滑らかな関数

微分位相幾何学という数学の一分野において、滑らかな関手とは、有限次元実ベクトル空間上で定義される関手の一種である。直感的に言えば、滑らかな関手とは、滑らかにパラメータ化されたベクトル空間の族を滑らかにパラメータ化されたベクトル空間の族に写像するという意味で滑らかな関手である。したがって、滑らかな関手は、ベクトル束上で定義される関手へと一意的に拡張することができる。

Vect を、射がすべての線形写像からなる有限次元実ベクトル空間の圏とし、F をVectをそれ自身に写像する共変関手とする。ベクトル空間T、U ∈ Vectに対して、関手Fは写像を誘導する。

${\displaystyle F:\mathrm {Hom} _{\mathbf {Vect} }(T,U)\rightarrow \mathrm {Hom} _{\mathbf {Vect} }(F(T),F(U)),}$

ここで Hom はHom ファンクターの表記です。この写像が無限微分可能多様体の写像として滑らかである場合、F は滑らかなファンクターであると言われます。^{[ 1 ]}

一般的な滑らかな関数には、あるベクトル空間Wに対して次のものが含まれる: ^{[ 2 ]}

F ( W )  =  ⊗ ⁿ W、n番目の反復テンソル積。

F ( W )  = Λn ( W ) 、n次外部べき乗^。 

F ( W )  =  Sym ⁿ ( W )、n次対称べき乗。

滑らかなファンクターは、任意の滑らかなファンクターを多様体上の微分可能なベクトル束にファイバーごとに適用できるため重要です。ファンクターの滑らかさは、束のパッチングデータが多様体の写像として滑らかであることを保証するために必要な条件です。^{[ 2 ]} 例えば、ベクトル空間のn次外部べき乗は滑らかなファンクターを定義するため、滑らかなベクトル束のn次外部べき乗も滑らかなベクトル束になります。

有限次元ベクトル束上の標準的な構成の滑らかさを証明する確立された方法があるが、滑らかな関手は、位相ベクトル空間の圏や無限次元フレシェ多様体上のベクトル束に一般化することができる。^{[ 3 ]}

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