ナビエ・ストークス方程式

ナビエ・ストークス方程式（/ n æ v ˈ j eɪ s t oʊ k s / nav- YAY STOHKS）は、粘性流体の運動を記述する偏微分方程式です。この方程式は、フランスの技術者で物理学者のクロード・ルイ・ナビエと、アイルランドの物理学者で数学者のジョージ・ガブリエル・ストークスにちなんで名付けられました。この方程式は、1822年（ナビエ）から1842～1850年（ストークス）までの数十年にわたって理論を段階的に構築しながら発展しました。

ナビエ・ストークス方程式は、ニュートン流体の運動量バランスを数学的に表現し、質量保存則を利用している。圧力、温度 、密度を関連付ける状態方程式を伴うこともある。^{[1]これらは}、アイザック・ニュートンの第二法則を流体の運動に適用し、流体の応力は拡散粘性項（速度勾配に比例）と圧力項の合計であるという仮定（したがって粘性流を記述する）から生じる。これらと密接に関連するオイラー方程式との違いは、ナビエ・ストークス方程式が粘性を考慮するのに対し、オイラー方程式は非粘性流のみをモデル化することである。結果として、ナビエ・ストークス方程式は放物型方程式であるため、数学的構造が少なくなる（たとえば、完全に積分できない）という代償として、解析特性が優れている。

ナビエ・ストークス方程式は、科学や工学の分野で関心のある多くの現象の物理特性を記述するため有用です。天気、海流、パイプ内の水の流れ、翼の周りの空気の流れをモデル化するために使用できます。ナビエ・ストークス方程式は、完全な形式と簡略化された形式で、航空機や自動車の設計、血流の研究、発電所の設計、汚染の分析、その他多くの問題に役立ちます。マクスウェル方程式と組み合わせると、磁気流体力学のモデル化と研究に使用できます。

ナビエ・ストークス方程式は、純粋に数学的な意味でも非常に興味深いものです。その幅広い実用的用途にもかかわらず、滑らかな解が常に3次元に存在するかどうか、つまり、領域内のすべての点で無限に微分可能かどうか（または単に有界であるかどうか）はまだ証明されていません。これはナビエ・ストークスの存在と滑らかさの問題と呼ばれています。クレイ数学研究所はこれを数学における7つの最も重要な未解決問題の一つと呼び、解または反例に100万ドルの賞金を提供しています。 ^{[2] [3]}

方程式の解は流速です。これはベクトル場であり、時間間隔のどの瞬間でも、流体内のあらゆる点に対して、その空間の点とその時間の瞬間における流体の速度の方向と大きさのベクトルを与えます。これは通常、3つの空間次元と1つの時間次元で研究されますが、2つの（空間）次元と定常状態のケースがモデルとしてよく使用され、より高次元の類似物が純粋数学と応用数学の両方で研究されます。速度場が計算されると、圧力や温度などの他の関心のある量は、動的方程式と関係を使用して見つけることができます。これは、解が通常、粒子の位置の軌跡または連続体の偏向である古典力学で通常見られるものとは異なります。位置ではなく速度を研究する方が流体の場合は理にかなっています。ただし、視覚化のためにさまざまな軌跡を計算できます。特に、流速として解釈されるベクトル場の流線は、質量のない流体粒子が移動する経路です。これらのパスは、各ポイントでの導関数がベクトル場と等しい積分曲線であり、ある時点でのベクトル場の挙動を視覚的に表現できます。

ナビエ・ストークスの運動量方程式は、コーシー運動量方程式の特定の形式として導くことができます。その一般的な対流形式は次のとおりです。 コーシー応力テンソルを粘性項(偏差応力) と圧力項(体積応力 ) の合計に 設定すると、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {1}{\rho }}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma } }+\mathbf {f} .}$$ ${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}}$${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$${\textstyle -p\mathbf {I} }$

どこ

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$は物質微分であり、次のように定義される。${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla }$
• ${\textstyle \rho }$は（質量）密度であり、
• ${\textstyle \mathbf {u} }$流速は
• ${\textstyle \nabla \cdot \,}$発散は、
• ${\textstyle p}$圧力は、
• ${\textstyle t}$時間です、
• ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$は偏差応力テンソルであり、次数は2である。
• ${\textstyle \mathbf {a} }$連続体に作用する物体の加速度、例えば重力、慣性加速度、静電加速度などを表します。

この形式では、非粘性流体（偏差応力なし）を仮定すると、コーシー方程式がオイラー方程式に簡約されることがわかります。

質量が保存されると仮定し、発散と勾配の既知の特性を用いて、質量連続方程式を使用することができる。この方程式は、均質流体の単位体積あたりの質量を、任意の有限体積（ V ）の空間と時間（すなわち、物質微分 ）に関して表し、流体媒体における速度の変化を表す。 ここで ${\displaystyle {\frac {\mathbf {D} }{\mathbf {Dt} }}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}&={\iiint \limits _{V}}\left({{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )}\right)dV\\{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot {\mathbf {u} })&={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\nabla \rho })\cdot {\mathbf {u} }+{\rho }(\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0\end{aligned}}}$$

• ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} m}{\mathrm {D} t}}}$は単位体積あたりの質量の物質微分（密度、）であり、${\displaystyle \rho }$
• ${\textstyle {\iiint \limits _{V}}(F(x_{1},x_{2},x_{3},t))dV}$は体積（V）全体の積分に対する数学的演算であり、
• ${\textstyle {\frac {\partial }{\partial t}}}$は偏微分数学演算子であり、
• ${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} \,}$は流速（）の発散であり、これはスカラー場である、^注1${\displaystyle \mathbf {u} }$
• ${\textstyle {\nabla \rho }\,}$は密度勾配（ ）であり、これはスカラー場のベクトル微分である。^注1${\displaystyle \rho }$

^{注 1 - ナブラ( )記号で表される数学演算子 del を参照してください。${\displaystyle \nabla }$}

運動方程式の保存形に到達する。これはよく次のように書かれる: ^[4]

ここで、流速（）の外積は：${\textstyle \otimes }$${\displaystyle \mathbf {u} }$$${\displaystyle \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} =\mathbf {u} \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }}$$

方程式の左側は加速度を表し、時間依存の要素と対流要素（存在する場合は非慣性座標の影響も含む）で構成される場合があります。方程式の右側は、実質的には静水圧効果、偏差応力の発散、および体積力（重力など）の合計です。

ナビエ・ストークス方程式などのすべての非相対論的バランス方程式は、コーシー方程式から始めて、構成関係を通じて応力テンソルを指定することによって導くことができます。偏差（せん断）応力テンソルを粘性と流体速度勾配で表し、粘性が一定であると仮定すると、上記のコーシー方程式から以下のナビエ・ストークス方程式が得られます。

コーシー方程式、ひいては他のすべての連続体方程式 (オイラー方程式やナビエ・ストークス方程式を含む) の重要な特徴は、対流加速の存在です。対流加速とは、空間に対する流れの加速効果です。個々の流体粒子は確かに時間依存の加速を経験しますが、流れ場の対流加速は空間的な効果であり、その一例がノズル内での流体の加速です。

注意: ここでは、偏差応力テンソルは、一般的な連続体方程式および非圧縮流れセクションで示されたのと同じように表されます。 ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$

圧縮性運動量ナビエ・ストークス方程式は、コーシー応力テンソルに関する以下の仮定から導かれる。^[5]

