安定ベクトル束

数学において、安定ベクトル束は、幾何学的不変理論の意味で安定している（正則または代数的）ベクトル束である。任意の正則ベクトル束は、ハーダー・ナラシムハン濾過を使用して安定したベクトル束から構築することができる。安定束は、デイビッド・マンフォードによってマンフォード（1963）で定義され、後にデイビッド・ギーゼカー、フョードル・ボゴモロフ、トーマス・ブリッジランドなど多くの人々 によって構築された。

安定ベクトル束を解析する動機の 1 つは、族内でのその優れた動作です。実際、安定ベクトル束のモジュライ空間は多くの場合、Quot スキームを使用して構築できますが、ベクトル束のスタックは、基礎となる集合が単一の点である Artin スタックです。${\displaystyle \mathbf {B} GL_{n}}$

これは、退化が 不十分なベクトル束の族の例です。のオイラー列をテンソル化すると、正確な列が存在します。${\displaystyle \mathbb {P} ^{1}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}\oplus {\mathcal {O}}\to {\mathcal {O}}(1)\to 0 }$^[1]

これは非ゼロ元を表す^[2]。なぜなら、ベクトルを表す自明な完全列は${\displaystyle v\in {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {O}}(1),{\mathcal {O}}(-1))\cong k}$${\displaystyle 0}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-1)\to {\mathcal {O}}(-1)\oplus {\mathcal {O}}(1)\to {\mathcal {O} }(1)\to 0}$

からの拡大におけるベクトル束の族を考えると、短完全列が存在する。${\displaystyle E_{t}}$${\displaystyle t\cdot v}$${\displaystyle t\in \mathbb {A} ^{1}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}(-1)\to E_{t}\to {\mathcal {O}}(1)\to 0}$

これらは一般的にチャーン類 を持つが、原点では持つ。この種の数値不変量のジャンプは安定ベクトル束のモジュライ空間では起こらない。^[3]${\displaystyle c_{1}=0,c_{2}=0}$${\displaystyle c_{1}=0,c_{2}=-1}$

非特異代数曲線（またはリーマン面）上の正則ベクトル束Wの傾きは有理数μ(W) = deg( W )/rank( W ) である。束Wが安定であるためには、

${\displaystyle \mu (V)<\mu (W)}$

Wの任意の適切な非ゼロ部分束Vに対して 、そして半安定であるとき

${\displaystyle \mu (V)\leq \mu (W)}$

Wのすべての適切な非ゼロ部分バンドルVに対して。非公式には、バンドルが任意の適切な部分バンドルよりも「より豊富」である場合はバンドルは安定であり、「より豊富な」部分バンドルを含む場合は不安定であることを意味します。

WとV が半安定ベクトル束で、μ(W) > μ(V)の場合、 W → V の非ゼロ写像は存在しません。

マンフォードは、非特異曲線上の与えられた階数と次数の安定バンドルのモジュライ空間が準射影代数多様体であることを証明した。曲線上の安定ベクトルバンドルのモジュライ空間のコホモロジーについては、有限 体上の代数幾何学を用いてハーダーとナラシムハン（1975）が、ナラシムハン・セシャドリのアプローチを用いてアティヤとボット（1983）が記述した。

Xがm次元の滑らかな 射影多様体でHが超平面切断である場合、ベクトル束（または捩れのない層）Wは、次の式で安定（またはギーゼカー安定） と呼ばれる。

${\displaystyle {\frac {\chi (V(nH))}{{\hbox{rank}}(V)}}<{\frac {\chi (W(nH))}{{\hbox{rank}}(W)}}{\text{ for }}n{\text{ large}}}$

Wのすべての適切な非ゼロ部分束（または部分層）Vに対して、 χ は代数的ベクトル束のオイラー特性を表し、ベクトル束V(nH) はHによるVのn番目のねじれを意味します。< を ≤ に置き換えて上記が成り立つ場合、 W は半安定と呼ばれます。

