特殊相対論と一般相対論における角運動量
物理学 において 、 相対論的角運動量とは 、特殊相対論 (SR) と 一般相対論 (GR)において 角運動量を 定義する数学的形式論と物理的概念を指します。相対論的量は、 古典力学 における 3 次元 量とは微妙に異なります 。
角運動量は、位置と運動量から導かれる重要な力学量です。これは、物体の回転運動と、回転の変化に対する抵抗の尺度です。また、運動量保存が並進対称性に対応するのと同じように、角運動量保存は回転対称性に対応しています。 対称性 と 保存則の関係は、 ノイマンの定理 によって示されます 。これらの概念はもともと古典力学で発見されましたが、特殊相対性理論や一般相対性理論でも正しく、重要です。抽象代数では、角運動量、四元運動量、および時空におけるその他の対称性の不変性は、 ローレンツ群 、より一般的には ポアンカレ群 によって記述されます。
古典物理学では別々に残っていた 物理量は、 相対性理論の公理を強制することによって、SR と GR では 自然に組み合わされます。最も顕著なのは、空間と時間の座標が 4 次元の位置 に組み合わされ、エネルギーと運動量が 4 次元の運動量に組み合わされることです。これらの 4 次元ベクトル の成分は、使用される 参照フレーム に依存し 、 ローレンツ変換 によって他の 慣性フレーム または 加速フレーム に変化します。
相対論的角運動量はそれほど明白ではありません。角運動量の古典的な定義は、 位置 x と運動量 pの 外積で 擬似ベクトル x × p を得るか、または 外積 として 2 次 反対称テンソル x ∧ p を得ることです。これは、もし何かと組み合わされるのであれば、何と組み合わされるのでしょうか。あまり議論されない別のベクトル量があります。それは、システムの 質量中心の ブーストに関連する、時間とともに変化する質量モーメント極ベクトル (慣性モーメントではありません) です 。 これ は、古典的な角運動量擬似ベクトルと組み合わされて 2 次反対称テンソルを形成します。これは、電場極ベクトルが磁場擬似ベクトルと組み合わされて電磁場反対称テンソルを形成するのとまったく同じです。 点状粒子ではなく、回転する質量エネルギー分布（ ジャイロスコープ 、 惑星 、 恒星 、 ブラックホール など）の場合、 角運動量テンソルは 回転物体の
応力エネルギーテンソル として表されます。
特殊相対論のみでは、 回転する物体の 静止系には、 量子力学 や 相対論的量子力学 における「スピン」に類似した固有角運動量が存在するが、点粒子ではなく拡張された物体に対するものである。相対論的量子力学では、 素粒子は スピン を持ち、これが 軌道 角運動量演算子への追加寄与となり 、 全角運動量テンソル演算子を生み出す。いずれにしても、物体の軌道角運動量への固有「スピン」の付加は 、パウリ・ルバンスキー擬ベクトル で表現できる 。 [1]
定義 瞬間的な3次元位置 x と3次元運動量 pを持つ質量 m の粒子の、 2ベクトル （平面要素）と 軸ベクトル としての3次元角運動量 。
軌道 3D 角運動量 参考と背景として、角運動量の密接に関連した 2 つの形式を示します。
古典力学 では 、瞬間的な3次元位置ベクトル x = ( x 、 y 、 z ) と運動量ベクトル p = ( p x 、 p y 、 p z )を持つ粒子の軌道角運動量は、直交座標の 周期的な順列
によって体系的に与えられる3つの成分を持つ 軸ベクトル として定義されます（例： x を y に 変更 、 yを z に変更 、 zを x に変更 、これを繰り返します）。
L
=
x
×
p
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \times \mathbf {p} }
L
x
=
y
p
z
−
z
p
y
,
L
y
=
z
p
x
−
x
p
z
,
L
z
=
x
p
y
−
y
p
x
.
{\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}&=yp_{z}-zp_{y}\,,\\L_{y}&=zp_{x}-xp_{z}\,,\\L_{z}&=xp_{y}-yp_{x}\,.\end{aligned}}}
関連する定義として、軌道角運動量を 平面要素として考えるというものがある。これは、外積を 外積 に置き換えることで実現でき、 外積代数 の言語では 、角運動量は 反変 2次 反対称テンソルとなる [2]。
L
=
x
∧
p
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} }
または x = ( x 1 , x 2 , x 3 ) = ( x , y , z ) 、運動量ベクトル p = ( p 1 , p 2 , p 3 ) = ( p x , p y , p z ) と書くと、成分は テンソルインデックス表記 で簡潔に省略でき
、インデックス i と j は 1、2、3 の値をとります。一方、成分は 3 × 3 反対称行列で完全に体系的に表示できます。
L
i
j
=
x
i
p
j
−
x
j
p
i
{\displaystyle L^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}}
L
=
(
L
11
L
12
L
13
L
21
L
22
L
23
L
31
L
32
L
33
)
=
(
0
L
x
y
L
x
z
L
y
x
0
L
y
z
L
z
x
L
z
y
0
)
=
(
0
L
x
y
−
L
z
x
−
L
x
y
0
L
y
z
L
z
x
−
L
y
z
0
)
=
(
0
x
p
y
−
y
p
x
−
(
z
p
x
−
x
p
z
)
−
(
x
p
y
−
y
p
x
)
0
y
p
z
−
z
p
y
z
p
x
−
x
p
z
−
(
y
p
z
−
z
p
y
)
0
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} &={\begin{pmatrix}L^{11}&L^{12}&L^{13}\\L^{21}&L^{22}&L^{23}\\L^{31}&L^{32}&L^{33}\\\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&L_{xz}\\L_{yx}&0&L_{yz}\\L_{zx}&L_{zy}&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}0&L_{xy}&-L_{zx}\\-L_{xy}&0&L_{yz}\\L_{zx}&-L_{yz}&0\end{pmatrix}}\\&={\begin{pmatrix}0&xp_{y}-yp_{x}&-(zp_{x}-xp_{z})\\-(xp_{y}-yp_{x})&0&yp_{z}-zp_{y}\\zp_{x}-xp_{z}&-(yp_{z}-zp_{y})&0\end{pmatrix}}\end{aligned}}}
この量は加算的であり、孤立系の場合、系の全角運動量は保存されます。
動的質量モーメント 古典力学では、速度 u [2] [3]で運動する質量 m の粒子の 3 次元量は、 質量モーメント - 長さ × 質量の 次元
を持ちます。これは、実験室系で測定された、時間 原点( t = 0 ) における 粒子または粒子系の質量 × 空間原点から 質量中心 (COM)までの距離に等しくなります 。この量には、普遍的な記号はおろか、普遍的な名前さえありません。著者によって、別の記号 (たとえば μ ) で表したり、別の名前を指定したり、 N をここで使用されている値の負の値として定義したりする場合もあります。上記の形式には、位置に関するよく知られた ガリレイ変換 に似ているという利点があり 、これは慣性系間の非相対論的ブースト変換です。
N
=
m
(
x
−
t
u
)
=
m
x
−
t
p
{\displaystyle \mathbf {N} =m\left(\mathbf {x} -t\mathbf {u} \right)=m\mathbf {x} -t\mathbf {p} }
このベクトルも加法的である。粒子のシステムの場合、ベクトルの合計は、
システムの質量中心の位置と速度、および総質量がそれぞれ
∑
n
N
n
=
∑
n
m
n
(
x
n
−
t
u
n
)
=
(
x
C
O
M
∑
n
m
n
−
t
∑
n
m
n
u
n
)
=
M
tot
(
x
C
O
M
−
u
C
O
M
t
)