• 応力はガリレイ不変です。つまり、応力は流速に直接依存せず、流速の空間微分にのみ依存します。したがって、応力変数はテンソル勾配、またはより簡単に言えばひずみ速度テンソルです。${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}\left(\nabla \mathbf {u} \right)\equiv {\frac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} +{\frac {1}{2}}\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{T}}$
• 偏差応力は、この変数 について線形です。ここで、 はひずみ速度テンソルに依存せず、は比例定数を表す 4 次テンソルで、粘性テンソルまたは弾性テンソルと呼ばれます。 は二重点積です。${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\mathbf {C} :{\boldsymbol {\varepsilon }}}$${\textstyle p}$${\textstyle \mathbf {C} }$
• 流体は気体や単純な液体と同様に等方性であると仮定され、したがって等方性テンソルである。さらに、偏差応力テンソルは対称であるため、ヘルムホルツ分解によって、線形弾性で通常行われるように、2つのスカラーラメパラメータ、第2粘性および動粘性で表すことができる。 ${\textstyle \mathbf {C} }$ ${\textstyle \lambda }$ ${\textstyle \mu }$
  線形応力構成方程式 （弾性体の場合と同様の表現）

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}({\boldsymbol {\varepsilon }})=-p\mathbf {I} +\lambda \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  ここでは恒等テンソル、 はひずみ速度テンソルの トレースです。したがって、この分解は次のように明示的に定義できます。${\textstyle \mathbf {I} }$${\textstyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})}$$${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\lambda (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right).}$$

3次元におけるひずみ速度テンソルの軌跡は流れの 発散（つまり膨張率）であるため、$${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\varepsilon }})=\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

この関係を考えると、3 次元における単位テンソルのトレースは 3 なので、次のようになります。 $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {I}})=3.}$$

3次元における応力テンソルの軌跡は次のようになります。 $${\displaystyle \operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})=-3p+(3\lambda +2\mu )\nabla \cdot \mathbf {u} .}$$

そこで、流体力学で通常行われるように、応力テンソルを等方性と偏差の部分に交互に分解すると、次のようになる。^[6] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-\left[p-\left(\lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu \right)\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\right]\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}\left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)\mathbf {I} \right)}$$

バルク粘度を 導入すると、 ${\textstyle \zeta }$$${\displaystyle \zeta \equiv \lambda +{\tfrac {2}{3}}\mu ,}$$

熱流体力学で通常用いられる形式の線形構成方程式に到達する：^[5]

これは他の通常の形式でも配置できます: ^[7] $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}=-p\mathbf {I} +\mu \left(\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right)+\left(\zeta -{\frac {2}{3}}\mu \right)(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} .}$$

圧縮性の場合、体積粘性項が追加されるため、 圧力は等方性応力項に比例しなくなることに注意してください。${\displaystyle p=-{\frac {1}{3}}\operatorname {tr} ({\boldsymbol {\sigma }})+\zeta (\nabla \cdot \mathbf {u} )}$

そして偏差応力テンソルは 依然としてせん断応力テンソルと一致しており（つまり、ニュートン流体の偏差応力には法線応力成分がない）、非圧縮の場合に加えてせん断粘度に比例する圧縮項を持ちます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'}$${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}'={\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }-{\tfrac {2}{3}}(\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} \right]}$

体積粘度と動粘度はどちらも一定である必要はありません。一般に、流体が単一の化学種を含む場合、圧力と温度など、2つの熱力学変数に依存します。これらの輸送係数の1つを保存変数に明示的に示す方程式は、状態方程式と呼ばれます。^[8]${\textstyle \zeta }$${\textstyle \mu }$

最も一般的なナビエ・ストークス方程式は

指数表記では、この式は次のように書ける^[9]

保存形式の対応する方程式は、質量連続方程式の左辺が次の式と等しいこと を考慮すると得られます。

${\displaystyle \rho {\frac {\mathrm {D} \mathbf {u} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}(\rho \mathbf {u} )+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} \otimes \mathbf {u} )}$

最後に：

圧力と温度への依存性の他に、第 2 粘性係数はプロセスにも依存します。つまり、第 2 粘性係数は単なる材料特性ではありません。例: 流体要素を交互に圧縮および膨張させる一定の周波数を持つ音波の場合、第 2 粘性係数は波の周波数に依存します。この依存性は分散 と呼ばれます。場合によっては、第 2 粘性が 一定であると仮定できます。その場合、体積粘性の影響により、機械的圧力は熱力学的圧力: ^[10]と等しくありません。 ただし、この違いは通常、ほとんどの場合 (つまり、第 2 粘性係数が重要になる音の吸収や衝撃波の減衰などのプロセスを扱っていない場合^[11] ) は明示的に と仮定することによって無視されます。設定の仮定は、ストークス仮説と呼ばれます。^[12]ストークス仮説の妥当性は、実験的にも運動論からも単原子ガスに対して実証できます。^[13]他の気体や液体の場合、ストークス仮説は一般的には誤りである。ストークス仮説によれば、ナビエ・ストークス方程式は ${\textstyle \zeta }$${\textstyle \zeta }$$${\displaystyle \nabla \cdot (\nabla \cdot \mathbf {u} )\mathbf {I} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} ),}$$$${\displaystyle {\bar {p}}\equiv p-\zeta \,\nabla \cdot \mathbf {u} ,}$$${\textstyle \zeta =0}$${\textstyle \zeta =0}$

動的μと体積粘性が空間的に均一であると仮定すると、対流形式の方程式はさらに簡略化できます。応力テンソルの発散を計算すると、テンソルの発散はであり、テンソルの発散はであるため、最終的に圧縮性ナビエ・ストークス運動量方程式に到達します。^[14]${\displaystyle \zeta }$${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$${\textstyle \nabla ^{2}\mathbf {u} }$${\textstyle \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }}$${\textstyle \nabla \left(\nabla \cdot \mathbf {u} \right)}$

ここで、は物質導関数です。はせん断動粘性、は体積動粘性です。 左辺はナビエ・ストークス運動量方程式の保存形によって変化します。 演算子を左辺の流速に当てはめると、 も次のようになります。 ${\textstyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}}$${\displaystyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$${\displaystyle \xi ={\frac {\zeta }{\rho }}}$

対流加速項は と書くこともできます 。 ここで、ベクトルはラムベクトルと呼ばれます。 $${\displaystyle \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {u} =(\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} +{\tfrac {1}{2}}\nabla \mathbf {u} ^{2},}$$${\textstyle (\nabla \times \mathbf {u} )\times \mathbf {u} }$

非圧縮性流れの特殊なケースでは、圧力によって流れが制約され、流体要素の体積は一定になります。等容積流れでは、 のソレノイド速度場が生じます。^[15]${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

非圧縮運動量ナビエ・ストークス方程式は、コーシー応力テンソルに関する以下の仮定から導かれる。^[5]

• 応力はガリレイ不変です。つまり、応力は流速に直接依存せず、流速の空間微分のみに依存します。したがって、応力変数はテンソル勾配です。${\textstyle \nabla \mathbf {u} }$
• 流体は気体や単純な液体と同様に等方性であると仮定され、したがって等方性テンソルである。さらに、偏差応力テンソルは動粘性で表すことができるため、 ${\textstyle {\boldsymbol {\tau }}}$ ${\textstyle \mu }$
  ストークスの応力構成方程式 （非圧縮性弾性体に使用される式）

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}}$

  ここで は ひずみ速度テンソルである。したがって、この分解は次のように明示的に表すことができる: ^[5]$${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}={\tfrac {1}{2}}\left(\mathbf {\nabla u} +\mathbf {\nabla u} ^{\mathrm {T} }\right)}$$

  ストークスの応力構成方程式 （非圧縮粘性流体に使用される式）

  ${\displaystyle {\boldsymbol {\tau }}=\mu \left[\nabla \mathbf {u} +(\nabla \mathbf {u} )^{\mathrm {T} }\right]}$

