ベクトル束

数学において、ベクトル束は、別の空間(たとえば、位相空間、多様体、代数多様体)によってパラメータ化されたベクトル空間の族の概念を明確にする位相構成です。空間のすべての点にベクトル空間を関連付け (または「添付」) して、これらのベクトル空間が互いに適合して と同じ種類の別の空間 (たとえば、位相空間、多様体、代数多様体 ) を形成するようにします。これを上のベクトル束と呼びます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V(x)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

最も単純な例は、ベクトル空間の族が定数である場合、つまり、 のすべての に対して となる固定されたベクトル空間が存在する場合です。この場合、の各 に対してのコピーが存在し、これらのコピーは一緒になって上のベクトル束を形成します。このようなベクトル束は自明であると言われています。より複雑な（そして典型的な）例として、滑らかな（または微分可能な）多様体の接束があります。このような多様体のすべての点に、その点における多様体に接空間を接続できます。接束は、一般に自明な束ではありません。たとえば、球面の接束は、毛球定理により自明ではありません。一般に、多様体は、その接束が自明である場合に限り、 平行化可能であると言われています。${\displaystyle V}$${\displaystyle V(x)=V}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle V}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times V}$${\displaystyle X}$

ベクトル束はほとんどの場合、局所的に自明であることが求められます。つまり、ベクトル束はファイバー束の例です。また、ベクトル空間は通常、実数または複素数上にあることが求められます。この場合、ベクトル束はそれぞれ実ベクトル束または複素ベクトル束と呼ばれます。複素ベクトル束は、追加の構造を持つ実ベクトル束と見なすことができます。以下では、位相空間のカテゴリにおける実ベクトル束に焦点を当てます。

実ベクトル束は次の要素から構成されます。

1. 位相空間（基底空間）と（全空間）${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$
2. 連続 射影（バンドル 射影）${\displaystyle \pi :E\to X}$
3. の任意のに対して、ファイバー上の有限次元実ベクトル空間の構造${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$

ここで、次の適合条件が満たされる：内の任意の点に対して、の開近傍、自然数、同相写像が存在する。${\displaystyle p}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \varphi \colon U\times \mathbb {R} ^{k}\to \pi ^{-1}(U)}$

となるため、 のすべてのに対して、 ${\displaystyle x}$${\displaystyle U}$

• ${\displaystyle (\pi \circ \varphi )(x,v)=x}$のすべてのベクトル に対して、そして${\displaystyle v}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$
• この写像はベクトル空間と間の線型同型 である。${\displaystyle v\mapsto \varphi (x,v)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$

同相写像と開近傍を合わせて、ベクトル束の局所的自明化と呼びます。局所的自明化は、局所的には写像がの への射影に「似ている」ことを示します。 ${\displaystyle U}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle \pi}$${\displaystyle U\times \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle U}$

すべてのファイバーは有限次元の実ベクトル空間であるため、次元を持ちます。局所的自明化により、関数は局所的に一定であり、したがって の各連結成分上で一定であることが示されます。が のすべてで定数に等しい場合、 はベクトル束の階数と呼ばれ、階数 のベクトル束であると言われます。多くの場合、ベクトル束の定義には、階数が明確に定義されていることが含まれるため、 は一定です。階数 1 のベクトル束は線束 と呼ばれ、階数 2 のベクトル束は平面束と呼ばれることがあまりありません。 ${\displaystyle \pi ^{-1}(\{x\})}$ ${\displaystyle k_{x}}$ ${\displaystyle x\to k_{x}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k_{x}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle E}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k_{x}}$

射影を備えたデカルト積は 、上のランクの自明なバンドルと呼ばれます。 ${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{k}}$${\displaystyle X\times \mathbb {R} ^{k}\to X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$

階数のベクトル束と、その束が次のように自明となる近傍のペアと が与えられる。${\displaystyle E\to X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\varphi _{U}\colon U\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(U) ,\\\varphi _{V}\colon V\times \mathbb {R} ^{k}&\mathrel {\xrightarrow {\cong } } \pi ^{-1}(V)\end{整列}}}$

複合関数

${\displaystyle \varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}\colon (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}\to (U\cap V)\times \mathbb {R} ^{k}}$

重なり合う部分で明確に定義され、

${\displaystyle \varphi _{U}^{-1}\circ \varphi _{V}(x,v)=\left(x,g_{UV}(x)v\right)}$

