ヴラソフ方程式

プラズマ物理学において、ヴラソフ方程式は、クーロン相互作用などの長距離相互作用を持つ荷電粒子からなる衝突のないプラズマの分布関数の時間発展を記述する微分方程式です。この方程式は、1938年にアナトリー・ヴラソフによってプラズマの記述のために初めて提案され、 ^{[1] [2]}後に彼によってモノグラフで詳細に議論されました。^[3]ヴラソフ方程式は、ランダウの運動方程式と組み合わせて衝突プラズマを記述します。

まず、ヴラソフは、ボルツマン方程式に基づく標準的な運動論的アプローチは、長距離クーロン相互作用を伴うプラズマの記述に適用すると困難を伴うと主張している。彼は、対衝突に基づく運動論をプラズマの力学に適用すると、次のような問題が生じると述べている。

1. 対衝突の理論は、レイリー、アーヴィング・ラングミュア、ルイ・トンクスによる電子プラズマの自然振動の発見とは矛盾している。
2. 対衝突の理論は、運動項の発散のため、正式にはクーロン相互作用には適用できません。
3. 対衝突理論は、ハリソン・メリルとハロルド・ウェッブによる気体プラズマ中の異常電子散乱の実験を説明できない。^[4]

ヴラソフは、これらの困難はクーロン相互作用の長距離特性に起因すると示唆している。彼は、一般化座標における衝突のないボルツマン方程式（この文脈では時代錯誤的にヴラソフ方程式と呼ばれることもある）から始める。 $${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} t}}f(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)=0,}$$

明示的に偏微分方程式を プラズマの場合に適用し、以下に示す連立方程式を導きました。^[5] ここでf は、座標rと与えられた時間tにおける運動量pを持つ粒子の一般的な分布関数です。項は粒子に作用する 力Fであることに注意してください。$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {r} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}+{\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {p} }}=0,}$$ ${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} \mathbf {p} }{\mathrm {d} t}}}$

プラズマ中の荷電粒子の相互作用に対する衝突ベースの運動論的記述の代わりに、ヴラソフは荷電プラズマ粒子によって生成される自己無撞着な集団場を利用する。このような記述では、電子と（正の）プラズマイオンに対する分布関数 とを使用する。種αに対する分布関数は、時刻tにおける位置の近くでほぼ運動量を持つ種αの粒子の数を記述する。ボルツマン方程式の代わりに、プラズマの荷電成分（電子と正イオン）の記述には次の方程式系が提案された。 ${\displaystyle f_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$${\displaystyle f_{i}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$${\displaystyle f_{\alpha }(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$ ${\displaystyle \mathbf {p} }$ ${\displaystyle \mathbf {r} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial f_{e}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{e}\cdot \nabla f_{e}&-e\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v_{e}} }{c}}\times \mathbf {B} \right)\cdot {\frac {\partial f_{e}}{\partial \mathbf {p} }}=0\\{\frac {\partial f_{i}}{\partial t}}+\mathbf {v} _{i}\cdot \nabla f_{i}&+Z_{i}e\left(\mathbf {E} +{\frac {\mathbf {v_{i}} }{c}}\times \mathbf {B} \right)\cdot {\frac {\partial f_{i}}{\partial \mathbf {p} }}=0\\\nabla \times \mathbf {B} &={\frac {4\pi \mathbf {j} }{c}}+{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {E} }{\partial t}}\\\nabla \times \mathbf {E} &=-{\frac {1}{c}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}\\\nabla \cdot \mathbf {E} &=4\pi \rho \\\nabla \cdot \mathbf {B} &=0\\\end{aligned}}}$$ $${\displaystyle \rho =e\int (Z_{i}f_{i}-f_{e})\mathrm {d} ^{3}p,\quad \mathbf {j} =e\int (Z_{i}f_{i}\mathbf {v} _{i}-f_{e}\mathbf {v} _{e})\mathrm {d} ^{3}p,\quad \mathbf {v} _{\alpha }={\frac {\frac {\mathbf {p} }{m_{\alpha }}}{\left(1+{\frac {p^{2}}{(m_{\alpha }c)^{2}}}\right)^{1/2}}}}$$