この構成方程式はニュートンの粘性法則とも呼ばれます。動粘性μは一定である必要はなく、非圧縮性の流れでは密度と圧力に依存することがあります。これらの輸送係数の1つを保存変数で明示的に示す方程式は状態方程式と呼ばれます。^[8]

均一な粘度の場合の偏差応力の発散は、 非圧縮性流体の場合 、次のように表されます。$${\displaystyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}=2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}=\mu \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} +\nabla \mathbf {u} ^{\mathrm {T} }\right)=\mu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} }$$${\textstyle \nabla \cdot \mathbf {u} =0}$

非圧縮性は音波や衝撃波のような密度波や圧力波を排除するため、これらの現象が関心事である場合、この単純化は役に立ちません。非圧縮性流れの仮定は、通常、常温での空気の風をモデル化する場合など、低マッハ数（マッハ0.3程度まで）のすべての流体でよく当てはまります。 ^[16]非圧縮性ナビエ・ストークス方程式は、密度で割ることで最もよく視覚化されます。^[17]

ここで は動粘性と呼ばれます。流体速度を分離すると、次のようにも言えます。 ${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$

密度が流体領域全体で一定である場合、言い換えれば、すべての流体要素が同じ密度である場合、 ${\textstyle \rho }$

ここで は単位圧力水頭と呼ばれます。 ${\textstyle p/\rho }$

非圧縮性流れでは、圧力場はポアソン方程式を満たす。^[9]

${\displaystyle \nabla ^{2}p=-\rho {\frac {\partial u_{i}}{\partial x_{k}}}{\frac {\partial u_{k}}{\partial x_{i}}}=-\rho {\frac {\partial ^{2}u_{i}u_{k}}{\partial x_{k}x_{i}}},}$

これは運動量方程式の発散をとることによって得られます。

各項の意味を観察することは価値があります（コーシー運動量方程式と比較してください）。

$${\displaystyle \overbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\underbrace {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}} _{\text{Variation}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} } _{\begin{smallmatrix}{\text{Convective}}\\{\text{acceleration}}\end{smallmatrix}}} ^{\text{Inertia (per volume)}}=\overbrace {{\vphantom {\frac {\partial }{\partial }}}\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}-\nabla w} _{\begin{smallmatrix}{\text{Internal}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\nu \nabla ^{2}\mathbf {u} } _{\text{Diffusion}}} ^{\text{Divergence of stress}}+\underbrace {{\vphantom {\frac {}{}}}\mathbf {g} } _{\begin{smallmatrix}{\text{External}}\\{\text{source}}\end{smallmatrix}}.}$$

高次の項、すなわちせん断応力発散は、単にベクトルラプラシアン項に簡約されます。^[18]このラプラシアン項は、ある点における速度と周囲の小さな体積における平均速度との差として解釈できます。これは、ニュートン流体の場合、粘性は熱伝導とほぼ同じように、運動量の拡散として作用することを意味します。実際、対流項を無視すると、非圧縮ナビエ・ストークス方程式はベクトル拡散方程式（つまりストークス方程式）につながりますが、一般に対流項が存在するため、非圧縮ナビエ・ストークス方程式は対流拡散方程式のクラスに属します。 ${\textstyle \nabla \cdot {\boldsymbol {\tau }}}$${\textstyle \mu \nabla ^{2}\mathbf {u} }$

通常、外部フィールドは保存フィールドであるため、 水頭を 定義すると次のようになります。 $${\displaystyle \mathbf {g} =-\nabla \varphi }$$$${\displaystyle h\equiv w+\varphi }$$

最終的にソース全体を1つの項に凝縮して、保存外部場を持つ非圧縮ナビエ-ストークス方程式に到達できます。 $${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} =-\nabla h.}$$

均一な密度と粘性、および保存外部場を持つ非圧縮ナビエ・ストークス方程式は、水力学の基本方程式です。これらの方程式の領域は一般に 3 次元以下のユークリッド空間 で、通常は直交座標参照フレームが設定されて、解くべきスカラー偏微分方程式系が明示的に示されます。3 次元直交座標系には、直交、円筒、球面 の3 つがあります。ナビエ・ストークスベクトル方程式を直交座標で表すのは非常に簡単で、使用するユークリッド空間の次元数にあまり影響されません。これは、非直交直交座標系でも、変分項や対流項などの 1 次項についても同様です。しかし、より高次の項（ナビエ・ストークス方程式とオイラー方程式を区別する偏差応力の発散から生じる 2 つの項）については、非直交座標系での式を導き出すためにテンソル計算が必要です。水力学の基本方程式の特殊なケースは、ベルヌーイの方程式です。

非圧縮ナビエ・ストークス方程式は合成方程式で、2 つの直交方程式の和です 。 ここで、と は、を満たすソレノイド射影演算子と非回転射影演算子であり、と は体積力の非保存部分と保存部分です。この結果は、ヘルムホルツの定理(ベクトル解析の基本定理としても知られています) から得られます。最初の方程式は、速度に対する圧力のない支配方程式であり、圧力に対する 2 番目の方程式は、速度の関数であり、圧力ポアソン方程式に関連しています。 $${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}&=\Pi ^{S}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{S}\\\rho ^{-1}\,\nabla p&=\Pi ^{I}\left(-(\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nu \,\nabla ^{2}\mathbf {u} \right)+\mathbf {f} ^{I}\end{aligned}}}$$${\textstyle \Pi ^{S}}$${\textstyle \Pi ^{I}}$${\textstyle \Pi ^{S}+\Pi ^{I}=1}$${\textstyle \mathbf {f} ^{S}}$${\textstyle \mathbf {f} ^{I}}$

3D における射影演算子の明示的な関数形式は、ヘルムホルツの定理から得られます。2D でも同様の構造を持ちます。したがって、支配方程式は、クーロン法則やビオ・サバール法則に似た積分微分方程式であり、数値計算には適していません。 $${\displaystyle \Pi ^{S}\,\mathbf {F} (\mathbf {r} )={\frac {1}{4\pi }}\nabla \times \int {\frac {\nabla ^{\prime }\times \mathbf {F} (\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,\mathrm {d} V',\quad \Pi ^{I}=1-\Pi ^{S}}$$

この方程式の同等な弱変分形式は、ナビエ・ストークス方程式と同じ速度解を生成することが証明されており、^[19]で与えられる。 $${\displaystyle \left(\mathbf {w} ,{\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} ,\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} {\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} :\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\mathbf {w} ,\mathbf {f} ^{S}\right)}$$

適切な境界条件を満たす発散のないテスト関数。ここでは、投影はソレノイド関数空間と非回転関数空間の直交性によって実現されます。次のセクションで説明するように、この離散形式は発散のない流れの有限要素計算に非常に適しています。そこで、「圧力駆動 (ポアズイユ) 問題を圧力のない支配方程式でどのように指定するか」という質問に答えることができます。 ${\textstyle \mathbf {w} }$

支配的な速度方程式に圧力力がないということは、方程式が動的なものではなく、発散のない条件が保存方程式の役割を果たす運動方程式であることを示しています。これはすべて、非圧縮圧力が発散のない条件を強制するというよくある主張を反駁しているように見えます。

