プルバックバンドル

数学において、プルバックバンドルまたは誘導バンドル^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}とは、その基底空間の写像によって誘導されるファイバーバンドルのことである 。ファイバーバンドルが与えられた場合、${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$そして連続した地図${\displaystyle f:B'\rightarrow B}$ 「引き戻し」を定義することができる${\displaystyle E}$による${\displaystyle f}$バンドルとして${\displaystyle f^{*}E}$以上${\displaystyle B'}$繊維${\displaystyle f^{*}E}$ある地点を超えて${\displaystyle b'}$で${\displaystyle B'}$繊維は${\displaystyle E}$以上${\displaystyle f(b')}$。 したがって${\displaystyle f^{*}E}$は、適切なトポロジーを備えた、これらすべてのファイバーの非交和である。

させて${\displaystyle \pi :E\rightarrow B}$抽象的な繊維を持つ繊維束である${\displaystyle F}$そして${\displaystyle f:B'\rightarrow B}$連続写像とする。引き戻し束を次のように 定義する。$${\displaystyle f^{*}E=\{(b',e)\in B'\times E\mid f(b')=\pi (e)\}\subseteq B'\times E}$$

そして、それに部分空間トポロジーと投影マップを装備する${\displaystyle \pi ':f^{*}E\rightarrow B'}$最初の因子への射影によって与えられる、すなわち、 $${\displaystyle \pi '(b',e)=b'.\,}$$

第二因子への投影は地図を与える $${\displaystyle h\colon f^{*}E\to E}$$

以下の図式が可換となるように： $${\displaystyle {\begin{array}{ccc}f^{\ast }E&{\stackrel {h}{\longrightarrow }}&E\\{\pi }'\downarrow &&\downarrow \pi \\B'&{\stackrel {f}{\longrightarrow }}&B\end{array}}}$$

もし${\displaystyle (U,\varphi )}$は、​${\displaystyle E}$それから${\displaystyle (f^{-1}U,\psi )}$は、${\displaystyle f^{*}E}$どこ $${\displaystyle \psi (b',e)=(b',{\mbox{proj}}_{2}(\varphi (e))).\,}$$

したがって、${\displaystyle f^{*}E}$ファイバーバンドルは${\displaystyle B'}$ファイバー付き${\displaystyle F}$バンドル${\displaystyle f^{*}E}$これは、 fによるEの引き戻し、またはfによって誘導される束と呼ばれます。${\displaystyle h}$束射は​${\displaystyle f}$。

どのセクションでも${\displaystyle s}$の${\displaystyle E}$以上${\displaystyle B}$セクションを誘発する${\displaystyle f^{*}E}$以上${\displaystyle B'}$プルバックセクションと呼ばれる${\displaystyle f^{*}s}$定義するだけで

${\displaystyle f^{*}s(b'):=(b',s(f(b')))}$すべての人々のために${\displaystyle b'\in B'}$。

バンドルが${\displaystyle E\rightarrow B}$構造グループを持つ${\displaystyle G}$遷移関数付き$t_ij$（局所的自明化の族に関して）${\displaystyle \{(U_{i},\varphi _{i})\}}$）その後プルバックバンドル${\displaystyle f^{*}E}$構造グループも持つ${\displaystyle G}$遷移関数は${\displaystyle f^{*}E}$は

$${\displaystyle f^{*}t_{ij}=t_{ij}\circ f.}$$

もし${\displaystyle E\rightarrow B}$ベクトルバンドルまたは主バンドルであれば、プルバックもそうである。${\displaystyle f^{*}E}$主たる束の場合、正しい行動は${\displaystyle G}$の上${\displaystyle f^{*}E}$は

$${\displaystyle (x,e)\cdot g=(x,e\cdot g)}$$

したがって、地図は${\displaystyle h}$カバー${\displaystyle f}$は同変であるため、主束の射を定義する。

圏論の言葉で言えば、引き戻し束構成は、より一般的な圏論的引き戻しの例である。したがって、それは対応する普遍性を満たす。

引き戻し束の構成は、位相空間の圏の部分圏、例えば滑らかな多様体の圏において行うことができる。後者の構成は、微分幾何学や位相幾何学において有用である。

束は、その断面の層によっても記述できます。束の引き戻しは、層の逆像に対応し、これは反変関手です。しかし、層は、層の直接像と呼ばれるプッシュフォワードを持つため、より自然に共変オブジェクトです。束と層、または逆像と直接像の間の緊張と相互作用は、幾何学の多くの分野で有利になることがあります。ただし、束の断面の層の直接像は一般に、ある直接像束の断面の層ではないため、「束のプッシュフォワード」の概念はいくつかの文脈（たとえば、微分同相写像によるプッシュフォワード）で定義されますが、一般に、それが作成するオブジェクトは一般に束にはなり得ないため、層のカテゴリで理解する方が適切です。

• スティーンロッド、ノーマン（1999）[1951]。ファイバー束のトポロジー。プリンストン：プリンストン大学出版局。ISBN 9780691005485。
• ヒューゼモラー、デール（ 1994）。ファイバーバンドル。大学院数学テキスト。第 20巻（第3 版）。ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク。ISBN 978-0-387-94087-8。
• ローソン、H.ブレイン；ミケルソン、マリー＝ルイーズ（ 1989）。スピン幾何学。プリンストン大学出版局。ISBN 978-0-691-08542-5。

• Sharpe, RW (1997).微分幾何学：カルタンによるクラインのエルランゲン・プログラムの一般化. 大学院数学テキスト 第 166巻. ニューヨーク：シュプリンガー・フェルラーク. ISBN 0-387-94732-9。