ここで、eは素電荷( )、cは光速、m _{i は}イオンの質量であり、はすべてのプラズマ粒子によって時点tに生成される集合的な自己無撞着電磁場を表します。この方程式系と外部電磁場内の粒子の方程式との本質的な違いは、 自己無撞着電磁場が電子とイオンの分布関数とに複雑に依存することです。${\displaystyle e>0}$${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {B} (\mathbf {r} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {r} }$${\displaystyle f_{e}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$${\displaystyle f_{i}(\mathbf {r} ,\mathbf {p} ,t)}$

ヴラソフ・ポアソン方程式は、非相対論的ゼロ磁場極限におけるヴラソフ・マクスウェル方程式の近似である。 $${\displaystyle {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial t}}+\mathbf {v} _{\alpha }\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial \mathbf {x} }}+{\frac {q_{\alpha }\mathbf {E} }{m_{\alpha }}}\cdot {\frac {\partial f_{\alpha }}{\partial \mathbf {v} }}=0,}$$

自己無撞着電場に対する ポアソン方程式:$${\displaystyle \nabla ^{2}\phi +{\frac {\rho }{\varepsilon }}=0.}$$

ここで、q _αは粒子の電荷、m _αは粒子の質量、は自己無撞着電場、自己無撞着電位、ρは電荷密度、は電気誘電率です。 ${\displaystyle \mathbf {E} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \phi (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \epsilon }$

ブラソフ・ポアソン方程式はプラズマ内のさまざまな現象、特にランダウ減衰と二重層プラズマ内の分布を記述するために使用されます。これらの現象は必然的に強く非マクスウェル分布であるため、流体モデルではアクセスできません。

プラズマの流体記述（プラズマモデリングと磁気流体力学（MHD）を参照）では、速度分布は考慮されません。これは、数密度n、流速u、圧力pなどのプラズマモーメントに置き換えることで実現されます。^{[6]これらは、速度について積分することでの}n番目のモーメントを見つけることができるため、プラズマモーメントと呼ばれます。これらの変数は位置と時間の関数のみであるため、一部の情報が失われます。多流体理論では、異なる粒子種は、異なる圧力、密度、流速を持つ異なる流体として扱われます。プラズマモーメントを支配する方程式は、モーメント方程式または流体方程式と呼ばれます。 ${\displaystyle f(\mathbf {r} ,\mathbf {v} ,t)}$ ${\displaystyle f}$${\displaystyle v^{n}f}$

以下に、最もよく使用される 2 つのモーメント方程式を示します ( SI 単位系)。Vlasov 方程式からモーメント方程式を導出する場合、分布関数に関する仮定は必要ありません。

連続方程式は、密度が時間とともにどのように変化するかを説明します。これは、Vlasov 方程式を速度空間全体に積分することで求められます。 $${\displaystyle \int {\frac {\mathrm {d} f}{\mathrm {d} t}}\mathrm {d} ^{3}v=\int \left({\frac {\partial }{\partial t}}f+(\mathbf {v} \cdot \nabla _{r})f+(\mathbf {a} \cdot \nabla _{v})f\right)\mathrm {d} ^{3}v=0}$$

いくつか計算してみると、 $${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}n+\nabla \cdot (n\mathbf {u} )=0.}$$

数密度nと運動量密度 n u は、ゼロ次モーメントと一次モーメントです。 $${\displaystyle n=\int f\mathrm {d^{3}} v}$$ $${\displaystyle n\mathbf {u} =\int \mathbf {v} f\mathrm {d} ^{3}v}$$

粒子の運動量の変化率はローレンツ方程式で表されます。 $${\displaystyle m{\frac {\mathrm {d} \mathbf {v} }{\mathrm {d} t}}=q(\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )}$$

この式とヴラソフ方程式を用いると、各流体の運動量方程式は次のようになる 。 ここで は圧力テンソルである。物質微分は $${\displaystyle mn{\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}\mathbf {u} =-\nabla \cdot {\mathcal {P}}+qn\mathbf {E} +qn\mathbf {u} \times \mathbf {B} ,}$$${\displaystyle {\mathcal {P}}}$$${\displaystyle {\frac {\mathrm {D} }{\mathrm {D} t}}={\frac {\partial }{\partial t}}+\mathbf {u} \cdot \nabla .}$$

圧力テンソルは、粒子の質量と速度の 共分散行列の積として定義されます。$${\displaystyle p_{ij}=m\int (v_{i}-u_{i})(v_{j}-u_{j})f\mathrm {d} ^{3}v.}$$