境界が で ある領域内の 一定密度のニュートン流体に対する非圧縮ナビエ–ストークス方程式を考えます。境界にはそれぞれディリクレ境界条件とノイマン境界条件 が適用されます ( )。^[20]は流体の速度、流体の圧力、与えられた強制項、への外向きの単位法線ベクトル、次のように定義される粘性応力テンソルです。[ 20 ^] は流体の動粘性、2 次恒等テンソル、次のように定義されるひずみ速度テンソルです。^[20] 関数とにはディリクレ境界データとノイマン境界データが与えられ、 は初期条件です。最初の方程式は運動量バランス方程式で、2 番目の方程式は質量保存、つまり連続方程式を表します。動粘性が一定であると仮定し、ベクトル恒等式 と質量保存則を利用すると、運動量方程式の全応力テンソルの発散は次のように表すこともできる: ^[20] さらに、ノイマン境界条件は次のように書き直すことができる: ^[20]${\textstyle \rho }$$${\displaystyle \Omega \subset \mathbb {R} ^{d}\quad (d=2,3)}$$$${\displaystyle \partial \Omega =\Gamma _{D}\cup \Gamma _{N},}$$${\textstyle \Gamma _{D}}$${\textstyle \Gamma _{N}}$${\textstyle \Gamma _{D}\cap \Gamma _{N}=\emptyset }$ $${\displaystyle {\begin{cases}\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}+\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} -\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)=\mathbf {f} &{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\nabla \cdot \mathbf {u} =0&{\text{ in }}\Omega \times (0,T)\\\mathbf {u} =\mathbf {g} &{\text{ on }}\Gamma _{D}\times (0,T)\\{\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p){\hat {\mathbf {n} }}=\mathbf {h} &{\text{ on }}\Gamma _{N}\times (0,T)\\\mathbf {u} (0)=\mathbf {u} _{0}&{\text{ in }}\Omega \times \{0\}\end{cases}}}$$ ${\textstyle \mathbf {u} }$${\textstyle p}$${\textstyle \mathbf {f} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$${\textstyle \Gamma _{N}}$${\textstyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)=-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} ).}$$${\textstyle \mu }$${\textstyle \mathbf {I} }$${\textstyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )}$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )={\frac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right).}$$${\textstyle \mathbf {g} }$${\textstyle \mathbf {h} }$${\textstyle \mathbf {u} _{0}}$$${\displaystyle \nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {f} \right)^{\mathrm {T} }=\nabla (\nabla \cdot \mathbf {f} )}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \cdot {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p)&=\nabla \cdot \left(-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\right)\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\\&=-\nabla p+2\mu \nabla \cdot \left[{\tfrac {1}{2}}\left(\left(\nabla \mathbf {u} \right)+\left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right)\right]\\&=-\nabla p+\mu \left(\Delta \mathbf {u} +\nabla \cdot \left(\nabla \mathbf {u} \right)^{\mathrm {T} }\right)\\&=-\nabla p+\mu {\bigl (}\Delta \mathbf {u} +\nabla \underbrace {(\nabla \cdot \mathbf {u} )} _{=0}{\bigr )}=-\nabla p+\mu \,\Delta \mathbf {u} .\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\boldsymbol {\sigma }}(\mathbf {u} ,p){\hat {\mathbf {n} }}=\left(-p\mathbf {I} +2\mu {\boldsymbol {\varepsilon }}(\mathbf {u} )\right){\hat {\mathbf {n} }}=-p{\hat {\mathbf {n} }}+\mu {\frac {\partial {\boldsymbol {u}}}{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}.}$$

ナビエ・ストークス方程式の弱形式を求めるには、まず運動量方程式^[20] を考え、これを適切な空間で定義された テスト関数に掛け合わせ、両方の項を領域に関して積分する：^[20] 拡散項と圧力項を部分積分し、ガウスの定理を用いる：^[20]$${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}-\mu \Delta \mathbf {u} +\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} +\nabla p=\mathbf {f} }$$${\textstyle \mathbf {v} }$${\textstyle V}$${\textstyle \Omega }$ $${\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }\mu \Delta \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\nabla p\cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} }$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}-\int \limits _{\Omega }\mu \Delta \mathbf {u} \cdot \mathbf {v} &=\int _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} -\int \limits _{\partial \Omega }\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}\cdot \mathbf {v} \\\int \limits _{\Omega }\nabla p\cdot \mathbf {v} &=-\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\partial \Omega }p\mathbf {v} \cdot {\hat {\mathbf {n} }}\end{aligned}}}$$

これらの関係を用いると、次式が得られる。^[20] 同様に、連続方程式を空間に属するテスト関数qに対して乗じ、領域で積分する。^[20] 空間関数は次のように選択される。 テスト関数v がディリクレ境界上で消失し、ノイマン条件を考慮すると、境界上の積分は次のように整理できる。^[20] これを念頭に置いて、ナビエ・ストークス方程式の弱定式化は次のように表現される。^[20]$${\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V.}$$${\textstyle Q}$${\textstyle \Omega }$ $${\displaystyle \int \limits _{\Omega }q\nabla \cdot \mathbf {u} =0.\quad \forall q\in Q.}$$$${\displaystyle {\begin{aligned}V=\left[H_{0}^{1}(\Omega )\right]^{d}&=\left\{\mathbf {v} \in \left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}:\quad \mathbf {v} =\mathbf {0} {\text{ on }}\Gamma _{D}\right\},\\Q&=L^{2}(\Omega )\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \int \limits _{\partial \Omega }\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} =\underbrace {\int \limits _{\Gamma _{D}}\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)\cdot \mathbf {v} } _{\mathbf {v} =\mathbf {0} {\text{ on }}\Gamma _{D}\ }+\int \limits _{\Gamma _{N}}\underbrace {{\vphantom {\int \limits _{\Gamma _{N}}}}\left(\mu {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial {\hat {\mathbf {n} }}}}-p{\hat {\mathbf {n} }}\right)} _{=\mathbf {h} {\text{ on }}\Gamma _{N}}\cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Gamma _{N}}\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} .}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}&{\text{find }}\mathbf {u} \in L^{2}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[H^{1}(\Omega )\right]^{d}\right)\cap C^{0}\left(\mathbb {R} ^{+}\;\left[L^{2}(\Omega )\right]^{d}\right){\text{ such that: }}\\[5pt]&\quad {\begin{cases}\displaystyle \int \limits _{\Omega }\rho {\dfrac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}\cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\mu \nabla \mathbf {u} \cdot \nabla \mathbf {v} +\int \limits _{\Omega }\rho (\mathbf {u} \cdot \nabla )\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} -\int \limits _{\Omega }p\nabla \cdot \mathbf {v} =\int \limits _{\Omega }\mathbf {f} \cdot \mathbf {v} +\int \limits _{\Gamma _{N}}\mathbf {h} \cdot \mathbf {v} \quad \forall \mathbf {v} \in V,\\\displaystyle \int \limits _{\Omega }q\nabla \cdot \mathbf {u} =0\quad \forall q\in Q.\end{cases}}\end{aligned}}}$$

問題領域を分割し、分割された領域上で 基底関数を定義すると、支配方程式の離散形式は次のようになる。$${\displaystyle \left(\mathbf {w} _{i},{\frac {\partial \mathbf {u} _{j}}{\partial t}}\right)=-{\bigl (}\mathbf {w} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}{\bigr )}-\nu \left(\nabla \mathbf {w} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {w} _{i},\mathbf {f} ^{S}\right).}$$

非圧縮性流れの本質的な特徴を反映する基底関数を選択することが望ましい。つまり、要素は発散しない必要がある。速度が関心のある変数である一方、ヘルムホルツの定理により、流れ関数またはベクトル ポテンシャルの存在が必要である。さらに、圧力勾配がない場合の流体の流れを決定するには、2D チャネル全体にわたる流れ関数値の差、または 3D のチャネル周囲のベクトル ポテンシャルの接線成分の線積分を指定でき、流れはストークスの定理によって与えられる。以下では、2D に限定して説明する。