{\displaystyle \sum _{n}\mathbf {N} _{n}=\sum _{n}m_{n}\left(\mathbf {x} _{n}-t\mathbf {u} _{n}\right)=\left(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }\sum _{n}m_{n}-t\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}\right)=M_{\text{tot}}(\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }-\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }t)}
x
C
O
M
=
∑
n
m
n
x
n
∑
n
m
n
,
u
C
O
M
=
∑
n
m
n
u
n
∑
n
m
n
,
M
tot
=
∑
n
m
n
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {x} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]M_{\text{tot}}&=\sum _{n}m_{n}.\end{aligned}}}
孤立系の場合、 N は 時間で保存されます。これは、時間に関して微分することで確認できます。角運動量 L は 擬似ベクトルですが、 N は 「通常の」(極性) ベクトルであるため、反転に対して不変です。
多粒子システムの結果の N tot は 、すべての粒子の複雑な動きが何であれ、システムの COM が直線で動くように動くという物理的な視覚化を持ちます。これは、すべての粒子が COM に「追従」する、またはすべての粒子が同時にほぼ同じ方向に動くことを必ずしも意味するわけではなく、粒子の集合的な動きが質量の中心に関連して制約されるということだけです。
特殊相対論では、粒子が 実験フレームに対して
速度 u で運動する場合、
は
ローレンツ因子 、 m は 粒子の質量（静止質量）
です。同じ実験フレームにおける m 、 u 、 p 、 E に関する対応する相対論的質量モーメントは 、
E
=
γ
(
u
)
m
0
c
2
,
p
=
γ
(
u
)
m
0
u
{\displaystyle {\begin{aligned}E&=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}c^{2},&\mathbf {p} &=\gamma (\mathbf {u} )m_{0}\mathbf {u} \end{aligned}}}
γ
(
u
)
=
1
1
−
u
⋅
u
c
2
{\displaystyle \gamma (\mathbf {u} )={\frac {1}{\sqrt {1-{\frac {\mathbf {u} \cdot \mathbf {u} }{c^{2}}}}}}}
N
=
E
c
2
x
−
p
t
=
m
γ
(
u
)
(
x
−
u
t
)
.
{\displaystyle \mathbf {N} ={\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {x} -\mathbf {p} t=m\gamma (\mathbf {u} )(\mathbf {x} -\mathbf {u} t).}
デカルト座標成分は
N
x
=
m
x
−
p
x
t
=
E
c
2
x
−
p
x
t
=
m
γ
(
u
)
(
x
−
u
x
t
)
N
y
=
m
y
−
p
y
t
=
E
c
2
y
−
p
y
t
=
m
γ
(
u
)
(
y
−
u
y
t
)
N
z
=
m
z
−
p
z
t
=
E
c
2
z
−
p
z
t
=
m
γ
(
u
)
(
z
−
u
z
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}=mx-p_{x}t&={\frac {E}{c^{2}}}x-p_{x}t=m\gamma (u)(x-u_{x}t)\\N_{y}=my-p_{y}t&={\frac {E}{c^{2}}}y-p_{y}t=m\gamma (u)(y-u_{y}t)\\N_{z}=mz-p_{z}t&={\frac {E}{c^{2}}}z-p_{z}t=m\gamma (u)(z-u_{z}t)\end{aligned}}}
特殊相対性理論
一致するxx′ 軸 の方向に沿って、別のフレーム F に対して 速度 v = ( v , 0, 0) で移動する座標フレーム F′について考えます。2 つの座標フレームの原点は、時刻 t = t ′ = 0 で一致します。物体の質量エネルギー E = mc 2 と運動量成分 p = ( p x , p y , p z ) 、および フレームF の位置座標 x = ( x , y , z ) と時刻 t は、ローレンツ変換に従って、 F′では E ′ = m ′ c 2 、 p ′ = ( p x ′, p y ′, p z ′) 、 x ′ = ( x ′, y ′, z ′) 、および t ′ に 変換されます
。
t
′
=
γ
(
v
)
(
t
−
v
x
c
2
)
,
E
′
=
γ
(
v
)
(
E
−
v
p
x
)
x
′
=
γ
(
v
)
(
x
−
v
t
)
,
p
x
′
=
γ
(
v
)
(
p
x
−
v
E
c
2
)
y
′
=
y
,
p
y
′
=
p
y
z
′
=
z
,
p
z
′
=
p
z
{\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma (v)\left(t-{\frac {vx}{c^{2}}}\right)\,,\quad &E'&=\gamma (v)\left(E-vp_{x}\right)\\x'&=\gamma (v)(x-vt)\,,\quad &p_{x}'&=\gamma (v)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\y'&=y\,,\quad &p_{y}'&=p_{y}\\z'&=z\,,\quad &p_{z}'&=p_{z}\\\end{aligned}}}
ここでのローレンツ因子は、フレーム間の相対速度である 速度 v に適用されます。これは、必ずしもオブジェクトの
速度 uと同じではありません。
擬似ベクトルとしての
軌道3角運動量 Lについては、
L
x
′
=
y
′
p
z
′
−
z
′
p
y
′
=
L
x
L
y
′
=
z
′
p
x
′
−
x
′
p
z
′
=
γ
(
v
)
(
L
y
−
v
N
z
)
L
z
′
=
x
′
p
y
′
−
y
′
p
x
′
=
γ
(
v
)
(
L
z
+
v
N
y
)
{\displaystyle {\begin{aligned}L_{x}'&=y'p_{z}'-z'p_{y}'=L_{x}\\L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'=\gamma (v)(L_{y}-vN_{z})\\L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'=\gamma (v)(L_{z}+vN_{y})\\\end{aligned}}}
L y ′ と L z ′ の第2項では 、 外積 v × N のy 成分と z成分は、 N の成分と v x = v および v y = v z = 0 の 循環置換を 認識することによって推測できます 。
−
v
N
z
=
v
z
N
x
−
v
x
N
z
=
(
v
×
N
)
y
v
N
y
=
v
x
N
y
−
v
y
N
x
=
(
v
×
N
)
z
{\displaystyle {\begin{aligned}-vN_{z}&=v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{y}\\vN_{y}&=v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}=\left(\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)_{z}\\\end{aligned}}}
ここで、 L x は 相対速度 v に平行であり、他の成分 L y と L z は v に垂直である。平行・垂直対応 は、各フレームで
3角運動量擬似ベクトル全体を v に平行（‖）と垂直（⊥）の成分に分割することで容易に実現できる。
L
=
L
∥
+
L
⊥
,
L
′
=
L
∥
′
+
L
⊥
′
.
