デュアルバンドル

数学において、双対バンドルは、ベクトル空間の双対性の演算を拡張したベクトルバンドル上の演算です。

ベクトル束の双対束とは、その繊維が の繊維に対する双対空間であるベクトル束です。 ${\displaystyle \pi :E\to X}$${\displaystyle \pi ^{*}:E^{*}\to X}$${\displaystyle E}$

同様に、はホムバンドル、つまりから自明直線バンドルへの射のベクトルバンドルとして定義できる。${\displaystyle E^{*}}$ ${\displaystyle \mathrm {Hom} (E,\mathbb {R} \times X),}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \mathbb {R} \times X\to X.}$

遷移関数によるの局所的自明化が与えられた場合、の局所的自明化は遷移関数による同じ開被覆によって与えられます(転置の逆)。次に、ファイバーバンドル構成定理を使用して、双対バンドルが構築されます。特別な場合として、 ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle t_{ij},}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle t_{ij}^{*}=(t_{ij}^{T})^{-1}}$${\displaystyle E^{*}}$

• 関連バンドルの双対バンドルは、構造群の双対表現に関連付けられたバンドルです。
• 微分可能多様体の接線バンドルの双対バンドルはその余接バンドルです。

基本空間がパラコンパクトかつハウスドルフである場合、実有限階数ベクトル束とその双対はベクトル束として同型です。ただし、ベクトル空間の場合と同様に、内積が備わらない限り、同型が自然に選択されることはありません。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle E}$

これは複素ベクトル束の場合には当てはまりません。たとえば、リーマン球面上の同語直線束は、その双対と同型ではありません。複素ベクトル束の双対は確かに共役束と同型ですが、エルミート積が備わらない限り、同型の選択は非標準です。 ${\displaystyle E^{*}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\overline {E}},}$${\displaystyle E}$

2つのベクトル束のHom束はテンソル積束と正準同型で ある${\displaystyle \mathrm {ホム} (E_{1},E_{2})}$ ${\displaystyle E_{1}^{*}\otimes E_{2}.}$

同じ空間上のベクトル束の射が与えられた場合、それらの双対束の間には（逆の順序で）射があり、各線型写像の転置としてファイバーごとに定義されます。したがって、双対束演算は、ベクトル束とその射のカテゴリからそれ自体への 反変関数を定義します。${\displaystyle f:E_{1}\to E_{2}}$${\displaystyle f^{*}:E_{2}^{*}\to E_{1}^{*}}$${\displaystyle f_{x}:(E_{1})_{x}\to (E_{2})_{x}.}$

• 今野宏 (2013).微分幾何学. 〈現代数学への入門〉。 東京: 東京大学出版会. ISBN 9784130629713。