さらに、少なくとも一次微分自由度を持つ連続エルミート有限要素に議論を限定します。これにより、プレート曲げの文献から多数の候補となる三角形要素と長方形要素を引き出すことができます。これらの要素は、勾配の成分として微分を持ちます。2Dでは、スカラーの勾配と回転は明らかに直交しており、次の式で表されます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\nabla \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial x}},\,{\frac {\partial \varphi }{\partial y}}\right)^{\mathrm {T} },\\[5pt]\nabla \times \varphi &=\left({\frac {\partial \varphi }{\partial y}},\,-{\frac {\partial \varphi }{\partial x}}\right)^{\mathrm {T} }.\end{aligned}}}$$

連続プレート曲げ要素を採用し、微分自由度を交換し、適切なものの符号を変更すると、多くのストリーム関数要素のファミリが得られます。

スカラー流関数要素の回転をとると、発散のない速度要素が得られます。^{[21] [22]}流関数要素が連続しているという要件は、速度の法線成分が要素インターフェース全体で連続していることを保証し、これらのインターフェースで発散を消失させるために必要なことすべてです。

境界条件の適用は簡単です。流れのない表面では流れ関数は一定で、表面では滑りのない速度条件が適用されます。開いたチャネル間の流れ関数の違いによって流れが決まります。開いた境界では境界条件は必要ありませんが、問題によっては一貫した値が使用される場合があります。これらはすべてディリクレ条件です。

解くべき代数方程式は設定が簡単ですが、もちろん非線形であるため、線形化された方程式の反復が必要になります。

同様の考慮が 3 次元にも当てはまりますが、ポテンシャルのベクトル性質のため 2D からの拡張は直接的ではなく、2D の場合のように勾配と回転の間に単純な関係は存在しません。

速度場から圧力を復元するのは簡単です。圧力勾配の離散弱方程式は、 $${\displaystyle (\mathbf {g} _{i},\nabla p)=-\left(\mathbf {g} _{i},\left(\mathbf {u} \cdot \nabla \right)\mathbf {u} _{j}\right)-\nu \left(\nabla \mathbf {g} _{i}:\nabla \mathbf {u} _{j}\right)+\left(\mathbf {g} _{i},\mathbf {f} ^{I}\right)}$$

ここで、テスト/重量関数は非回転です。適合するスカラー有限要素を使用できます。ただし、圧力勾配フィールドも重要です。この場合、圧力にスカラー エルミート要素を使用できます。テスト/重量関数には、圧力要素の勾配から取得された非回転ベクトル要素を選択します。 ${\textstyle \mathbf {g} _{i}}$

回転座標系は、物質微分項を通じて方程式に興味深い擬似力を導入します。静止した慣性座標系と、静止座標系に対して速度で平行移動し、角速度で回転する 非慣性座標系を考えます。非慣性座標系から見たナビエ・ストークス方程式は次のようになります。 ${\textstyle K}$${\textstyle K'}$${\textstyle \mathbf {U} (t)}$${\textstyle \Omega (t)}$

ここで、 および は非慣性系で測定されます。括弧内の第 1 項はコリオリの加速度を表し、第 2 項は遠心加速度によるもの、第 3 項はに対するの直線加速度 によるもの、第 4 項はに対するの角加速度 によるものです。 ${\textstyle \mathbf {x} }$${\textstyle \mathbf {u} }$${\textstyle K'}$${\textstyle K}$${\textstyle K'}$${\textstyle K}$

ナビエ・ストークス方程式は、厳密には運動量のバランスを記述したものです。流体の流れを完全に記述するには、仮定に応じてさらに多くの情報が必要です。この追加情報には、境界データ (滑りなし、毛細管表面など)、質量保存、エネルギーバランス、および/または状態方程式が含まれます。

流れの仮定に関係なく、質量保存の記述は一般に必要です。これは、この記事の「一般的な連続方程式」で前述したように、次のように 質量連続方程式によって実現されます。密度( ) が一定 の流体媒体は、非圧縮性と呼ばれます。したがって、時間に対する密度の変化率( )と密度の勾配はゼロ に等しくなります。この場合、一般的な連続方程式 は、次のように簡約されます 。さらに、密度( ) がゼロでない定数であると仮定すると、方程式の右辺は密度( )で割り切れます。したがって、非圧縮性流体の連続方程式は、次のようにさらに簡約されます。この関係 は、 流速ベクトル( )の発散がゼロ に等しいことを示しています。これは、非圧縮性流体の場合、流速場がソレノイド ベクトル場または発散のないベクトル場であることを意味します。この関係はベクトル ラプラス演算子と渦度との一意性により拡張でき、非圧縮流体の場合は次のように表されること に注意してください。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathbf {D} m}{\mathbf {Dt} }}&={\iiint \limits _{V}}({{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot \mathbf {u} )})dV\\{\frac {\mathbf {D} \rho }{\mathbf {Dt} }}+\rho (\nabla \cdot {\mathbf {u} })&={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+({\nabla \rho })\cdot {\mathbf {u} }+{\rho }(\nabla \cdot \mathbf {u} )={\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0\end{aligned}}}$$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle ({\frac {\partial \rho }{\partial t}})}$${\displaystyle (\nabla \rho )}$${\displaystyle (0)}$${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot ({\rho \mathbf {u} })=0}$${\displaystyle \rho (\nabla {\cdot }{\mathbf {u} })=0}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle (\rho \neq 0)}$${\displaystyle (0)}$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}$$${\textstyle (\nabla {\cdot {\mathbf {u} }})=0}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle (0)}$ ${\displaystyle (\nabla ^{2}\mathbf {u} =\nabla (\nabla \cdot \mathbf {u} )-\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))}$ ${\displaystyle ({\vec {\omega }}=\nabla \times \mathbf {u} )}$$${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {u} =-(\nabla \times (\nabla \times \mathbf {u} ))=-(\nabla \times {\vec {\omega }})}$$

非圧縮ナビエ・ストークス方程式の回転をとると、圧力が除去されます。これは、2D 直交座標フローが想定されている場合（ でに何も依存しない 3D の退化の場合など）に特に簡単にわかります。この場合、方程式は次のように簡約されます。 ${\textstyle u_{z}=0}$${\textstyle z}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left({\frac {\partial u_{x}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{x}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{x}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial x}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{x}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{x}\\\rho \left({\frac {\partial u_{y}}{\partial t}}+u_{x}{\frac {\partial u_{y}}{\partial x}}+u_{y}{\frac {\partial u_{y}}{\partial y}}\right)&=-{\frac {\partial p}{\partial y}}+\mu \left({\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u_{y}}{\partial y^{2}}}\right)+\rho g_{y}.\end{aligned}}}$$

最初の方程式を について微分し、2 番目の方程式を について微分し、得られた方程式を減算すると、圧力と保存力 が除去されます。非圧縮性の流れの場合、を通じて 流れ関数を定義する と、質量連続性が無条件に満たされ (流れ関数が連続している場合)、非圧縮性ニュートン 2D 運動量と質量保存則が 1 つの方程式に凝縮されます。 ${\textstyle y}$${\textstyle x}$ ${\textstyle \psi }$$${\displaystyle u_{x}={\frac {\partial \psi }{\partial y}};\quad u_{y}=-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}}$$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \psi }{\partial y}}{\frac {\partial }{\partial x}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)-{\frac {\partial \psi }{\partial x}}{\frac {\partial }{\partial y}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)=\nu \nabla ^{4}\psi }$$

ここで、は2次元の重調和演算子、 は動粘性係数です。ヤコビ行列式を使用してこれを簡潔に表現することもできます。 ${\textstyle \nabla ^{4}}$${\textstyle \nu }$${\textstyle \nu ={\frac {\mu }{\rho }}}$$${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla ^{2}\psi \right)+{\frac {\partial \left(\psi ,\nabla ^{2}\psi \right)}{\partial (y,x)}}=\nu \nabla ^{4}\psi .}$$