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {L} _{\parallel }+\mathbf {L} _{\perp }\,,\quad \mathbf {L} '=\mathbf {L} _{\parallel }'+\mathbf {L} _{\perp }'\,.}
そして、成分方程式は擬似ベクトル方程式にまとめられる。
L
∥
′
=
L
∥
L
⊥
′
=
γ
(
v
)
(
L
⊥
+
v
×
N
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} _{\parallel }'&=\mathbf {L} _{\parallel }\\\mathbf {L} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {N} \right)\\\end{aligned}}}
したがって、運動方向に沿った角運動量の成分は変化しませんが、垂直方向の成分は変化します。空間と時間の変換とは対照的に、時間と空間座標は運動方向に沿って変化しますが、垂直方向のものは変化しません。
これらの変換は、 xx′ 軸に沿った動きだけでなく、 すべての v に当てはまります 。
Lを テンソルとして
考えると、同様の結果が得られる
。
L
⊥
′
=
γ
(
v
)
(
L
⊥
+
v
∧
N
)
{\displaystyle \mathbf {L} _{\perp }'=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {L} _{\perp }+\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)}
v
z
N
x
−
v
x
N
z
=
(
v
∧
N
)
z
x
v
x
N
y
−
v
y
N
x
=
(
v
∧
N
)
x
y
{\displaystyle {\begin{aligned}v_{z}N_{x}-v_{x}N_{z}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{zx}\\v_{x}N_{y}-v_{y}N_{x}&=\left(\mathbf {v} \wedge \mathbf {N} \right)_{xy}\\\end{aligned}}}
x 方向
の動的質量モーメントのブーストは
N
x
′
=
m
′
x
′
−
p
x
′
t
′
=
N
x
N
y
′
=
m
′
y
′
−
p
y
′
t
′
=
γ
(
v
)
(
N
y
+
v
L
z
c
2
)
N
z
′
=
m
′
z
′
−
p
z
′
t
′
=
γ
(
v
)
(
N
z
−
v
L
y
c
2
)
{\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}'&=m'x'-p_{x}'t'=N_{x}\\N_{y}'&=m'y'-p_{y}'t'=\gamma (v)\left(N_{y}+{\frac {vL_{z}}{c^{2}}}\right)\\N_{z}'&=m'z'-p_{z}'t'=\gamma (v)\left(N_{z}-{\frac {vL_{y}}{c^{2}}}\right)\\\end{aligned}}}
これまでと同様に平行および垂直のコンポーネントを収集する
N
∥
′
=
N
∥
N
⊥
′
=
γ
(
v
)
(
N
⊥
−
1
c
2
v
×
L
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {N} _{\parallel }'&=\mathbf {N} _{\parallel }\\\mathbf {N} _{\perp }'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} _{\perp }-{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)\\\end{aligned}}}
繰り返しますが、相対運動の方向に平行な成分は変化しませんが、垂直な成分は変化します。
これまでのところ、これらはベクトルの平行分解と垂直分解のみです。完全なベクトルの変換は、次のようにして構築できます (ここでは、具体性とベクトル代数との互換性のために L は 擬似ベクトルです)。
v 方向に n = v / v で与えられる 単位ベクトル を導入します 。平行成分は L または Nの n へ の ベクトル射影 によって与えられ
、垂直成分は L または Nの n から の ベクトル除去 によって与えられ
、変換は
v = v n
に戻すか 、
L
∥
=
(
L
⋅
n
)
n
,
N
∥
=
(
N
⋅
n
)
n
{\displaystyle \mathbf {L} _{\parallel }=(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\parallel }=(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }
L
⊥
=
L
−
(
L
⋅
n
)
n
,
N
⊥
=
N
−
(
N
⋅
n
)
n
{\displaystyle \mathbf {L} _{\perp }=\mathbf {L} -(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \,,\quad \mathbf {N} _{\perp }=\mathbf {N} -(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} }
L
′
=
γ
(
v
)
(
L
+
v
n
×
N
)
−
(
γ
(
v
)
−
1
)
(
L
⋅
n
)
n
N
′
=
γ
(
v
)
(
N
−
v
c
2
n
×
L
)
−
(
γ
(
v
)
−
1
)
(
N
⋅
n
)
n
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +v\mathbf {n} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {L} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {v}{c^{2}}}\mathbf {n} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1)(\mathbf {N} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \\\end{aligned}}}
L
′
=
γ
(
v
)
(
L
+
v
×
N
)
−
(
γ
(
v
)
−
1
)
(
L
⋅
v
)
v
v
2
N
′
=
γ
(
v
)
(
N
−
1
c
2
v
×
L
)
−
(
γ
(
v
)
−
1
)
(
N
⋅
v
)
v
v
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\gamma (\mathbf {v} )(\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \mathbf {N} )-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {L} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\mathbf {N} '&=\gamma (\mathbf {v} )\left(\mathbf {N} -{\frac {1}{c^{2}}}\mathbf {v} \times \mathbf {L} \right)-(\gamma (\mathbf {v} )-1){\frac {(\mathbf {N} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} }{v^{2}}}\\\end{aligned}}}
これらは電場 E と 磁場 B のローレンツ変換と非常によく似ています 。 古典電磁気学と特殊相対性理論 を参照してください。
あるいは、速度v のブーストに対する時間、空間、エネルギー、運動量のベクトル ローレンツ変換から始めて 、
これらを定義に挿入すると
、変換が得られます。
t
′
=
γ
(
v
)
(
t
−
v
⋅
r
c
2
)
,
r
′
=
r
+
γ
(
v
)
−
1
v
2
(
r
⋅
v
)
v
−
γ
(
v
)
t
v
,
p
′
=
p
+
γ
(
v
)
−
1
v
2
(
p
⋅
v
)
v
−
γ
(
v
)
E
c
2
v
,
E
′
=
γ
(
v
)
(
E
−
v
⋅
p
)
,
{\displaystyle {\begin{aligned}t'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(t-{\frac {\mathbf {v} \cdot \mathbf {r} }{c^{2}}}\right)\,,\\\mathbf {r} '&=\mathbf {r} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} )t\mathbf {v} \,,\\\mathbf {p} '&=\mathbf {p} +{\frac {\gamma (\mathbf {v} )-1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {v} -\gamma (\mathbf {v} ){\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {v} \,,\\E'&=\gamma (\mathbf {v} )\left(E-\mathbf {v} \cdot \mathbf {p} \right)\,,\\\end{aligned}}}