ある-値関数 に対して${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$

${\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (k).}$

これらはベクトル束の 遷移関数（または座標変換）と呼ばれます。

遷移関数の集合は、次の意味で チェフコサイクルを形成する。

${\displaystyle g_{UU}(x)=I,\quad g_{UV}(x)g_{VW}(x)g_{WU}(x)=I}$

に対して、バンドルは を満たして を自明化します。したがって、 データはファイバーバンドルを定義します。 の追加データは、ファイバーへの作用が の標準作用である構造グループを指定します。 ${\displaystyle U,V,W}$${\displaystyle U\cap V\cap W\neq \emptyset }$${\displaystyle (E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})}$${\displaystyle g_{UV}}$${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$

逆に、ファイバー上に標準的な方法で作用するコサイクルを持つファイバー束が与えられた場合、ベクトル束が関連付けられます。これは、ベクトル束のファイバー束構成定理の例であり、ベクトル束の別の定義として考えることができます。 ${\displaystyle (E,X,\pi ,\mathbb {R} ^{k})}$${\displaystyle {\text{GL}}(k)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{k}}$

ベクトル束を構成する簡単な方法の 1 つは、他のベクトル束の部分束を取ることです。位相空間上のベクトル束が与えられた場合、部分束は単に をに制限することでベクトル束の構造も与えられる部分空間です。この場合、ファイバーは任意のに対してベクトル部分空間です。 ${\displaystyle \pi :E\to X}$ ${\displaystyle F\subset E}$ ${\displaystyle \left.\pi \right|_{F}}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle F}$${\displaystyle \left.\pi \right|_{F}:F\to X}$${\displaystyle F_{x}\subset E_{x}}$${\displaystyle x\in X}$

自明なバンドルの部分バンドルは自明である必要はなく、実際、コンパクト空間上のすべての実ベクトルバンドルは、十分に高いランクの自明なバンドルの部分バンドルとして見ることができます。たとえば、円上の非自明な直線バンドルであるメビウスの帯は、円上の自明なランク 2 バンドルの部分バンドルとして見ることができます。

ベクトル束π ₁ : E ₁ → X ₁からベクトル束π ₂ : E ₂ → X ₂への射は、連続写像f : E ₁ → E ₂とg : X ₁ → X ₂のペアで与えられ、

g  ∘  π ₁ = π ₂  ∘  f

X ₁の任意のxに対して、 fによって誘導される写像π ₁ ⁻¹ ({ x }) → π ₂ ⁻¹ ({ g ( x )})はベクトル空間間の線型写像である。

g はfによって決定されることに注意してください( π _{1 は}全射であるため)。また、f はg をカバーすると言われます。

すべてのベクトル束のクラスは束射とともにカテゴリを形成します。空間が多様体である（そして束射影が滑らかな写像である）ベクトル束と滑らかな束射に制限すると、滑らかなベクトル束のカテゴリが得られます。ベクトル束射は、ファイバー束間の束写像の概念の特殊なケースであり、（ベクトル）束準同型と呼ばれることもあります。

E _1からE ₂へのバンドル準同型で、その逆もまたバンドル準同型 ( E _2からE ₁へ) である場合は、 (ベクトル) バンドル同型と呼ばれ、E ₁とE _2は同型ベクトルバンドルであるといわれます。X上の(ランクk の) ベクトルバンドルEと ( X上のランクkの) 自明バンドルとの同型はEの自明化と呼ばれ、Eは自明(または自明化可能)であるといわれます。ベクトルバンドルの定義は、任意のベクトルバンドルが局所的に自明 であることを示しています。

固定された基底空間X上のすべてのベクトル束のカテゴリも考えることができます。このカテゴリの射として、基底空間への写像がX上の恒等写像であるベクトル束の射を取ります。つまり、次の図が可換となる束の射です。

(このカテゴリはアーベル的ではない ことに注意してください。ベクトル束の射の 核は、一般に自然な意味でベクトル束ではありません。)

X ₁からX ₂への写像gを覆うベクトル束π ₁ : E ₁ → X ₁とπ ₂ : E ₂ → X _{2の間のベクトル束射は、} E ₁から引き戻し束g * E ₂へのX ₁上のベクトル束射としても見ることができます。