この単一の方程式と適切な境界条件を組み合わせることで、動粘性のみをパラメータとして 2D 流体の流れを記述できます。左辺がゼロであると仮定すると、 クリープ流の方程式が得られることに注意してください。

軸対称流れでは、ストークス流れ関数と呼ばれる別の流れ関数の定式化を使用して、1 つのスカラー関数で非圧縮流れの速度成分を記述できます。

非圧縮ナビエ・ストークス方程式は微分代数方程式であり、圧力を時間的に進めるための明示的なメカニズムがないという不都合な特徴があります。その結果、計算プロセスのすべてまたは一部から圧力を排除するために多大な努力が費やされてきました。流れ関数の定式化では圧力が排除されますが、2 次元のみで、高次の導関数の導入と、主な関心変数である速度の排除を犠牲にしています。

ナビエ・ストークス方程式は、一般には非線形 偏微分方程式であるため、ほとんどすべての実際の状況で当てはまります。 ^{[23] [24] 1次元の流れや}ストークス流（またはクリープ流）などの一部のケースでは、方程式を線形方程式に簡略化できます。非線形性により、ほとんどの問題は解決が困難または不可能になり、方程式がモデル化する 乱流の主な原因となります。

非線形性は対流加速によるもので、これは位置による速度の変化に関連する加速です。したがって、乱流であるかどうかにかかわらず、対流は非線形性を伴うことになります。対流でありながら層流（非乱流）の流れの例としては、粘性流体（たとえば油）が小さな収束ノズルを通過する流れが挙げられます。このような流れは、正確に解けるかどうかにかかわらず、徹底的に研究され、理解されることがよくあります。^[25]

乱流は多くの流体の流れに見られる時間依存の混沌とし​​た挙動である。一般的には、乱流は流体全体の慣性、つまり時間依存の加速と対流の加速の集大成によるものだと考えられている。そのため、慣性の影響が小さい流れは層流になる傾向がある（レイノルズ数は流れが慣性によってどの程度影響を受けるかを定量化する）。ナビエ・ストークス方程式は乱流を適切に記述すると考えられているが、確実ではない。^[26]

乱流に対するナビエ・ストークス方程式の数値解法は極めて難しく、乱流では混合長スケールが大きく異なるため、安定した解法には非常に細かいメッシュ解像度が必要となり、計算時間が大幅に長くなり、計算や直接数値シミュレーションが実行不可能になります。層流ソルバーを使用して乱流を解こうとすると、通常は時間非定常解となり、適切に収束しません。これに対処するため、乱流をモデル化する際に、乱流モデルを補足したレイノルズ平均ナビエ・ストークス方程式(RANS) などの時間平均方程式が、実際の数値流体力学(CFD) アプリケーションで使用されます。モデルには、 Spalart–Allmaras、k – ω、k – ε、SSTモデルなどがあり、RANS 方程式を完結させるためにさまざまな方程式が追加されています。ラージ エディ シミュレーション(LES) を使用して、これらの方程式を数値的に解くこともできます。このアプローチは、RANS よりも計算コスト (時間とコンピュータ メモリ) が高くなりますが、より大きな乱流スケールを明示的に解決するため、より優れた結果が得られます。

補足方程式（例えば、質量保存）と適切に定式化された境界条件と組み合わせると、ナビエ・ストークス方程式は流体の動きを正確にモデル化するように見えます。乱流でさえも（平均的には）現実世界の観測と一致するように見えます。

ナビエ・ストークス方程式は、研究対象の流体が連続体（無限に分割可能で、原子や分子などの粒子で構成されていない）であり、相対論的な速度で動いていないことを前提としています。非常に小さなスケールや極端な条件下では、離散的な分子でできた実際の流体は、ナビエ・ストークス方程式でモデル化された連続流体とは異なる結果を生み出します。たとえば、流体の内部層の毛細管現象は、勾配の大きい流れに現れます。^[27]問題のクヌーセン数 が大きい場合、ボルツマン方程式が適切な代替となる場合があります。^{[28]それができない場合は、}分子動力学やさまざまなハイブリッド手法 に頼らなければならない場合があります。 ^[29]

もう一つの限界は、方程式の複雑さです。一般的な流体ファミリーには実績のある定式化がありますが、ナビエ・ストークス方程式をあまり一般的でないファミリーに適用すると、非常に複雑な定式化になり、研究上の問題が未解決になることがよくあります。このため、これらの方程式は通常、粘性モデルが線形であるニュートン流体用に書かれています。他の種類の流体（血液など）の流れに対する真に一般的なモデルは存在しません。^[30]

ナビエ・ストークス方程式は、特定の流体について明示的に記述されている場合でも、本質的にはむしろ汎用的であり、特定の問題への適切な適用は非常に多様です。これは、静圧の分布のような単純なものから、表面張力によって駆動される多相流のような複雑なものまで、モデル化できる問題が非常に多様であるためです。

一般的に、特定の問題への適用は、いくつかの流れの仮定と初期/境界条件の定式化から始まり、その後にスケール解析を行って問題をさらに単純化する場合があります。

平行板間の安定した平行な 1 次元の非対流圧力駆動流れを想定すると、結果として得られるスケールされた (無次元の)境界値問題は次のようになります。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}u}{\mathrm {d} y^{2}}}=-1;\quad u(0)=u(1)=0.}$$

境界条件は滑りなし条件です。この問題は流れ場に対して簡単に解けます。 $${\displaystyle u(y)={\frac {y-y^{2}}{2}}.}$$

この時点から、粘性抵抗力や正味流量など、さらに多くの重要な量を簡単に取得できます。

問題が少し複雑になると、困難が生じる可能性があります。上記の平行流に一見控えめなひねりを加えたものが、平行プレート間の放射状の流れです。これには対流が伴い、非線形性が生じます。速度場は、次の条件を満たす関数f ( z )で表すことができます。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} ^{2}f}{\mathrm {d} z^{2}}}+Rf^{2}=-1;\quad f(-1)=f(1)=0.}$$

この常微分方程式は、ナビエ・ストークス方程式が書かれ、流れの仮定が適用されると（加えて、圧力勾配が解かれると）得られる。非線形項は、これを解析的に解くのが非常に難しい問題にする（楕円積分と三次多項式の根を含む長い暗黙の解が見つかるかもしれない）。解の実際の存在に関する問題は、 （近似値、これは√2ではない）について生じる。パラメータは、適切に選択されたスケールのレイノルズ数である。^[31]これは、流れの仮定が適用性を失った例であり、「高」レイノルズ数の流れの難しさの例である。^[31]${\textstyle R>1.41}$${\textstyle R}$

ナビエ・ストークス方程式で記述できる自然対流の一種に、レイリー・ベナール対流があります。これは、解析的および実験的にアクセスしやすいため、最もよく研​​究される対流現象の 1 つです。

ナビエ・ストークス方程式には厳密な解がいくつか存在する。ナビエ・ストークス方程式の非線形項がゼロとなる退化の例としては、ポアズイユ流れ、クエット流れ、振動ストークス境界層などがある。しかし、より興味深い例として、ジェフリー・ハメル流れ、フォン・カルマン旋回流、よどみ点流、ランダウ・スクワイアジェット、テイラー・グリーン渦など、完全な非線形方程式の解も存在する。^{[32] [33] [34]} これらの厳密な解が存在するからといって、必ずしも安定しているわけではないことに注意する必要がある。レイノルズ数が高くなると乱流が発生する可能性がある。

追加の仮定の下では、構成要素を分離することができる。^[35]