L
′
=
r
′
×
p
′
,
N
′
=
E
′
c
2
r
′
−
t
′
p
′
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\mathbf {r} '\times \mathbf {p} '\,,&\mathbf {N} '&={\frac {E'}{c^{2}}}\mathbf {r} '-t'\mathbf {p} '\end{aligned}}}
4D角運動量をバイベクトルとして 相対論的力学では、回転する物体の重心ブーストと軌道3空間角運動量は、 物体の 4つの位置 X と 4つの運動量 P の観点から4次元の バイベクトルに結合されます [4] [5]
M
=
X
∧
P
{\displaystyle \mathbf {M} =\mathbf {X} \wedge \mathbf {P} }
全部で 6 つの独立した量の成分が
あります。X と P
の成分は フレームに依存しているので、M もフレームに依存します 。3 つ の成分は
、よく知られている古典的な 3 空間軌道角運動量の成分であり、他の 3 つは
相対論的な質量モーメントに − c を掛けたものです。テンソルは反対称です。
M
α
β
=
X
α
P
β
−
X
β
P
α
{\displaystyle M^{\alpha \beta }=X^{\alpha }P^{\beta }-X^{\beta }P^{\alpha }}
M
i
j
=
x
i
p
j
−
x
j
p
i
=
L
i
j
{\displaystyle M^{ij}=x^{i}p^{j}-x^{j}p^{i}=L^{ij}}
M
0
i
=
x
0
p
i
−
x
i
p
0
=
c
(
t
p
i
−
x
i
E
c
2
)
=
−
c
N
i
{\displaystyle M^{0i}=x^{0}p^{i}-x^{i}p^{0}=c\,\left(tp^{i}-x^{i}{\frac {E}{c^{2}}}\right)=-cN^{i}}
M
α
β
=
−
M
β
α
{\displaystyle M^{\alpha \beta }=-M^{\beta \alpha }}
テンソルの成分は、
最後の配列が N を 行 ベクトル として扱い、 それを 列ベクトル N T に 転置することによって形成される ブロック 行列であり 、 x ∧ p が 3 × 3 反対称行列 である行列として体系的に表示できます。線は、ブロックがどこにあるかを示すために挿入されているだけです。
M
=
(
M
00
M
01
M
02
M
03
M
10
M
11
M
12
M
13
M
20
M
21
M
22
M
23
M
30
M
31
M
32
M
33
)
=
(
0
−
N
1
c
−
N
2
c
−
N
3
c
N
1
c
0
L
12
−
L
31
N
2
c
−
L
12
0
L
23
N
3
c
L
31
−
L
23
0
)
=
(
0
−
N
c
N
T
c
x
∧
p
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} &={\begin{pmatrix}M^{00}&M^{01}&M^{02}&M^{03}\\M^{10}&M^{11}&M^{12}&M^{13}\\M^{20}&M^{21}&M^{22}&M^{23}\\M^{30}&M^{31}&M^{32}&M^{33}\end{pmatrix}}\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|ccc}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\\hline N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{array}}\right)\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|c}0&-\mathbf {N} c\\\hline \mathbf {N} ^{\mathrm {T} }c&\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \\\end{array}}\right)\end{aligned}}}
このテンソルも加法的です。つまり、システムの全角運動量は、システムの各構成要素の角運動量テンソルの合計です。
M
tot
=
∑
n
M
n
=
∑
n
X
n
∧
P
n
.
{\displaystyle \mathbf {M} _{\text{tot}}=\sum _{n}\mathbf {M} _{n}=\sum _{n}\mathbf {X} _{n}\wedge \mathbf {P} _{n}\,.}
6 つの各コンポーネントは、他のオブジェクトやフィールドの対応するコンポーネントと集計されると、保存量を形成されます。
角運動量テンソル M は実際にはテンソルであり、その成分はローレンツ変換行列 Λ に従って変化します。これは、テンソル指数表記によって通常どおり示されます。
ここで、正規化された速度 β = v / c
でのブースト (回転なし) の場合 、ローレンツ変換行列の要素はであり
、 β の
共変 β i 成分と反変 β i 成分は 、単なるパラメーターであるため同じです。
M
′
α
β
=
X
′
α
P
′
β
−
X
′
β
P
′
α
=
Λ
α
γ
X
γ
Λ
β
δ
P
δ
−
Λ
β
δ
X
δ
Λ
α
γ
P
γ
=
Λ
α
γ
Λ
β
δ
(
X
γ
P
δ
−
X
δ
P
γ
)
=
Λ
α
γ
Λ
β
δ
M
γ
δ
,
{\displaystyle {\begin{aligned}{M'}^{\alpha \beta }&={X'}^{\alpha }{P'}^{\beta }-{X'}^{\beta }{P'}^{\alpha }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }X^{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }P^{\delta }-{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }X^{\delta }{\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }P^{\gamma }\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }\left(X^{\gamma }P^{\delta }-X^{\delta }P^{\gamma }\right)\\&={\Lambda ^{\alpha }}_{\gamma }{\Lambda ^{\beta }}_{\delta }M^{\gamma \delta }\\\end{aligned}},}
Λ
0
0
=
γ
Λ
i
0
=
Λ
0
i
=
−
γ
β
i
Λ
i
j
=
δ
i
j
+
γ
−
1
β
2
β
i
β
j
{\displaystyle {\begin{aligned}{\Lambda ^{0}}_{0}&=\gamma \\{\Lambda ^{i}}_{0}&={\Lambda ^{0}}_{i}=-\gamma \beta ^{i}\\{\Lambda ^{i}}_{j}&={\delta ^{i}}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{i}\beta _{j}\end{aligned}}}
言い換えれば、4 つの位置と 4 つの運動量を別々にローレンツ変換し、それらの新しく見つかった成分を反対称化して、新しいフレームの角運動量テンソルを取得することができます。
剛体の回転 曲線上を動く粒子の場合、 角速度 ω （擬似ベクトル）と位置 x の 外積は 接線速度を与える。
u
=
ω
×
x
{\displaystyle \mathbf {u} ={\boldsymbol {\omega }}\times \mathbf {x} }
これはc の大きさを超えることはできない 。なぜなら、SRでは質量のある物体の移動速度は 光速 c を 超えることができないからである。数学的にはこの制約は 0 ≤ | u | < c であり、縦棒は ベクトルの 大きさを表す 。ω と x の間の角度が θ （ゼロでないと仮定。そうでなければ u は ゼロになり、まったく運動していないことになる）であれば、 | u | = | ω | | x | sin θ となり、角速度は
0
≤
|
ω
|
<
c
|
x
|
sin
θ
{\displaystyle 0\leq |{\boldsymbol {\omega }}|<{\frac {c}{|\mathbf {x} |\sin \theta }}}
したがって、質量のある物体の最大角速度は、物体のサイズによって決まります。与えられた | x | に対して、最小の上限は ω と x が垂直のときに発生し、 θ = π /2 かつ sin θ = 1 と なります。
