いて、時空の幾何学と物質の性質との関係を厳密に定式化しています。より具体的には、リーマン幾何学の概念を用いて定式化されており、空間（または時空）の幾何学的性質は、計量と呼ばれる量によって記述されます。計量は、曲がった空間（または時空）における距離と角度という基本的な幾何学的概念を計算するために必要な情報を符号化しています。

地球のような球面は、その簡単な例です。表面上の任意の点の位置は、緯度と経度という2つの座標で表すことができます。平面のデカルト座標とは異なり、座標の差は表面上の距離とは異なります。右の図に示すように、赤道上の人が西へ経度30度移動すると（マゼンタの線）、およそ3,300キロメートル（2,100マイル）の距離になりますが、緯度55度の人が西へ経度30度移動すると（青の線）、わずか1,900キロメートル（1,200マイル）しか移動しません。したがって、座標だけでは球面の形状、あるいはより複雑な空間や時空の形状を記述するのに十分な情報が得られません。その情報はまさに計量に符号化されており、計量は表面（または空間、時空）の各点で定義される関数であり、座標の差と距離の差を関連付けます。幾何学において関心のある他のすべての量、例えば任意の曲線の長さや、2つの曲線が交わる角度などは、この計量関数から計算できる。^{[ 22 ]}  

計量関数とその点ごとの変化率を用いて、リーマン曲率テンソルと呼ばれる幾何学的量を定義できます。これは、相対性理論における時空であるリーマン多様体が各点でどのように曲がっているかを正確に記述します。既に述べたように、時空の物質含有量は、応力エネルギーテンソルTという別の量を定義します。「時空は物質に運動の仕方を指示し、物質は時空に曲がる仕方を指示する」という原理は、これらの量が互いに関連している必要があることを意味します。アインシュタインはこの関係を、リーマン曲率テンソルと計量を用いて、時空の曲がる様相のいくつかの側面を記述する、現在アインシュタインテンソルと呼ばれる別の幾何学的量Gを定義することによって定式化しました。アインシュタイン方程式は、

${\displaystyle \mathbf {G} ={\frac {8\pi G}{c^{4}}}\mathbf {T} ,}$

すなわち、定数倍を除いて、曲率を表す量Gは、物質量を表す量Tと等しい。ここで、Gはニュートン重力の重力定数であり、cは特殊相対性理論における光速である。

この方程式は、量GとT がそれぞれ時空の座標のいくつかの関数によって決定され、方程式がこれらの構成要素関数を等しくするため、複数形でアインシュタイン方程式と呼ばれることが多い。 ^{[ 23 ]}これらの方程式の解は、時空の特定の幾何学を記述する。たとえば、シュワルツシルト解は、星やブラックホールのような球形で回転しない質量の周りの幾何学を記述し、カー解は回転するブラックホールを記述する。さらに、重力波を記述したり、フリードマン-ルメートル-ロバートソン-ウォーカー解の場合は膨張する宇宙を記述したりする他の解もある。最も単純な解は、特殊相対性理論で記述される曲がっていないミンコフスキー時空である。^{[ 24 ]}

光は重力場によって偏向されるため、遠方の天体からの光が2つ以上の経路を通って観測者に届く可能性があります。例えば、クエーサーのような非常に遠方の天体からの光は、巨大な銀河の片側を通過してわずかに偏向し、地球上の観測者に届きます。一方、同じ銀河の反対側を通過する光も偏向し、わずかに異なる方向から同じ観測者に届きます。その結果、その特定の観測者は、夜空の2つの異なる場所に1つの天体を見ることになります。このような集束は光学レンズに関してよく知られており、そのため、対応する重力効果は重力レンズ効果と呼ばれます。^{[ 33 ]}

観測天文学では、レンズ効果をレンズ天体の特性を推測するための重要なツールとして利用しています。その天体が直接見えない場合でも、レンズ像の形状から光の偏向の原因となる質量分布に関する情報が得られます。特に、重力レンズは、光を発せず重力効果によってのみ観測できるダークマターの分布を測定する一つの方法を提供します。特に興味深い応用例の一つは、レンズ質量が観測可能な宇宙のかなりの部分にわたって分布している大規模観測であり、宇宙の大規模な特性や進化に関する情報を得るために利用できます。^{[ 34 ]}

重力波は、アインシュタインの理論から直接導かれるものであり、光速で伝播する幾何学的歪みであり、時空のさざ波と考えることができる。流体力学における重力波とは概念が異なるため、混同してはならない。

