二次ベクトル束構造

数学、特に微分位相幾何学において、二次ベクトル束構造とは、元の射影写像p $: E \to$ $M$ の押し出し $p$ $*$ $:$ $TE$ $\to$ $TM$ によって誘導される、滑らかなベクトル束 $($ $E$ $,$ $p$ $,$ $M$ $)$ の接束の全空間 TE 上 $の$ 自然なベクトル束構造( TE $,$ $p$ $*$ $,$ $TM$ $)を指します。$ $これにより$ $、$ 二重ベクトル束構造 $($ $TE$ $,$ $E$ $,$ $TM$ $,$ $M$ $)$ $が$ 生じます。

$TE$ $=$ $TTM$ が二重接線束である特殊な場合 $(E, p, M) = (TM, π TM, M)$ では、二次ベクトル束 $($ $TTM$ $, ($ $π$ $TM$ $)$ $*$ $,$ $TM$ $)は、$ 標準フリップを通じて $TM$ の接線束 $($ $TTM$ $,$ $π$ $TTM$ $,$ $TM$ $)$ と同型です。

二次ベクトル束構造の構築

$(E, p, M)$ $を階数$ $N$ の滑らかなベクトル束とする。このとき、正準射影 $p$ $:$ $E$ $\to$ $M$ の押し込み $p$ $*$ $:$ $TE$ $\to$ $TMにおける$ $TM$ 内の任意の接ベクトル $X$ $の$ $逆像( p *$ $) -1 ( X ) \subset TE は次元 2 N$ $の$ $滑らか$ $な$ $部分$ $多様$ 体 $と$ $なり$ 、押し込み

+_{*}:T(E\times E)\to TE,\qquad \lambda _{*}:TE\to TE

元の加算とスカラー乗算の

+:E\times E\to E,\qquad \lambda :E\to E

ベクトル空間演算として。三つ組 $(TE, p *, TM)$ は、そのファイバー上でこれらのベクトル空間演算が行われる滑らかなベクトル束になります。

証拠

$(U, φ)を基本多様体$ $M$ 上の局所座標系とし、 $φ (x) = (x 1, ..., x n)$ とし、

{\begin{cases}\psi :W\to \varphi (U)\times \mathbf {R} ^{N}\\\psi \left(v^{k}e_{k}|_{x}\right):=\left(x^{1},\ldots ,x^{n},v^{1},\ldots ,v^{N}\right)\end{cases}}

それに適応した座標系である。 $W:=p^{-1}(U)\サブセット E$

p_{*}\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{p(v)},

$したがって、 T$ $x$ $M$ の $X$ における二次ベクトル束構造のファイバーは、次の形式となる。

p_{*}^{-1}(X)=\left\{X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\ :\ v\in E_{x};Y^{1},\ldots ,Y^{N}\in \mathbf {R} \right\}.

今では

\chi \left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)=\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{p(v)},\left(v^{1},\ldots ,v^{N},Y^{1},\ldots ,Y^{N}\right)\right)

$は、 ($ $TE$ $,$ $p$ $*$ $,$ $TM$ $)$ に対して局所自明化 $χ : TW \to TU \times R 2 N$ を与え、適応された座標で読み取られた元のベクトル空間演算のプッシュフォワードは、

\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)+_{*}\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{w}+Z^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{w}\right)=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v+w}+(Y^{\ell }+Z^{\ell }){\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v+w}

そして

\lambda _{*}\left(X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{v}+Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{v}\right)=X^{k}{\frac {\partial }{\partial x^{k}}}{\Bigg |}_{\lambda v}+\lambda Y^{\ell }{\frac {\partial }{\partial v^{\ell }}}{\Bigg |}_{\lambda v},

したがって、各ファイバー $(p *) -1 (X) \subset TE$ はベクトル空間であり、3つ組 $(TE 、 p * 、 TM)$ は滑らかなベクトル束です。

ベクトル束上の接続の線形性

ベクトル束 $($ $E$ $,$ $p$ $,$ $M$ $)$ 上の一般的なエーレスマン接続 $TE = HE \oplus VE は$ 、コネクタマップによって特徴付けられる。

{\begin{cases}\kappa :T_{v}E\to E_{p(v)}\\\kappa (X):=\operatorname {vl} _{v}^{-1}(\operatorname {vpr} X)\end{cases}}

ここで $vl v : E \to V v E$ は垂直揚力、 $vpr v : T v E \to V v Eは$ 垂直投影です。マッピング

{\begin{cases}\nabla :\Gamma (TM)\times \Gamma (E)\to \Gamma (E)\\\nabla _{X}v:=\kappa (v_{*}X)\end{cases}}

エーレスマン接続によって誘導されるは、 $Γ($ $E$ $)$ の共変微分であり、

{\begin{aligned}\nabla _{X+Y}v&=\nabla _{X}v+\nabla _{Y}v\\\nabla _{\lambda X}v&=\lambda \nabla _ {X}v\\\nabla _{X}(v+w)&=\nabla _{X}v+\nabla _{X}w\\\nabla _{X}(\lambda v)&=\lambda \nabla _{X}v\\\nabla _{X}(fv)&=X[f]v+f\ナブラ _{X}v\end{整列}}

$コネクタマップがTE$ 上の二次ベクトルバンドル構造 $(TE 、 p * 、 TM)$ に関して線形である場合に限ります。このとき、接続は線形と呼ばれます。コネクタマップは接線バンドル構造 $($ $TE$ $、$ $π$ $TE$ $、$ $E$ $)$ に関して自動的に線形になることに注意してください。

参照

参考文献

P.Michor.微分幾何学の話題、アメリカ数学会 (2008)。