角速度 ω で回転する剛体 の場合 、 u は物体内部の点 x における接線速度です。物体内のすべての点には最大角速度が存在します。
角速度（擬似ベクトル）は、 慣性 モーメントテンソル I を介して角運動量（擬似ベクトル）と関連しています
（ドット · は、 1 つのインデックス上の テンソル収縮 を示します ）。相対論的角運動量は、物体のサイズによっても制限されます。
L
=
I
⋅
ω
⇌
L
i
=
I
i
j
ω
j
{\displaystyle \mathbf {L} =\mathbf {I} \cdot {\boldsymbol {\omega }}\quad \rightleftharpoons \quad L_{i}=I_{ij}\omega _{j}}
特殊相対論におけるスピン
4スピン 粒子には、その運動とは無関係に、スピン と 呼ばれる「組み込み」角運動量があり、 s で表されます。これは、軌道角運動量 L のような 3D 擬似ベクトルです。
スピンには対応する スピン磁気モーメント があるため、粒子が相互作用（ 電磁場 や スピン軌道結合 など）の影響を受けると、粒子のスピンベクトルの方向は変化しますが、その大きさは一定になります。
特殊相対論への拡張は簡単である。 [6] ある 実験フレーム F について、 F′ を粒子の静止フレームとし、粒子が一定の 3 速度 u で運動するとする。すると、 F′ は同じ速度でブーストされ、ローレンツ変換は通常どおり適用される。β = u / c を使用する方が便利である 。 特殊 相対 論 における 4 次元ベクトルとして、 4 次元スピン S は 一般に、実験フレームでは
時間的要素 s t と空間的要素 s を持つ通常の 4 次元ベクトルの形をとる
が、粒子の静止フレームでは、時間的要素がゼロで空間的要素が粒子の実際のスピン ベクトルの要素となるように定義される。ここでは s ′ と表記する。したがって、粒子のフレームでは
S
≡
(
S
0
,
S
1
,
S
2
,
S
3
)
=
(
s
t
,
s
x
,
s
y
,
s
z
)
{\displaystyle \mathbf {S} \equiv \left(S^{0},S^{1},S^{2},S^{3}\right)=(s_{t},s_{x},s_{y},s_{z})}
S
′
≡
(
S
′
0
,
S
′
1
,
S
′
2
,
S
′
3
)
=
(
0
,
s
x
′
,
s
y
′
,
s
z
′
)
{\displaystyle \mathbf {S} '\equiv \left({S'}^{0},{S'}^{1},{S'}^{2},{S'}^{3}\right)=\left(0,s_{x}',s_{y}',s_{z}'\right)}
ノルムを等しくすると不変関係が導かれるため
、スピンの大きさが粒子の静止フレームと観測者の実験フレームで与えられる場合、時間的成分 s t の大きさも実験フレームで与えられます。
s
t
2
−
s
⋅
s
=
−
s
′
⋅
s
′
{\displaystyle s_{t}^{2}-\mathbf {s} \cdot \mathbf {s} =-\mathbf {s} '\cdot \mathbf {s} '}
テンソル変換から派生したベクトル変換 実験フレームに対する4つのスピンのブーストされた成分は
S
′
0
=
Λ
0
α
S
α
=
Λ
0
0
S
0
+
Λ
0
i
S
i
=
γ
(
S
0
−
β
i
S
i
)
=
γ
(
c
c
S
0
−
u
i
c
S
i
)
=
1
c
U
0
S
0
−
1
c
U
i
S
i
S
′
i
=
Λ
i
α
S
α
=
Λ
i
0
S
0
+
Λ
i
j
S
j
=
−
γ
β
i
S
0
+
[
δ
i
j
+
γ
−
1
β
2
β
i
β
j
]
S
j
=
S
i
+
γ
2
γ
+
1
β
i
β
j
S
j
−
γ
β
i
S
0
{\displaystyle {\begin{aligned}{S'}^{0}&={\Lambda ^{0}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{0}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{0}}_{i}S^{i}=\gamma \left(S^{0}-\beta _{i}S^{i}\right)\\&=\gamma \left({\frac {c}{c}}S^{0}-{\frac {u_{i}}{c}}S^{i}\right)={\frac {1}{c}}U_{0}S^{0}-{\frac {1}{c}}U_{i}S^{i}\\[3pt]{S'}^{i}&={\Lambda ^{i}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{i}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{i}}_{j}S^{j}\\&=-\gamma \beta ^{i}S^{0}+\left[\delta _{ij}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta _{i}\beta _{j}\right]S^{j}\\&=S^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}S^{j}-\gamma \beta ^{i}S^{0}\end{aligned}}}
ここで γ = γ ( u ) です。 S ′ は粒子の静止フレーム内にあるため、その時間的成分はゼロで、 S ′ 0 = 0 であり、 S 0ではありません。また、最初の式は、4 元速度 ( c で割ったもの) と 4 元スピン
との内積に相当します。これらの事実を組み合わせると
、不変量である次の式が得られます。次に、これを時間的成分の変換と組み合わせると、実験フレームで認識される成分が得られます。
S
′
0
=
1
c
U
α
S
α
=
0
{\displaystyle {S'}^{0}={\frac {1}{c}}U_{\alpha }S^{\alpha }=0}
S
0
=
β
i
S
i
{\displaystyle S^{0}=\beta _{i}S^{i}}
逆の関係は
S
0
=
γ
(
S
′
0
+
β
i
S
′
i
)
S
i
=
S
′
i
+
γ
2
γ
+
1
β
i
β
j
S
′
j
+
γ
β
i
S
′
0
{\displaystyle {\begin{aligned}S^{0}&=\gamma \left({S'}^{0}+\beta _{i}{S'}^{i}\right)\\S^{i}&={S'}^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}{S'}^{j}+\gamma \beta ^{i}{S'}^{0}\end{aligned}}}
スピンに対する共変制約は速度ベクトルに対する直交性であり、
U
α
S
α
=
0
{\displaystyle U_{\alpha }S^{\alpha }=0}
明示的な3ベクトル表記では、変換は
s
t
=
β
⋅
s
s
′
=
s
+
γ
2
γ
+
1
β
(
β
⋅
s
)
−
γ
β
s
t
{\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&={\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \\\mathbf {s} '&=\mathbf {s} +{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} \right)-\gamma {\boldsymbol {\beta }}s_{t}\end{aligned}}}
逆の関係は
、実験フレームのスピン成分であり、粒子の静止フレームのスピン成分から計算されます。粒子のスピンは特定の粒子に対して一定ですが、実験フレームでは異なっているように見えます。
s
t
=
γ
β
⋅
s
′
s
=
s
′
+
γ
2
γ
+
1
β
(
β
⋅
s
′
)
{\displaystyle {\begin{aligned}s_{t}&=\gamma {\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\\\mathbf {s} &=\mathbf {s} '+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}{\boldsymbol {\beta }}\left({\boldsymbol {\beta }}\cdot \mathbf {s} '\right)\end{aligned}}}
パウリ・ルバンスキー擬似ベクトル パウリ ・ルバンスキー擬似ベクトルは
質量のある粒子と 質量のない粒子 の両方に適用されます。
S
μ
=
1
2
ε
μ
ν
ρ
σ
J
ν
ρ
P
σ
,
{\displaystyle S_{\mu }={\frac {1}{2}}\varepsilon _{\mu \nu \rho \sigma }J^{\nu \rho }P^{\sigma },}
スピン軌道分解 一般に、全角運動量テンソルは軌道成分と スピン成分 に分割されます。
これは、粒子、質量、エネルギー、運動量の分布、または場に適用されます。
J
μ
ν
=
M
μ
ν
+
S
μ
ν
.