理想的な MHDに関しては、特定の条件が満たされると、プラズマは磁力線に結びついていると考えることができます。磁力線はプラズマ内に固定されているとよく言われます。固定された条件は、Vlasov 方程式から導くことができます。

時間、距離、速度のそれぞれにスケールT、L、V を導入します。これらは、 に大きな変化をもたらすさまざまなパラメータの大きさを表します。大きいとは、 ${\displaystyle f}$$${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}T\sim f\quad \left|{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} }}\right|L\sim f\quad \left|{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\right|V\sim f.}$$

次に、 $${\displaystyle t'={\frac {t}{T}},\quad \mathbf {r} '={\frac {\mathbf {r} }{L}},\quad \mathbf {v} '={\frac {\mathbf {v} }{V}}.}$$

ヴラソフ方程式は次のように書ける。 $${\displaystyle {\frac {1}{T}}{\frac {\partial f}{\partial t'}}+{\frac {V}{L}}\mathbf {v} '\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} '}}+{\frac {q}{mV}}(\mathbf {E} +V\mathbf {v} '\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} '}}=0.}$$

今のところ近似は行われていません。先に進むために、 を設定します。ここではジャイロ周波数、Rはジャイロ半径です。 ω _gで割ると、 ${\displaystyle V=R\omega _{g}}$${\displaystyle \omega _{g}=qB/m}$$${\displaystyle {\frac {1}{\omega _{g}T}}{\frac {\partial f}{\partial t'}}+{\frac {R}{L}}\mathbf {v} '\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {r} '}}+\left({\frac {\mathbf {E} }{VB}}+\mathbf {v} '\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} '}}=0}$$

およびの場合、最初の2つの項は ​​よりはるかに小さくなります。これは、上記のT、L、およびVの定義によるものです。最後の項は のオーダーであるため、最初の2つの項を無視して次のように書くことができます。 ${\displaystyle 1/\omega _{g}\ll T}$${\displaystyle R\ll L}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \partial f/\partial t'\sim f,v'\lesssim 1}$${\displaystyle \partial f/\partial \mathbf {r} '\sim f}$${\displaystyle f}$$${\displaystyle \left({\frac {\mathbf {E} }{VB}}+\mathbf {v} '\times {\frac {\mathbf {B} }{B}}\right)\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} '}}\approx 0\Rightarrow (\mathbf {E} +\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} }}\approx 0}$$

この方程式は、フィールドに沿った部分と垂直な部分に分解できます。 $${\displaystyle \mathbf {E} _{\parallel }{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\parallel }}}+(\mathbf {E} _{\perp }+\mathbf {v} \times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}$$

次のステップは と書くことです。ここで ${\displaystyle \mathbf {v} =\mathbf {v} _{0}+\Delta \mathbf {v} }$$${\displaystyle \mathbf {v} _{0}\times \mathbf {B} =-\mathbf {E} _{\perp }}$$

なぜこのようなことが行われるのかはすぐに明らかになります。この置換により、 $${\displaystyle \mathbf {E} _{\parallel }{\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\parallel }}}+(\Delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}$$

平行電界が小さい場合、 $${\displaystyle (\Delta \mathbf {v} _{\perp }\times \mathbf {B} )\cdot {\frac {\partial f}{\partial \mathbf {v} _{\perp }}}\approx 0}$$

この式は分布がジャイロトロピックであることを意味している。^[7]ジャイロトロピック分布の平均速度はゼロである。したがって、は平均速度uと同一であり、 ${\displaystyle \mathbf {v} _{0}}$$${\displaystyle \mathbf {E} +\mathbf {u} \times \mathbf {B} \approx 0}$$

要約すると、ジャイロ周期とジャイロ半径は、分布関数に大きな変化を与える典型的な時間と長さよりもはるかに小さくなければなりません。ジャイロ半径は、V を熱速度またはアルヴェン速度に置き換えることによって推定されることがよくあります。後者の場合、R は慣性長と呼ばれることがよくあります。凍結条件は、各粒子種ごとに個別に評価する必要があります。電子のジャイロ周期とジャイロ半径はイオンよりもはるかに小さいため、凍結条件が満たされる可能性が高くなります。

• フォッカー・プランク方程式

• Vlasov, AA (1961). 「多粒子理論とプラズマへのその応用」.ニューヨーク. Bibcode :1961temc.book.....V.