曲線上の束の場合、傾きによって定義される安定性とヒルベルト多項式の成長によって定義される安定性は一致します。高次元では、これら 2 つの概念は異なり、異なる利点があります。ギーゼカー安定性は幾何学的不変理論の観点から解釈されますが、μ 安定性はテンソル積、プルバックなどに対して より優れた特性を持っています。

X をn次元の滑らかな 射影多様体とし、Hをその超平面断面とする。ベクトル束（または、より一般的には、ねじれのないコヒーレント層）EのHに関する傾きは、次のように定義される有理数である。

${\displaystyle \mu (E):={\frac {c_{1}(E)\cdot H^{n-1}}{\operatorname {rk} (E)}}}$

ここで、c _{1 は}最初のチャーン類です。Hへの依存性は表記から省略されることが多いです。

ねじれのないコヒーレント層E は、任意の非ゼロ部分層F ⊆ Eに対して傾きが不等式 μ(F) ≤ μ(E) を満たす場合、 μ 半安定です。さらに、より小さいランクの任意の非ゼロ部分層F ⊆ Eに対して厳密な不等式 μ(F) < μ(E) が成り立つ場合、 μ 安定です。この安定性の概念は、傾き安定性、μ 安定性、場合によっては Mumford 安定性、または Takemoto 安定性と呼ばれることがあります。

ベクトル束Eについては、次の一連の含意が成り立ちます: Eは μ 安定 ⇒ Eは安定 ⇒ Eは半安定 ⇒ Eは μ 半安定。

Eを滑らかな射影曲線X上のベクトル束とする。すると、部分束による 唯一のフィルタリングが存在する。

${\displaystyle 0=E_{0}\subset E_{1}\subset \ldots \subset E_{r+1}=E}$

関連する次数成分F _i  := E _{i +1} / E _iは半安定ベクトル束であり、傾きは減少し、μ( F _i ) > μ( F _{i +1} )となる。この濾過は Harder & Narasimhan (1975) で導入され、Harder-Narasimhan 濾過と呼ばれる。同型の関連する次数を持つ 2 つのベクトル束はS-等価と呼ばれる。

高次元多様体では、濾過も常に存在し、一意ですが、関連する次数付き成分はもはやバンドルではない可能性があります。ギーゼカー安定性のためには、傾き間の不等式をヒルベルト多項式間の不等式に置き換える必要があります。

ナラシムハン・セシャドリ定理によれば、射影非特異曲線上の安定バンドルは、射影平坦ユニタリ既約接続を持つ安定バンドルと同じになります。次数 0 のバンドルの場合、射影平坦接続は平坦であり、したがって次数 0 の安定バンドルは基本群の既約 ユニタリ表現に対応します。

小林とヒッチンは、高次元でこれと類似のことを予想した。これは、射影非特異面に対してドナルドソン (1985) によって証明され、この場合、ベクトル束が安定するのは、それが既約なエルミート-アインシュタイン接続を持つ場合のみであることが示された。

ヒルベルト多項式を使って、 (μ-)安定性を非滑らかな射影スキームやより一般的なコヒーレント層に一般化することができます。Xを射影スキーム、dを自然数、EをX上のdim Supp( E ) = dのコヒーレント層とします。Eのヒルベルト多項式をP _E ( m ) = Σと書きます。^d
_{i =0}α _i ( E )/( i !) m ⁱ。簡約ヒルベルト多項式 p _E  := P _E /α _d ( E )を定義します。

整合層Eは、次の2つの条件が満たされる場合、半安定である: ^[4]

• E はd次元純粋です。つまり、Eのすべての関連する素数はd次元を持ちます。
• 任意の適切な非ゼロ部分層F ⊆ Eに対して、被約ヒルベルト多項式は、大きなmに対してp _F ( m ) ≤ p _E ( m ) を満たします。

