複素ベクトル束

数学において、複素ベクトル束は、その繊維が複素ベクトル空間であるベクトル束です。

任意の複素ベクトル束は、スカラーの制限により実ベクトル束とみなすことができます。逆に、任意の実ベクトル束Eは複素ベクトル束に昇格することができ、複素化

${\displaystyle E\otimes \mathbb {C} ;}$

そのファイバーはE _x ⊗ _R Cです。

パラコンパクト空間上の任意の複素ベクトル束は、エルミート計量を持つことができます。

複素ベクトル束の基本的な不変量はチャーン類である。複素ベクトル束は正準に配向されており、特にオイラー類を取ることができる。

Xが複素多様体であり、局所自明化が双正則である場合、 複素ベクトル束は正則ベクトル束になります。

複素ベクトル束は、複素構造という追加の構造を持つ実ベクトル束と考えることができます。定義により、複素構造は実ベクトル束Eとそれ自身と の間の束写像です。

${\displaystyle J:E\to E}$

J はファイバー上でiの −1 の平方根として作用します。がファイバーレベルの写像であれば、 は線型写像として作用します。E が複素ベクトル束であれば、複素構造J はを によるスカラー倍に設定することで定義できます。 逆に、E が複素構造Jを持つ実ベクトル束であれば、E をと設定することで複素ベクトル束に変換できます。 ファイバーE _x内の任意の実数a、b、および実ベクトルvに対して、 ${\displaystyle J_{x}:E_{x}\to E_{x}}$${\displaystyle J_{x}^{2}=-1}$${\displaystyle J_{x}}$${\displaystyle i}$

${\displaystyle (a+ib)v=av+J(bv).}$

例: 実多様体Mの接束上の複素構造は、通常、ほぼ複素構造と呼ばれます。ニューランダーとニーレンバーグの定理によれば、ほぼ複素構造Jは、 J を含む特定のテンソルがゼロになる場合にのみ、複素多様体の構造によって誘導されるという意味で「積分可能」です。

E が複素ベクトル束である場合、 Eの共役束は、 複素数をその数の複素共役を介して作用させることによって得られます。したがって、基礎となる実ベクトル束の恒等写像は共役線形であり、Eとその共役E は実ベクトル束として同型です。 ${\displaystyle {\overline {E}}}$${\displaystyle E_{\mathbb {R} }\to {\overline {E}}_{\mathbb {R} }=E_{\mathbb {R} }}$

のk番目のチャーン類は次のように与えられる 。${\displaystyle {\overline {E}}}$

${\displaystyle c_{k}({\overline {E}})=(-1)^{k}c_{k}(E)}$。

特に、EとE は一般に同型ではありません。

E がエルミート計量を持つ場合、共役バンドルE は計量を通じて双対バンドル に同型であり、ここでは自明な複素直線バンドルについて書きました。 ${\displaystyle E^{*}=\演算子名 {Hom} (E,{\mathcal {O}})}$${\displaystyle {\mathcal {O}}}$

Eが実ベクトル束である場合、 Eの複素化の基礎となる実ベクトル束は、 Eの 2 つのコピーの直和です。

${\displaystyle (E\otimes \mathbb {C} )_{\mathbb {R} }=E\oplus E}$

(任意の実ベクトル空間Vに対してV ⊗ _R C = V ⊕ i ‌ Vであるため) 複素ベクトル束E が実ベクトル束E 'の複素化である場合、E ' はEの実形式と呼ばれ(実形式は複数存在する場合がある)、E は実数上で定義されていると言われる。E が実形式を持つ場合、E はその共役と同型であり (どちらも実形式の 2 つのコピーの和であるため)、その結果、Eの奇チャーン類は位数 2 を持つ。

• 正則ベクトル束
• K理論

• ミルナー、ジョン・ウィラード、スタシェフ、ジェームズ・D. (1974)、「特性クラス」、数学研究年報、第76巻、プリンストン大学出版局、東京大学出版会、ISBN 978-0-691-08122-9