ベクトル束π : E → XとXの開集合Uが与えられたとき、U上のπの切断、つまり連続関数s : U → Eを考えることができます。ここで合成π  ∘  sは、 U内のすべてのuに対して( π ∘ s )( u ) = uとなるようなものとなります。本質的に、切断はUのすべての点に、付属のベクトル空間からのベクトルを連続的に割り当てます。例えば、微分多様体の接束の切断は、その多様体上のベクトル場以外の何物でもありません。

F ( U ) をU上のすべての切断の集合とする。F ( U ) には必ず少なくとも 1 つの要素、つまり零切断、つまりUのすべての要素xをベクトル空間π ⁻¹ ({ x })の零要素に写像する関数s が含まれる。切断の各点の加算とスカラー乗算により、F ( U ) 自体が実ベクトル空間になる。これらのベクトル空間の集合は、X上のベクトル空間の層である。

s がF ( U )の元であり、 α: U → Rが連続写像である場合、 α s (点ごとのスカラー乗算) はF ( U ) にあります。F ( U ) はU上の連続実数値関数の環上の加群であることがわかります。 さらに、 O _{X が}X上の連続実数値関数の構造層を表す場合、F はO _X加群の層になります。

_{O X}加群のすべての層がベクトル束からこのように生じるわけではありません。局所的に自由なものだけがそうなります。(理由: 局所的には射影U × R ^k → Uのセクションを探しています。これらはまさに連続関数U → R ^kであり、そのような関数は連続関数U → Rのk組です。)

さらに、X上の実ベクトル束のカテゴリは、O _X加群の局所自由かつ有限生成層のカテゴリと同等です。

したがって、 X上の実ベクトル束のカテゴリは、O _X加群の層のカテゴリ内に位置すると考えることができます。この後者のカテゴリはアーベルなので、ここでベクトル束の射の核と余核を計算できます。

ランクn のベクトル束は、 n 個の線形独立なグローバルセクションを持つ場合にのみ自明です。

ベクトル空間に対するほとんどの演算は、ベクトル空間演算をファイバー単位で実行することによってベクトル束に拡張できます。

たとえば、E がX上のベクトル束である場合、 X上の束E*が存在し、これは双対束と呼ばれ、 x ∈ Xにおけるファイバーは双対ベクトル空間( E _x )*です。正式には、 E* は( x、 φ )のペアの集合として定義できます。ここで、 x ∈ Xおよび φ ∈ ( E _x )* です。Eの局所自明化の逆の双対空間はE*の局所自明化であるため、双対束は局所自明です。ここで重要な点は、双対ベクトル空間を取る操作が関数的であるということです。

ベクトル空間のペア（同じ体上）に対して実行できる関数演算は多数あり、これらはX上のベクトル束E、Fのペア（与えられた体上）に直接拡張されます。次にいくつかの例を示します。

• ホイットニー和（ハスラー・ホイットニーにちなんで名付けられた）またはEとFの直和バンドルは、X上のベクトルバンドルE ⊕ Fであり、そのx上のファイバーはベクトル空間E _xとF _xの直和E _x ⊕ F _xです。
• テンソル積バンドル E ⊗ F は、ベクトル空間のファイバーごとのテンソル積を使用して同様の方法で定義されます。
• Hom束Hom( E , F ) は、 xにおけるファイバーがE _xからF _xへの線型写像の空間であるベクトル束です(これは、多くの場合、 Hom( E _x , F _x ) またはL ( E _x , F _x ) と表記されます)。Hom 束は、 EからFへのX上のベクトル束準同型と、 Hom( E , F )のX上の切断との間に一対一の関係があるため、このように呼ばれています (また、便利です) 。
• 前の例を基に、自己準同型バンドル Hom( E , E )のセクションsと関数f : X → Rが与えられている場合、点x ∈ X上のファイバーを線型マップs ( x ): E _x → E _xのf ( x )-固有空間とすることで、固有バンドルを構築できます。この構築は自然ですが、注意しないと、結果として得られるオブジェクトはローカルな自明化を持ちません。s が零セクションであり、f が孤立した零点を持つ場合を考えます。結果として得られる「固有バンドル」内のこれらの零点上のファイバーは、 E内の零点上のファイバーと同型になりますが、他のすべての場所ではファイバーは自明な 0 次元ベクトル空間です。
• 双対ベクトル束 E* は、 Eの束準同型と自明束R × XのHom 束 Hom( E , R × X ) です。標準ベクトル束同型 Hom( E , F ) = E* ⊗ Fが存在します。