特異点のない定常状態の例は、ホップファイバの線に沿った流れを考えるときにある。を内側のコイルの一定半径とする。解の1つの集合は次のように与えられる: ^[37]${\textstyle r}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\rho (x,y,z)&={\frac {3B}{r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}}}\\p(x,y,z)&={\frac {-A^{2}B}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{3}}}\\\mathbf {u} (x,y,z)&={\frac {A}{\left(r^{2}+x^{2}+y^{2}+z^{2}\right)^{2}}}{\begin{pmatrix}2(-ry+xz)\\2(rx+yz)\\r^{2}-x^{2}-y^{2}+z^{2}\end{pmatrix}}\\g&=0\\\mu &=0\end{aligned}}}$$

任意の定数およびに対してです。これは、密度、速度、圧力が原点から遠く離れるとゼロになる非粘性ガス（圧縮性流体）の解です。（これは、 が定数である非圧縮性流体を参照し、また、乱流特性に関するナビエ-ストークス方程式の一意性を扱っていないため、クレイミレニアム問題の解ではないことに注意してください。）速度ベクトルの成分は、ピタゴラス四重項パラメータ化の成分とまったく同じであることも指摘する価値があります。同じ速度場を使用して、密度と圧力の他の選択が可能です。 ${\textstyle A}$${\textstyle B}$${\textstyle \rho }$

周期的な完全 3 次元粘性解の 2 つの例が で説明されています。^[38] これらの解は 3 次元トーラス 上で定義され、それぞれ正と負のヘリシティによって特徴付けられます。正のヘリシティを持つ解は次のように与えられます。 ここで は波数であり、速度成分は単位質量あたりの平均運動エネルギーが でとなるように正規化されます。圧力場は速度場から次のように得られます (ここでと はそれぞれ圧力場と密度場の基準値です)。両方の解はベルトラミ流のクラスに属するため、渦度場は速度に平行であり、正のヘリシティを持つ場合は で与えられます。これらの解は、古典的な 2 次元テイラー・グリーンテイラー・グリーン渦の 3 次元への一般化と見なすことができます。 ${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=[0,L]^{3}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}u_{x}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(kx-\pi /3)\cos(ky+\pi /3)\sin(kz+\pi /2)-\cos(kz-\pi /3)\sin(kx+\pi /3)\sin(ky+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\\u_{y}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(ky-\pi /3)\cos(kz+\pi /3)\sin(kx+\pi /2)-\cos(kx-\pi /3)\sin(ky+\pi /3)\sin(kz+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\\u_{z}&={\frac {4{\sqrt {2}}}{3{\sqrt {3}}}}\,U_{0}\left[\,\sin(kz-\pi /3)\cos(kx+\pi /3)\sin(ky+\pi /2)-\cos(ky-\pi /3)\sin(kz+\pi /3)\sin(kx+\pi /2)\,\right]e^{-3\nu k^{2}t}\end{aligned}}}$$${\displaystyle k=2\pi /L}$${\displaystyle U_{0}^{2}/2}$${\displaystyle t=0}$${\displaystyle p=p_{0}-\rho _{0}\|{\boldsymbol {u}}\|^{2}/2}$${\displaystyle p_{0}}$${\displaystyle \rho _{0}}$${\displaystyle \omega ={\sqrt {3}}\,k\,{\boldsymbol {u}}}$

ワイルド図は、基本的な連続体力学の摂動展開を介してナビエ-ストークス方程式に対応する簿記グラフです。量子場理論のファインマン図と同様に、これらの図は流体力学における非平衡過程に対するケルディッシュの手法の拡張です。言い換えれば、これらの図は、相関して相互作用する流体粒子が確率分布の疑似ランダム関数に関連付けられた確率過程に従うことを可能にすることで、乱流流体の（多くの場合）乱流現象にグラフを割り当てます。^[39]

このセクションの式では、偏微分に対して一行表記法を使用していることに注意してください。ここで、例えば は のに関する偏微分を意味し、は の に関する2次偏微分を意味します。 ${\textstyle \partial _{x}u}$${\textstyle u}$${\textstyle x}$${\textstyle \partial _{y}^{2}f_{\theta }}$${\textstyle f_{\theta }}$${\textstyle y}$

2022年の論文では、3次元乱流流体の流れに対するナビエ・ストークス方程式の低コストで動的かつ再帰的な解法が提示されている。適切に短い時間スケールでは、乱流のダイナミクスは決定論的である。^[40]

ナビエ・ストークスの一般形から、速度ベクトルを （それぞれ 、 、 と呼ばれることもある）と展開すると、ベクトル方程式を明示的に次のように書くことができる。 ${\textstyle \mathbf {u} =(u_{x},u_{y},u_{z})}$${\textstyle u}$${\textstyle v}$${\textstyle w}$$${\displaystyle {\begin{aligned}x:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{x}}+u_{x}\,{\partial _{x}u_{x}}+u_{y}\,{\partial _{y}u_{x}}+u_{z}\,{\partial _{z}u_{x}}\right)\\&\quad =-\partial _{x}p+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{x}}+{\partial _{y}^{2}u_{x}}+{\partial _{z}^{2}u_{x}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{x}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{x}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}y:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{y}}+u_{x}{\partial _{x}u_{y}}+u_{y}{\partial _{y}u_{y}}+u_{z}{\partial _{z}u_{y}}\right)\\&\quad =-{\partial _{y}p}+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{y}}+{\partial _{y}^{2}u_{y}}+{\partial _{z}^{2}u_{y}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{y}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{y}\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}z:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{x}{\partial _{x}u_{z}}+u_{y}{\partial _{y}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\quad =-{\partial _{z}p}+\mu \left({\partial _{x}^{2}u_{z}}+{\partial _{y}^{2}u_{z}}+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)+{\frac {1}{3}}\mu \ \partial _{z}\left({\partial _{x}u_{x}}+{\partial _{y}u_{y}}+{\partial _{z}u_{z}}\right)+\rho g_{z}.\end{aligned}}}$$

重力は体積力として考慮されており、、の値は、選択された座標セットに対する重力の方向によって異なることに注意して ください。${\textstyle g_{x}}$${\textstyle g_{y}}$${\textstyle g_{z}}$

連続方程式は次のようになります。 $${\displaystyle \partial _{t}\rho +\partial _{x}(\rho u_{x})+\partial _{y}(\rho u_{y})+\partial _{z}(\rho u_{z})=0.}$$

流れが非圧縮性である場合、 はどの流体粒子に対しても変化せず、その物質微分はゼロになります。連続方程式は次のように簡約されます。 ${\textstyle \rho }$${\textstyle {\frac {\mathrm {D} \rho }{\mathrm {D} t}}=0}$$${\displaystyle \partial _{x}u_{x}+\partial _{y}u_{y}+\partial _{z}u_{z}=0.}$$

したがって、ナビエ・ストークス方程式の非圧縮バージョンでは、粘性項の 2 番目の部分は消えます ( 「非圧縮流れ」を参照)。

この 4 つの方程式のシステムは、最も一般的に使用され、研究されている形式です。他の表現よりも比較的コンパクトですが、それでも解を得るのが難しい 非線形偏微分方程式のシステムです。

直交座標系の変数変換により、、、および^[41]に対する次の運動量方程式が得られる^[16]。${\textstyle r}$${\textstyle \phi }$${\textstyle z}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\partial _{z}^{2}u_{r}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+u_{z}{\partial _{z}u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }}{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\ \partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\partial _{z}^{2}u_{\varphi }}-{\frac {u_{\varphi }}{r^{2}}}+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }u_{r}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}z:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{r}{\partial _{r}u_{z}}+{\frac {u_{\varphi }}{r}}{\partial _{\varphi }u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\quad =-{\partial _{z}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{z}}\right)+{\frac {1}{r^{2}}}{\partial _{\varphi }^{2}u_{z}}+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{z}\left({\frac {1}{r}}{\partial _{r}\left(ru_{r}\right)}+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\partial _{z}u_{z}}\right)\\&\qquad +\rho g_{z}.\end{aligned}}}$$