{\displaystyle J^{\mu \nu }=M^{\mu \nu }+S^{\mu \nu }~.}
質量・エネルギー・運動量分布の角運動量
質量・エネルギー・運動量テンソルからの角運動量 以下は MTW からの要約である。 [7] 簡潔にするため、全体を通じて直交座標が想定されている。特殊相対論および一般相対論では、流体や星などの質量・エネルギー・運動量の分布は、応力エネルギーテンソル T βγ （空間と時間に依存する2次 テンソル場 ）によって記述される。T 00 はエネルギー密度、 j = 1、2、3 の T j 0は物体の単位体積あたりの3次元運動量の j 番目の成分、 T ij は せん断応力と法線応力を含む応力テンソルの成分を形成するため、 位置 4 ベクトル X β の周りの 軌道 角 運動量密度は 3次テンソルによって与えられる。
M
α
β
γ
=
(
X
α
−
X
¯
α
)
T
β
γ
−
(
X
β
−
X
¯
β
)
T
α
γ
{\displaystyle {\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }=\left(X^{\alpha }-{\bar {X}}^{\alpha }\right)T^{\beta \gamma }-\left(X^{\beta }-{\bar {X}}^{\beta }\right)T^{\alpha \gamma }}
これはα と β に関して反対称です 。特殊相対論と一般相対論では、 T は対称テンソルですが、他のコンテキスト（例えば、量子場の理論）ではそうではない場合があります。
Ω を 4d 時空の領域とします。 境界 は 3d 時空超曲面 (「空間表面積」ではなく「時空表面体積」) で、∂Ω と表記されます。ここで「∂」は「境界」を意味します。角運動量密度を 3d 時空超曲面上で積分すると、 X に関する角運動量テンソルが得られます。
ここで、dΣ γは、通常の 3d ユークリッド空間で 2d 表面に垂直な 単位ベクトル の役割を果たす 体積 1 形式 です。積分は、 X ではなく、座標 X 上で行われます。一定時間の空間的表面内の積分は、
角運動量テンソルを集合的に形成します。
M
α
β
(
X
¯
)
=
∮
∂
Ω
M
α
β
γ
d
Σ
γ
{\displaystyle M^{\alpha \beta }\left({\bar {X}}\right)=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{\alpha \beta \gamma }d\Sigma _{\gamma }}
M
i
j
=
∮
∂
Ω
M
i
j
0
d
Σ
0
=
∮
∂
Ω
[
(
X
i
−
Y
i
)
T
j
0
−
(
X
j
−
Y
j
)
T
i
0
]
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle M^{ij}=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{ij0}d\Sigma _{0}=\oint _{\partial \Omega }\left[\left(X^{i}-Y^{i}\right)T^{j0}-\left(X^{j}-Y^{j}\right)T^{i0}\right]dx\,dy\,dz}
質量中心の角運動量 質量中心座標系には固有の角運動量、言い換えれば物体の質量中心のワードライン上のあらゆるイベントに関する角運動量が存在する
。T 00 は物体のエネルギー密度なので 、 質量 中心の空間座標は 次 のように与えられる。
X
COM
=
(
X
COM
0
,
X
COM
1
,
X
COM
2
,
X
COM
3
)
{\displaystyle \mathbf {X} _{\text{COM}}=\left(X_{\text{COM}}^{0},X_{\text{COM}}^{1},X_{\text{COM}}^{2},X_{\text{COM}}^{3}\right)}
X
COM
i
=
1
m
0
∫
∂
Ω
X
i
T
00
d
x
d
y
d
z
{\displaystyle X_{\text{COM}}^{i}={\frac {1}{m_{0}}}\int _{\partial \Omega }X^{i}T^{00}dxdydz}
Y = X COM に設定すると、 物体の質量中心の周りの軌道角運動量密度が得られます。
角運動量保存則 エネルギー運動量保存則 は 、連続方程式 によって微分形式で与えられ
、ここで ∂ γ は4 次勾配 です 。(非直交座標系と一般相対論では、これは 共変微分 に置き換えられます)。全角運動量保存則は、別の連続方程式によって与えられます。
∂
γ
T
β
γ
=
0
{\displaystyle \partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }=0}
∂
γ
J
α
β
γ
=
0
{\displaystyle \partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }=0}
積分方程式は 時空における
ガウスの定理を使用する
∫
V
∂
γ
T
β
γ
c
d
t
d
x
d
y
d
z
=
∮
∂
V
T
β
γ
d
3
Σ
γ
=
0
∫
V
∂
γ
J
α
β
γ
c
d
t
d
x
d
y
d
z
=
∮
∂
V
J
α
β
γ
d
3
Σ
γ
=
0
{\displaystyle {\begin{aligned}\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }T^{\beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}T^{\beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\\\int _{\mathcal {V}}\partial _{\gamma }{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }\,cdt\,dx\,dy\,dz&=\oint _{\partial {\mathcal {V}}}{\mathcal {J}}^{\alpha \beta \gamma }d^{3}\Sigma _{\gamma }=0\end{aligned}}}
特殊相対論におけるトルク 点状粒子に作用するトルクは、上記の角運動量テンソルの固有時間に関する微分として定義されます。 [8] [9]
またはテンソル成分では次のように定義されます。
ここで、 Fは イベント X で粒子に作用する4d力です。角運動量と同様に、トルクは加算的であるため、拡張された物体の場合は質量分布にわたって合計または積分します。
Γ
=
d
M
d
τ
=
X
∧
F
{\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}={\frac {d\mathbf {M} }{d\tau }}=\mathbf {X} \wedge \mathbf {F} }
Γ
α
β
=
X
α
F
β
−
X
β
F
α
{\displaystyle \Gamma _{\alpha \beta }=X_{\alpha }F_{\beta }-X_{\beta }F_{\alpha }}
時空のブーストと回転のジェネレータとしての角運動量 角運動量テンソルは、ローレンツ群 のブーストと回転を生成する 。 [10] [11] ローレンツブーストは、 ラピディティ とブーストの方向を指す
3d 単位ベクトル n によってパラメータ化でき、これらを組み合わせて「ラピディティベクトル」を生成する。
ここで、 β = v / c は 相対運動の速度を光速で割ったものである。空間回転は、 軸角度表現 、角度 θ と軸の方向を指す単位ベクトル a によってパラメータ化でき、これらを組み合わせて「軸角度ベクトル」を生成する。
ζ
=
ζ
n
=
n
tanh
−
1
β
{\displaystyle {\boldsymbol {\zeta }}=\zeta \mathbf {n} =\mathbf {n} \tanh ^{-1}\beta }
θ
=
θ
a
{\displaystyle {\boldsymbol {\theta }}=\theta \mathbf {a} }
各単位ベクトルには 2 つの独立した成分のみがあり、3 つ目は単位の大きさから決定されます。ローレンツ群には合計 6 つのパラメーターがあります。3 つは回転用、3 つはブースト用です。(同次) ローレンツ群は 6 次元です。
ブースト生成器 K と回転生成器 J は 、ローレンツ変換用の 1 つの生成器に組み合わせることができます。M は 反対称角運動量テンソルで、コンポーネント
とそれに応じて、ブーストおよび回転パラメータが別の反対称 4 次元行列 ω に集められ、エントリは次のとおりです。
ここで、 繰り返しインデックス i、j、kの 合計規則 は、不格好な合計符号を防ぐために使用されています。一般的な ローレンツ変換は 行列指数 によって与えられ
、合計規則は繰り返し行列インデックス α および β に適用されています。
M
0
i
=
−
M
i
0
=
K
i
,
M
i
j
=
ε
i
j
k
J
k
.