2016年2月、Advanced LIGOチームはブラックホールの合体から発生した重力波を直接観測したと発表した。^{[ 35 ]}

間接的に、重力波の影響は特定の連星の観測で検出されてきた。このような連星は互いに周回し、その過程で重力波を放出することで徐々にエネルギーを失っていく。太陽のような通常の恒星では、このエネルギー損失は小さすぎて検出できないが、1974年にPSR1913+16と呼ばれる連星パルサーでこのエネルギー損失が観測された。このような系では、周回する恒星の一方がパルサーである。これには2つの結果がある。パルサーは中性子星と呼ばれる極めて密度の高い天体であり、重力波の放出は通常の恒星より​​もはるかに強い。また、パルサーは磁極から狭い電磁波ビームを放出する。パルサーが回転すると、そのビームは地球上を掃引し、海上の船が灯台の回転する光から規則的な閃光を観測するのと同様に、規則的な一連の電波パルスとして観測される。この規則的な電波パルスのパターンは、非常に精度の高い「時計」として機能する。これを利用して連星の公転周期を計測することができ、また、近傍の時空の歪みにも敏感に反応する。

PSR1913+16の発見者であるラッセル・ハルスとジョセフ・テイラーは、1993年にノーベル物理学賞を受賞しました。それ以来、他のいくつかの連星パルサーが発見されています。最も有用なのは、両方の星がパルサーであるもので、一般相対性理論の正確な検証を提供します。^{[ 36 ]}

現在、地上重力波検出器が多数稼働しており、宇宙重力波検出器LISAの打ち上げ計画が現在開発中で、その前身となるLISA Pathfinderは2015年に打ち上げられた。重力波観測は、中性子星やブラックホールなどのコンパクト天体に関する情報を得るため、またビッグバン後数分の1秒の初期宇宙の状態を調べるためにも利用できる。^{[ 37 ]}

質量が十分にコンパクトな空間領域に集中すると、一般相対性理論はブラックホールの形成を予測します。ブラックホール とは、光さえも脱出できないほど重力が強い空間領域です。ある種のブラックホールは、大質量星の進化の最終段階であると考えられています。一方、数百万または数十億太陽の質量を持つ超大質量ブラックホールは、ほとんどの銀河の中心に存在すると考えられており、過去数十億年にわたって銀河がどのように形成されてきたかという現在のモデルにおいて重要な役割を果たしています。^{[ 38 ]}

物質がコンパクト天体に落下することは、放射線の形でエネルギーを放出する最も効率的なメカニズムの 1 つです。ブラックホールに落下する物質は、想像しうる最も明るい天文現象のいくつかに関係していると考えられています。天文学者にとって非常に興味深い注目すべき例としては、クエーサーやその他の種類の活動銀河核があります。適切な条件下では、ブラックホールの周囲に蓄積する落下物質がジェットの形成につながり、ジェットでは、集束された物質のビームが光速に近い速度で宇宙に放出されます。^{[ 39 ]}

ブラックホールが重力波の最も有望な発生源となる理由はいくつかあります。1つは、ブラックホールが連星系の一部として互いに周回できる最もコンパクトな天体であることです。その結果、そのような系から放出される重力波は特に強力になります。もう1つの理由は、ブラックホールの一意性定理と呼ばれるものから導き出されます。つまり、ブラックホールは、初期の幾何学的形状に関係なく、時間の経過とともに最小限の識別可能な特徴のみを保持します（これらの定理は「無毛定理」として知られるようになりました）。たとえば、長期的には、仮想的な物質の立方体の崩壊は立方体型のブラックホールにはなりません。代わりに、結果として生じるブラックホールは、球状の質量の崩壊によって形成されたブラックホールと区別がつかなくなります。より複雑な形状の崩壊によって形成されたブラックホールが球形に移行する過程で、重力波が放出されます。^{[ 40 ]}

一般相対性理論の最も重要な側面の1つは、宇宙全体に適用できることである。重要な点は、大規模なスケールでは、私たちの宇宙は非常に単純な線に沿って構築されているように見えることである。現在のすべての観測は、平均的には、観測者の位置や観測方向に関係なく、宇宙の構造はほぼ同じであるべきであることを示唆している。つまり、宇宙はほぼ均質で等方的である。このような比較的単純な宇宙は、アインシュタイン方程式の単純な解によって記述できる。現在の宇宙論モデルは、一般相対性理論のこれらの単純な解と、宇宙の物質内容の特性を記述する理論、すなわち熱力学、原子核物理学、素粒子物理学を組み合わせることによって得られる。これらのモデルによれば、現在の宇宙は、約140億年前に極めて高密度で高温の状態であるビッグバン から出現し、それ以来膨張し続けている。 ^{[ 41 ]} 

アインシュタインの方程式は、宇宙定数と呼ばれる項を追加することで一般化できます。この項が存在する場合、空虚な空間自体が引力（または、まれに反発力）の重力の源として作用します。アインシュタインは、1917年の宇宙論に関する先駆的な論文でこの項を最初に導入しましたが、その動機は非常に明確でした。当時の宇宙論では宇宙は静的であると考えられており、一般相対性理論の枠組みの中で静的なモデル宇宙を構築するには、この追加項が必要だったのです。宇宙が静的ではなく膨張していることが明らかになると、アインシュタインはこの追加項をすぐに破棄しました。しかし、1990年代末以降、宇宙定数、あるいはそれと同等の、特定の遍在する種類のダークエネルギーと一致する加速膨張を示す天文学的証拠が着実に蓄積されています。^{[ 42 ]}