これらの演算はそれぞれ、バンドルの一般的な特徴の特定の例です。つまり、ベクトル空間のカテゴリで実行できる多くの演算は、関数的な方法でベクトルバンドルのカテゴリでも実行できます。これは、滑らかなファンクタという言語で明確に表現されます。異なる性質の演算は、プルバックバンドルの構築です。ベクトルバンドルE → Yと連続マップf : X → Yを考えると、 EをX上のベクトルバンドルf*Eに「引き戻す」ことができます。点x ∈ X上のファイバーは、本質的にf ( x ) ∈ Y上のファイバーです。したがって、E ⊕ F のホイットニー和は、 X × X上のバンドルが E × F である、X から X  ×  Xへの対角マップのプルバックバンドルとして定義できます。

注意: X をコンパクト空間とする。X上の任意のベクトル束E は、自明な束の直和である。つまり、E ⊕ E 'が自明であるような束E 'が存在する。Xがコンパクトでない場合はこの条件は成立しない。たとえば、無限実射影空間上の同語直線束はこの性質を持たない。^[1]

ベクトル束には、しばしばさらなる構造が与えられる。例えば、ベクトル束にはベクトル束計量が備えられる。通常、この計量は正定値であることが要求され、その場合、Eの各ファイバーはユークリッド空間になる。複素構造を持つベクトル束は複素ベクトル束に対応し、これは定義内の実ベクトル空間を複素ベクトル空間に置き換え、すべての写像がファイバー内で複素線型であることを要求することによっても得られる。より一般的には、ベクトル束に課せられる追加の構造は、通常、束 の構造群の結果として生じる縮小によって理解できる。より一般的な位相体上のベクトル束も使用できる。

有限次元ベクトル空間の代わりに、ファイバーFをバナッハ空間とすると、バナッハ束が得られる。^[2]具体的には、局所自明化が各ファイバー上のバナッハ空間同型（単なる線型同型ではなく）であること、さらに、遷移が

${\displaystyle g_{UV}\colon U\cap V\to \operatorname {GL} (F)}$

はバナッハ多様体の連続写像である。C ^pバンドルの対応する理論では、すべての写像が C ^pであることが要求される。

ベクトル束は、その繊維がベクトル空間であり、そのコサイクルがベクトル空間構造を尊重する特殊な繊維束です。繊維が他の構造を持つことができるより一般的な繊維束を構築することもできます。たとえば、球束は球によって繊維化されます。

ベクトル束 ( E , p , M )は、EとMが滑らかな多様体で、 p: E → Mが滑らかな写像であり、局所的自明化が微分同相写像である場合に滑らかです。必要な滑らかさの度合いに応じて、 C ^p束、無限微分可能C ^∞束、実解析的C ^ω束という、対応するさまざまな概念があります。このセクションでは、 C ^∞束に焦点を当てます。 C ^∞ベクトル束の最も重要な例は、 C ^∞多様体Mの接線束( TM、π _TM、M ) です。

滑らかなベクトル束は、上で述べたように、自明化チャートUとVの重なりにおける滑らかな関数である遷移関数を許容するという事実によって特徴付けられる。つまり、ベクトル束Eが滑らかであるとは、任意の 2 つのそのような集合UとVに対して、遷移関数

${\displaystyle g_{UV}:U\cap V\to \operatorname {GL} (k,\mathbb {R} )}$

は、リー群である行列群GL(k, R )への滑らかな関数です。

同様に、遷移関数が次の場合:

• C ^rの場合、ベクトル束はC ^rベクトル束であり、
• 実解析的であれば、ベクトル束は実解析的ベクトル束である（これは行列群が実解析的構造を持つことを要求する）。
• 正則であればベクトル束は正則ベクトル束である（これは行列群が複素リー群であることを必要とする）。
• 代数関数の場合、ベクトル束は代数ベクトル束です（これには行列群が代数群である必要があります）。