{\displaystyle M^{0i}=-M^{i0}=K_{i}\,,\quad M^{ij}=\varepsilon _{ijk}J_{k}\,.}
ω
0
i
=
−
ω
i
0
=
ζ
i
,
ω
i
j
=
ε
i
j
k
θ
k
,
{\displaystyle \omega _{0i}=-\omega _{i0}=\zeta _{i}\,,\quad \omega _{ij}=\varepsilon _{ijk}\theta _{k}\,,}
Λ
(
ζ
,
θ
)
=
exp
(
1
2
ω
α
β
M
α
β
)
=
exp
(
ζ
⋅
K
+
θ
⋅
J
)
{\displaystyle \Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})=\exp \left({\frac {1}{2}}\omega _{\alpha \beta }M^{\alpha \beta }\right)=\exp \left({\boldsymbol {\zeta }}\cdot \mathbf {K} +{\boldsymbol {\theta }}\cdot \mathbf {J} \right)}
一般ローレンツ変換Λは、任意の4ベクトル A = ( A 0 、 A 1 、 A 2 、 A 3 )に対する変換法則であり 、この同じ4ベクトルの成分を別の慣性参照系で表す。
A
′
=
Λ
(
ζ
,
θ
)
A
{\displaystyle \mathbf {A} '=\Lambda ({\boldsymbol {\zeta }},{\boldsymbol {\theta }})\mathbf {A} }
角運動量テンソルは ポアンカレ群 の 10 個の生成元のうち 6 つを形成し、残りの 4 つは時空変換の 4 元運動量の成分です。
一般相対性理論における角運動量 緩やかに湾曲した背景における試験粒子の角運動量は一般相対論ではより複雑ですが、簡単な方法で一般化できます。ラグランジアン が 角変数 に関して 一般化座標 として表現される場合、角運動量は 角速度 に関するラグランジアン の 関数微分です。直交座標を参照すると、これらは通常、 応力エネルギーテンソル の空間的部分の非対角せん断項によって与えられます 。時空が円に接する キリングベクトル場 をサポートする場合、軸の周りの角運動量は保存されます。
また、コンパクトな回転する質量が周囲の時空に与える影響を研究することも望まれます。プロトタイプのソリューションは、軸対称の ブラックホール の周囲の時空を記述する カー計量 です。カーブラックホールの事象の地平線上に点を描き、それが回転するのを見るのは明らかに不可能です。しかし、このソリューションは、数学的には角運動量と同様に機能するシステムの定数をサポートしています。
参照
参考文献
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さらに読む
特殊相対性理論
一般相対性理論 L. Blanchet、A. Spallicci、B. Whiting (2011)。一般相対論における質量と運動。物理学の基礎理論。第162巻。Springer。p. 87。ISBN 978-90-481-3015-3 。 M. Ludvigsen (1999). 一般相対性理論: 幾何学的アプローチ. ケンブリッジ大学出版局 . p. 77. ISBN 0-521-63976-X 。 N. Ashby、DF Bartlett、W.Wyss (1990)。一般相対性理論と重力 1989: 一般相対性理論と重力に関する第 12 回国際会議の議事録。ケンブリッジ大学出版局 。ISBN 0-521-38428-1 。 {{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)BL Hu; MP Ryan; MP Ryan; CV Vishveshwara (2005)。一般相対性理論の方向性: 第 1 巻: 1993 年の議事録。一般相対性理論の方向性: 1993 年の国際シンポジウムの議事録、メリーランド: チャールズ ミスナーを記念した論文。第 1 巻。ケンブリッジ大学出版局。347 ページ 。ISBN 0-521-02139-1 。 A. パパペトロウ (1974)。一般相対性理論講義。シュプリンガー 。ISBN 90-277-0514-3 。
外部リンク N. Menicucci (2001).「相対論的角運動量」 (PDF) 。 「特殊相対性理論」 (PDF) 。 2013年11月4日に オリジナル (PDF)からアーカイブ。 2013年10月30日 閲覧 。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {x} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {x} _{n}}{\ sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]\mathbf {u} _{\mathrm {COM} }&={\frac {\sum _{n}m_{n}\mathbf {u} _{n}}{\sum _{n}m_{n}}},\\[3pt]M_{\text{tot}}&=\sum _ {n}m_{n}.\end{整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b472a64ad447fddfad664f4f31c8b3db97700eeb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{y}'&=z'p_{x}'-x'p_{z}'\\&=z\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)-\gamma \left(x-vt\right)p_{z}\\&=\gamma \left[zp_{x}-z{\frac {vE}{c^{2}}}-xp_{z}+vtp_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left(zp_{x}-xp_{z}\right)+v\left(p_{z}tz{\frac {E}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{y}-vN_{z}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1123afad3625485a848dfb8e303a9ca920c6dc76)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L_{z}'&=x'p_{y}'-y'p_{x}'\\&=\gamma \left(x-vt\right)p_{y}-y\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma \left[xp_{y}-vtp_{y}-yp_{x}+y{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma \left[\left(xp_{y}-yp_{x}\right)+v\left(y{\frac {E}{c^{2}}}-tp_{y}\right)\right]\\&=\gamma \left(L_{z}+vN_{y}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/71d548da10fb18cefdb4eb9ce1882ac5ffef2d91)
![{\displaystyle {\begin{aligned}N_{x}'&={\frac {E'}{c^{2}}}x'-t'p_{x}'\\&={\frac {\gamma }{c^{2}}}(E-vp_{x})\gamma (x-vt)-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\gamma \left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {1}{c^{2}}}\left(E-vp_{x}\right)(x-vt)-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)\left(p_{x}-{\frac {vE}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}-{\frac {Evt}{c^{2}}}-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}+{\frac {vp_{x}vt}{c^{2}}}-tp_{x}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}+t{\frac {vE}{c^{2}}}-{\frac {xv}{c^{2}}}{\frac {vE}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[{\frac {Ex}{c^{2}}}{\cancel {-{\frac {Evt}{c^{2}}}}}{\cancel {-{\frac {vp_{x}x}{c^{2}}}}}+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}p_{x}t-tp_{x}{\cancel {+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{x}}}{\cancel {+t{\frac {vE}{c^{2}}}}}-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}{\frac {Ex}{c^{2}}}\right]\\&=\gamma ^{2}\left[\left({\frac {Ex}{c^{2}}}-tp_{x}\right)+{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\left(p_{x}t-{\frac {Ex}{c^{2}}}\right)\right]\\&=\gamma ^{2}\left[1-{\frac {v^{2}}{c^{2}}}\right]N_{x}\\&=\gamma ^{2}{\frac {1}{\gamma ^{2}}}N_{x}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b648d1e3135836e03bb29300dd0ff407e130ad49)
![{\displaystyle {\begin{aligned}N_{y}'&={\frac {E'}{c^{2}}}y'-t'p_{y}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})y-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})y-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{y}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ey-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{x}y-tp_{y}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{y}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ey-tp_{y}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{y}-yp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{y}+{\frac {v}{c^{2}}}L_{z}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b104837978b0294ec655be8e3106d7a9f05f001d)