重力成分は一般に定数ではありませんが、ほとんどのアプリケーションでは、重力成分が一定になるように座標が選択される、または重力が圧力場によって相殺されると想定されます (たとえば、水平パイプ内の流れは通常、重力なし、垂直圧力勾配なしで処理されます)。連続方程式は次のとおりです。 $${\displaystyle {\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(\rho ru_{r}\right)+{\frac {1}{r}}{\partial _{\varphi }\left(\rho u_{\varphi }\right)}+{\partial _{z}\left(\rho u_{z}\right)}=0.}$$

非圧縮ナビエ・ストークス方程式の円筒表現は、2番目によく見られる表現です（1番目は上記の直交座標です）。円筒座標は対称性を利用するために選択され、速度成分を消すことができます。非常に一般的なケースは、接線速度がないと仮定した軸対称の流れ（）で、残りの量は に依存しません。 ${\textstyle u_{\phi }=0}$${\textstyle \phi }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+u_{z}{\partial _{z}u_{r}}\right)&=-{\partial _{r}p}+\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\partial _{z}^{2}u_{r}}-{\frac {u_{r}}{r^{2}}}\right)+\rho g_{r}\\\rho \left({\partial _{t}u_{z}}+u_{r}{\partial _{r}u_{z}}+u_{z}{\partial _{z}u_{z}}\right)&=-{\partial _{z}p}+\mu \left({\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(r{\partial _{r}u_{z}}\right)+{\partial _{z}^{2}u_{z}}\right)+\rho g_{z}\\{\frac {1}{r}}\partial _{r}\left(ru_{r}\right)+{\partial _{z}u_{z}}&=0.\end{aligned}}}$$

球面座標では、、、 運動量方程式は[16]で表されます（^慣例に注意：は極角、または余緯度、^[42]）。 ${\textstyle r}$${\textstyle \phi }$${\textstyle \theta }$${\textstyle \theta }$ ${\textstyle 0\leq \theta \leq \pi }$$${\displaystyle {\begin{aligned}r:\ &\rho \left({\partial _{t}u_{r}}+u_{r}{\partial _{r}u_{r}}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{r}}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\varphi }^{2}+u_{\theta }^{2}}{r}}\right)\\&\quad =-{\partial _{r}p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{r}}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{r}}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{r}}\right)-2{\frac {u_{r}+{\partial _{\theta }u_{\theta }}+u_{\theta }\cot \theta }{r^{2}}}-{\frac {2}{r^{2}\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu \partial _{r}\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{r}\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\varphi }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\varphi }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\varphi }}+{\frac {u_{r}u_{\varphi }+u_{\varphi }u_{\theta }\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\varphi }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\varphi }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\varphi }}\right)+{\frac {2\sin \theta {\partial _{\varphi }u_{r}}+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\theta }}-u_{\varphi }}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\varphi }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\varphi }\\[8px]\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\theta :\ &\rho \left({\partial _{t}u_{\theta }}+u_{r}{\partial _{r}u_{\theta }}+{\frac {u_{\varphi }}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\theta }}+{\frac {u_{\theta }}{r}}{\partial _{\theta }u_{\theta }}+{\frac {u_{r}u_{\theta }-u_{\varphi }^{2}\cot \theta }{r}}\right)\\&\quad =-{\frac {1}{r}}{\partial _{\theta }p}\\&\qquad +\mu \left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}{\partial _{r}u_{\theta }}\right)+{\frac {1}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}{\partial _{\varphi }^{2}u_{\theta }}+{\frac {1}{r^{2}\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta {\partial _{\theta }u_{\theta }}\right)+{\frac {2}{r^{2}}}{\partial _{\theta }u_{r}}-{\frac {u_{\theta }+2\cos \theta {\partial _{\varphi }u_{\varphi }}}{r^{2}\sin ^{2}\theta }}\right)\\&\qquad +{\frac {1}{3}}\mu {\frac {1}{r}}\partial _{\theta }\left({\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(u_{\theta }\sin \theta \right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }u_{\varphi }}\right)\\&\qquad +\rho g_{\theta }.\end{aligned}}}$$

質量の連続性は次のようになります: $${\displaystyle {\partial _{t}\rho }+{\frac {1}{r^{2}}}\partial _{r}\left(\rho r^{2}u_{r}\right)+{\frac {1}{r\sin \theta }}{\partial _{\varphi }(\rho u_{\varphi })}+{\frac {1}{r\sin \theta }}\partial _{\theta }\left(\sin \theta \rho u_{\theta }\right)=0.}$$

これらの方程式は、例えば粘性項から因数分解することによって（わずかに）圧縮することができます。ただし、そうするとラプラシアンやその他の量の構造が望ましくない形で変化します。 ${\textstyle {\frac {1}{r^{2}}}}$

ナビエ・ストークス方程式は、さまざまな自然現象をモデル化するために、ビデオゲームで広く使用されています。火や煙などの小規模な気体流体のシミュレーションは、多くの場合、ジョス・スタムの独創的な論文「ゲームのためのリアルタイム流体力学」 ^{[43]に基づいています。この論文は、スタムの1999年のより有名な論文「安定流体」 [44]}で提案された方法の1つを詳しく説明しています。スタムは、1968年のナビエ・ストークス解法と、1992年に初めて提案された無条件に安定なセミラグランジュ移流スキームを組み合わせた安定流体シミュレーションを提案しています。

この研究に基づく最近の実装は、中央処理装置（CPU）ではなくゲームシステムのグラフィックス処理装置（GPU）上で実行され、はるかに高いパフォーマンスを実現します。 ^{[45] [46]} Stamの元の研究には、速度と質量の両方で高い数値散逸が本質的に問題となるため、多くの改良が提案されています。

インタラクティブ流体シミュレーションの入門は、2007 ACM SIGGRAPHコース「コンピュータアニメーションのための流体シミュレーション」で学ぶことができます。^[47]

• アチソン、DJ (1990)、初等流体力学、オックスフォード応用数学および計算科学シリーズ、オックスフォード大学出版局、ISBN 978-0-19-859679-0
• バチェラー、GK（1967）、流体力学入門、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-66396-0
• カリー、IG（1974）、流体の基礎力学、マグロウヒル、ISBN 978-0-07-015000-3
• V. Giraultおよび PA Raviart。ナビエ-ストークス方程式の有限要素法: 理論とアルゴリズム。Springer 計算数学シリーズ。Springer-Verlag、1986 年。
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1987)、流体力学、第 6巻理論物理学講座（第2改訂版）、Pergamon Press、ISBN 978-0-08-033932-0、OCLC  15017127
• ポリアニン、AD; クテポフ、AM; ヴィヤズミン、AV; カゼニン、DA (2002)、化学工学における流体力学、質量および熱伝達、テイラー＆フランシス、ロンドン、ISBN 978-0-415-27237-7
• Rhyming、Inge L. (1991)、Dynamique des Fluides、Preses Polytechniques et universitaires romandes
• スミッツ、アレクサンダー J. (2014)、流体力学の物理的入門、Wiley、ISBN 0-47-1253499 
• テマム、ロジャー（1984）：ナビエ・ストークス方程式：理論と数値解析、ACMチェルシー出版、ISBN 978-0-8218-2737-6 
• ホワイト、フランク M. (2006)、粘性流体の流れ、マグロウヒル、ISBN 978-0-07-124493-0

• ナビエ・ストークス方程式の簡略化された導出
• ナビエ・ストークス方程式の3次元非定常形式 NASA グレン研究センター