C ^∞ベクトル束 ( E , p , M ) は、より一般的なC ^∞ファイバー束にはない非常に重要な性質を持っています。つまり、任意の v ∈ E x における接空間T v ( E x ₎は_、ファイバーE _x自体と自然に同一視できます。_この同一視は、次のように定義される垂直リフトvl _v : E _x → T _v ( E _x ) を通じて得られます。

${\displaystyle \operatorname {vl} _{v}w[f]:=\left.{\frac {d}{dt}}\right|_{t=0}f(v+tw),\quad f\in C^{\infty }(E_{x}).}$

垂直リフトは、自然なC ^∞ベクトル束同型p*E → VEと見ることもできます。ここで、 ( p*E , p*p , E ) は、 p : E → Mを介したE上の( E , p , M )の引き戻し束であり、VE  := Ker( p _* ) ⊂ TEは、垂直接線束、つまり全空間Eの接線束 ( TE , π _TE , E )の自然なベクトル部分束です。

任意の滑らかなベクトル束の全空間E は、正準ベクトル場として知られる自然なベクトル場V _v  := vl _v vを持ちます。より正式には、V は( TE , π _TE , E )の滑らかなセクションであり、繊維方向のスカラー乗算によって与えられるリー群作用の無限小生成元として定義することもできます。正準ベクトル場V は、次のように滑らかなベクトル束構造を完全に特徴付けます。準備として、Xが滑らかな多様体M上の滑らかなベクトル場であり、x ∈ MでX _x = 0の場合、線形写像 ${\displaystyle (t,v)\mapsto e^{tv}}$

${\displaystyle C_{x}(X):T_{x}M\to T_{x}M;\quad C_{x}(X)Y=(\nabla _{Y}X)_{x}}$

は、M上の共変線型微分∇の選択に依存しない。E上の標準ベクトル場V は、公理

1. Vの流れ ( t , v ) → Φ ^t _V ( v )はグローバルに定義されます。
2. 各v∈Vに対して、唯一の限界t → _∞ΦtV ( ^v ₎ ∈Vが存在します。
3. V _v = 0 のときは常にC _v ( V )∘ C _v ( V ) = C _v ( V ) です。
4. Vの零点集合はEの滑らかな部分多様体であり、その余次元はC _v ( V )の階数に等しい。

逆に、E が任意の滑らかな多様体であり、V が1 – 4 を満たすE上の滑らかなベクトル場である場合、 E上にはV を正準ベクトル場とする一意のベクトル束構造が存在します。

任意の滑らかなベクトル束 ( E , p , M )に対して、その接束 ( TE , π _TE , E )の全空間TEは、自然な二次ベクトル束構造( TE , p _* , TM ) を持ちます。ここで、p _{* は}、標準射影p : E → Mのプッシュフォワードです。この二次ベクトル束構造におけるベクトル束演算は、元の加算 +: E × E → E のプッシュフォワード+ * _: T ( E × E ) → TEと λ _* : TE → TEと、スカラー乗算 λ: E → Eです。

コンパクトハウスドルフ位相空間のK 理論群K ( X )は、位相 K 理論において正確なシーケンスが存在するときはいつでも、という 関係 を法として複素ベクトル束の同型類[ E ]によって生成されるアーベル群として定義されます。KO理論は、実ベクトル束を考慮したこの構成のバージョンです。コンパクトなサポートを持つ K 理論や、より高次の K 理論群も定義できます。 $${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0,}$$$${\displaystyle [B]=[A]+[C]}$$

ラウル・ボットの有名な周期性定理は、任意の空間Xの K 理論は、 Xの二重サスペンションであるS ² Xの K 理論と同型であると主張しています。

代数幾何学では、スキームX上の連接層からなる K 理論群と、上記の同値関係を持つスキーム上のベクトル束の K 理論群を考慮します。基礎となるスキームが滑らかであれば、2 つの構成は同じです。

• グラスマン多様体：ベクトル束の空間を分類する。その中には直線束の射影空間が含まれる。
• 特性クラス
• 分割原理
• 安定したバンドル

• 接続: ベ​​クトル束の切断を微分するために必要な概念。
• ゲージ理論: ベクトル束と主束上の接続とそれらの物理学との関係についての一般的な研究。

• 代数的ベクトル束
• ピカードグループ
• 正則ベクトル束

• 「ベクトル束」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• ベクトル束を研究することはなぜ役に立つのか？
• 空間のベクトル束を分類することがなぜ有用なのでしょうか?