![{\displaystyle {\begin{aligned}N_{z}'&={\frac {E'}{c^{2}}}z'-t'p_{z}'\\&={\frac {1}{c^{2}}}\gamma (E-vp_{x})z-\gamma \left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}(E-vp_{x})z-\left(t-{\frac {xv}{c^{2}}}\right)p_{z}\right]\\&=\gamma \left[{\frac {1}{c^{2}}}Ez-{\frac {1}{c^{2}}}vp_{z}z-tp_{z}+{\frac {xv}{c^{2}}}p_{z}\right]\\&=\gamma \left[\left({\frac {1}{c^{2}}}Ez-tp_{z}\right)+{\frac {v}{c^{2}}}(xp_{z}-zp_{x})\right]\\&=\gamma \left(N_{z}-{\frac {v}{c^{2}}}L_{y}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0bec7d323fc0b3bd723b03f9267744611afe41ba)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {L} '&=\left[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n } -\gamma tv\mathbf {n} \right]\times \left[\mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {n} \right]\\&=[\mathbf {r} + (\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v[\mathbf {r} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} -\gamma tv\mathbf {n} ]\times \mathbf {n} \\&=\mathbf {r} \times \mathbf {p} +(\gamma -1)(\mathbf {r} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {n} \times \mathbf {p} -\gamma tv\mathbf {n} \times \mathbf {p} +(\gamma - 1)(\mathbf {p} \cdot \mathbf {n} )\mathbf {r} \times \mathbf {n} -\gamma {\frac {E}{c^{2}}}v\mathbf {r} \times \mathbf {n} \\&=\mathbf {L} +\left[{\frac {\gamma -1}{ v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right]\mathbf {v} \times \mathbf {p} +\left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{ c^{2}}}\right]\mathbf {r} \times \mathbf {v} \\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[\left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )-\gamma t\right)\mathbf {p} - \left({\frac {\gamma -1}{v^{2}}}(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )-\gamma {\frac {E}{c^{2}}}\right)\mathbf {r} \right]\\&=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1 }{v^{2}}}\left((\mathbf {r} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {p} -(\mathbf {p} \cdot \mathbf {v} )\mathbf {r} \right)+\gamma \left({\frac {E}{c^{2}}}\mathbf {r} -t\mathbf {p} \right)\right]\end{整列しました}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fa6dc85886be938da746e18f88f7e576f0af83c3)
![{\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {v} \times \left[{\frac {\gamma -1}{v^{2}}}\mathbf {L} \times \mathbf {v} +\gamma \mathbf {N} \right]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/15c51d40d1928f1b84a346639fb97f3449ee8a97)
![{\displaystyle \mathbf {L} '=\mathbf {L} +\mathbf {n} \times \left[(\gamma -1)\mathbf {L} \times \mathbf {n} +v\gamma \mathbf {N} \右]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/43604da007a299e1a680c3d8c25252add69623e1)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {M} &={\begin{pmatrix}M^{00}&M^{01}&M^{02}&M^{03}\\M^{10}&M^{11}&M^{12}&M^{13}\\M^{20}&M^{21}&M^{22}&M^{23}\\M^{30}&M^{31}&M^{32}&M^{33}\end{pmatrix}}\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|ccc}0&-N^{1}c&-N^{2}c&-N^{3}c\\\hline N^{1}c&0&L^{12}&-L^{31}\\N^{2}c&-L^{12}&0&L^{23}\\N^{3}c&L^{31}&-L^{23}&0\end{array}}\right)\\[3pt]&=\left({\begin{array}{c|c}0&-\mathbf {N} c\\\hline \mathbf {N} ^{\mathrm {T} }c&\mathbf {x} \wedge \mathbf {p} \\\end{array}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e2168c668a8665773a018f4384ecd4777bb5c3b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left(-\gamma \beta ^{\ell }\right)-\left(-\gamma \beta ^{k}\right)\left[{\delta ^{\ell }}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right]\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\gamma -(-\gamma \beta ^{k})(-\gamma \beta ^{i})\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}-\gamma \beta ^{k}\beta ^{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}-\gamma \right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma -\gamma \beta ^{2}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma \left[{\delta ^{k}}_{i}+\left({\frac {\gamma ^{-1}-1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]\\&=\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left[{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right]\beta ^{k}\beta _{i}\\{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}&=\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\left[{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\right]\\&={\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/59e7133fe844510383bb91eed39f9060b5da47a5)
![{\displaystyle {\begin{aligned}cN'^{k}&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{0}}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{0}}_{j}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\left[\gamma {\delta ^{k}}_{i}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\beta _{i}\right]cN^{i}+-\gamma \beta ^{j}\left[{\delta ^{k}}_{i}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}\right]\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}{\delta ^{k}}_{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}-\gamma {\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{j}\beta ^{k}\beta _{i}\varepsilon ^{ijn}L_{n}\\&=\gamma cN^{k}-\left({\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\right)\beta ^{k}\left(\beta _{i}cN^{i}\right)-\gamma \beta ^{j}\varepsilon ^{kjn}L_{n}\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/97ea30c1903597ab5d2ca6a693adbad9508872eb)
![{\displaystyle {\begin{aligned}L'^{k\ell }&=\left({\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{0}-{\Lambda ^{k}}_{0}{\Lambda ^{\ell }}_{i}\right)cN^{i}+{\Lambda ^{k}}_{i}{\Lambda ^{\ell }}_{j}L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}{\delta ^{\ell }}_{i}-\beta ^{\ell }{\delta ^{k}}_{i}\right)N^{i}+\left[{\delta ^{k}}_{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\delta ^{k}}_{i}\beta ^{\ell }\beta _{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}{\delta ^{\ell }}_{j}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}\beta ^{k}\beta _{i}\right]L^{ij}\\&=\gamma c\left(\beta ^{k}N^{\ell }-\beta ^{\ell }N^{k}\right)+L^{k\ell }+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{\ell }\beta _{j}L^{kj}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta ^{k}\beta _{i}L^{i\ell }\\\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9cc51e5068004b1206697a23f07abc1a0936670b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}{S'}^{0}&={\Lambda ^{0}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{0}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{0}}_{i}S^{i}=\gamma \left(S^{0}-\beta _{i}S^{i}\right)\\&=\gamma \left({\frac {c}{c}}S^{0}-{\frac {u_{i}}{c}}S^{i}\right)={\frac {1}{c}}U_{0}S^{0}-{\frac {1}{c}}U_{i}S^{i}\\[3pt]{S'}^{i}&={\Lambda ^{i}}_{\alpha }S^{\alpha }={\Lambda ^{i}}_{0}S^{0}+{\Lambda ^{i}}_{j}S^{j}\\&=-\gamma \beta ^{i}S^{0}+\left[\delta _{ij}+{\frac {\gamma -1}{\beta ^{2}}}\beta _{i}\beta _{j}\right]S^{j}\\&=S^{i}+{\frac {\gamma ^{2}}{\gamma +1}}\beta _{i}\beta _{j}S^{j}-\gamma \beta ^{i}S^{0}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9b8a790a4eba43ff0be90559613130bd83c89ec9)
![{\displaystyle M^{ij}=\oint _{\partial \Omega }{\mathcal {M}}^{ij0}d\Sigma _{0}=\oint _{\partial \Omega }\left[\left(X^{i}-Y^{i}\right)T^{j0}-\left(X^{j}-Y^{j}\right)T^{i0}\right]dx\,dy\,dz}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab105da60f25ba3391bde42a751d14ca33ec7093)