大きなmに対して厳密な不等式p _F ( m ) < p _E ( m ) が成り立つ場合、その層は安定していると呼ばれます。

Coh _d (X) を次元 ≤ dの台を持つX上の連接層の完全なサブカテゴリとします。Coh _dにおけるオブジェクトFの傾きは、α _d ( F ) ≠ 0 の場合にヒルベルト多項式の係数を使用して定義され、それ以外の場合は 0 になります。 dへの依存性は通常、表記から省略されます。 ${\displaystyle {\hat {\mu }}_{d}(F)=\alpha _{d-1}(F)/\alpha _{d}(F)}$${\displaystyle {\hat {\mu }}_{d}}$

次の2つの条件が満たされる場合、コヒーレント層Eはμ-半安定と呼ばれる: ^[5]${\displaystyle \operatorname {dim} \,\operatorname {Supp} (E)=d}$

• Eのねじれは次元 ≤ d -2 である。
• 商圏Coh _d (X)/Coh _d-1 (X)における任意の非ゼロ部分オブジェクトF ⊆ Eに対して、が成り立ちます。${\displaystyle {\hat {\mu }}(F)\leq {\hat {\mu }}(E)}$

Eのすべての適切な非ゼロ部分オブジェクトに対して厳密な不等式が成り立つ場合、Eはμ 安定です。

Coh _{d は}任意のdのセール部分圏であるため、商圏が存在することに注意してください。一般に商圏の部分対象は部分層から来ませんが、ねじれのない層の場合、元の定義とd = nの一般的な定義は同等です。

一般化には他にも方向性があり、例えばブリッジランドの安定条件などです。

安定なベクトル束と同様に、 安定な主束を定義することもできます。

• 小林・ヒッチン通信
• コーレット・シンプソン書簡
• 引用スキーム

• アティヤ、マイケル・フランシス、ボット、ラウル(1983)、「リーマン面上のヤン・ミルズ方程式」、ロンドン王立協会哲学論文集。シリーズ A。数学および物理科学、308 (1505): 523–615、doi :10.1098/rsta.1983.0017、ISSN  0080-4614、JSTOR  37156、MR  0702806
• ドナルドソン、SK (1985)、「複素代数面と安定ベクトル束上の反自己双対ヤン・ミルズ接続」、ロンドン数学会紀要、第3シリーズ、50 (1): 1–26、doi :10.1112/plms/s3-50.1.1、ISSN  0024-6115、MR  0765366
• フリードマン、ロバート（1998）、代数面と正則ベクトル束、Universitext、ベルリン、ニューヨーク：Springer-Verlag、ISBN 978-0-387-98361-5、MR  1600388
• Harder, G.; Narasimhan, MS (1975)、「曲線上のベクトル束のモジュライ空間のコホモロジー群について」、Mathematische Annalen、212 (3): 215–248、doi :10.1007/BF01357141、ISSN  0025-5831、MR  0364254
• ヒューブレヒト、ダニエル、レーン、マンフレッド（2010）、The Geometry of Moduli Spaces of Sheaves、ケンブリッジ数学図書館（第2版）、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0521134200
• マンフォード、デイヴィッド(1963)、「射影構造の射影不変量とその応用」、国際数学者会議会議録 (ストックホルム、1962)、Djursholm: ミッタク・レフラー研究所、pp. 526–530、MR  0175899
• David, マムフォード;フォガティ、J. Kirwan, F. (1994)、幾何不変理論、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (2) [数学および関連分野の結果 (2)]、vol. 34 (第 3 版)、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-56963-3、MR  1304906特に付録5C。
• Narasimhan, MS; Seshadri, CS (1965)、「コンパクトなリーマン面上の安定かつユニタリなベクトル束」、Annals of Mathematics、第 2 シリーズ、82 (3)、The Annals of Mathematics、Vol. 82、No. 3: 540–567、doi :10.2307/1970710、ISSN  0003-486X、JSTOR  1970710、MR  0184252