一貫性のある束

数学、特に代数幾何学と複素多様体理論において、連接層は基礎となる空間の幾何学的特性と密接に関係する層の一種である。連接層の定義は、この幾何学的情報をコード化する環の層を参照して行われる。

連接層はベクトル束の一般化とみなすことができます。ベクトル束とは異なり、連接層はアーベル圏を形成するため、核、像、余核の取得などの操作に対して閉じています。 準連接層は連接層の一般化であり、無限階数の局所自由層を含みます。

コヒーレント層コホモロジーは、特に与えられたコヒーレント層の セクションを研究するための強力な手法です。

環空間上の準コヒーレント層は、局所表現を持つ-モジュールの層であり、つまり、 内の各点には、正確なシーケンスが存在する開近傍がある。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus I}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{\oplus J}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}\to 0}$

いくつかの（おそらく無限の）集合およびに対して。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle J}$

環空間上の連接層は、次の 2 つの性質を満たす -加群の層です。 ${\displaystyle (X,{\mathcal {O}}_{X})}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

1. ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$は上で有限型である、つまり 内の任意の点は内の開近傍を持ち、ある自然数 に対して全射が存在する。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$${\displaystyle n}$
2. 任意の開集合、任意の自然数、および- 加群の任意の射に対して、 の核は有限型です。${\displaystyle U\subseteq X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle \varphi :{\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {F}}|_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \varphi }$

(準)コヒーレント層間の射は、 - 加群の層の射と同じです。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

がスキームである場合、上記の一般的な定義はより明示的な定義と同等です。- モジュールの層が準コヒーレントであるための必要条件は、各開アフィン部分スキーム上で制限が上のモジュールに関連付けられた層と同型である場合です。 が局所ノイザンスキームである場合、がコヒーレントであるための必要条件は、それが準コヒーレントであり、上記のモジュールが有限生成と見なせる場合です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$ ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$ ${\displaystyle M=\Gamma (U,{\mathcal {F}})}$${\displaystyle A}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle M}$

アフィンスキーム では、 - モジュールから準連接層へのカテゴリの同値性があり、関連する層 にモジュールが取られます。逆の同値性では、のグローバルセクションの- モジュールに準連接層が取られます。 ${\displaystyle U=\operatorname {Spec} A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$

ここでは、スキーム上の準コヒーレント層のさらなる特徴付けをいくつか示します。^[1]

任意の環空間上では、準連接層は必ずしもアーベル圏を形成するわけではない。一方、任意のスキーム上の準連接層はアーベル圏を形成し、その文脈では非常に有用である。^[2]

任意の環付き空間 上で、連接層はアーベル圏、つまり- 加群の圏の完全なサブカテゴリーを形成します。^[3] (同様に、任意の環上の連接加群の圏は、すべての - 加群の圏の完全なアーベル圏です。) そのため、任意の連接層の写像の核、像、余核は連接です。2つの連接層の直和は連接です。より一般的には、 2 つの連接層の拡張である - 加群は連接です。^[4]${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

連接層の部分加群は、有限型であれば連接である。連接層は常に有限表現の -加群であり、これは内の各点が開近傍を持ち、へのの制限が、いくつかの自然数およびに対する射の余核に同型であることを意味する。 が連接である場合、逆に、 上の有限表現のすべての層は連接である。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}^{n}|_{U}\to {\mathcal {O}}_{X}^{m}|_{U}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

環の層は、それ自身の加群の層として考えたときに連接的であるとき、連接的と呼ばれる。特に、岡の連接定理は、複素解析空間上の正則関数の層は環の連接層であると述べている。証明の主要部分は、ケースである。同様に、局所ノイザンスキーム上では、構造層は環の連接層である。^[5]${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X=\mathbf {C} ^{n}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

• 環空間上の- 加群は、 内のすべての点が開近傍を持ち、その制限がのコピーの有限直和に同型である場合、局所的に有限ランク から自由である、またはベクトルバンドルと呼ばれます。内のすべての点の近くで が同じランクから自由である場合 、ベクトルバンドルはランク であると言われます。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U}$${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}|_{U}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle n}$

スキーム上のこの層論的な意味でのベクトル束は、より幾何学的な方法で定義されたベクトル束、すなわち、射を持ち、 上の与えられた同型を持つ開集合による の被覆を持つスキームとして定義されるベクトル束と同値であり、交差上の2つの同型は線型自己同型によって異なる。^[6]（同様の同値は複素解析空間についても成り立つ。）たとえば、この幾何学的な意味でのベクトル束が与えられた場合、対応する層は次のように定義される。の開集合上、- 加群は射 の切断の集合である。ベクトル束の層論的解釈には、ベクトル束（局所ノイザンスキーム上）が連接層のアーベル圏に含まれるという利点がある。${\displaystyle X}$${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi :E\to X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle \pi ^{-1}(U_{\alpha })\cong \mathbb {A} ^{n}\times U_{\alpha }}$${\displaystyle U_{\alpha }}$${\displaystyle U_{\alpha }\cap U_{\beta }}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle U}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(U)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}(U)}$${\displaystyle \pi ^{-1}(U)\to U}$

• 局所自由層には標準の-module 演算が装備されていますが、これらは局所自由層を返します。^[曖昧]${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$

• をネーター環とする。すると、 上のベクトル束は上の有限生成射影加群、または（同値として）上の有限生成平坦加群に関連付けられた層とまったく同じになる。^[7]${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$
• ネーター -次数環 をネーター環 上の射影スキームとします。すると、各-次数-加群 は上の準連接層 を決定します。この層は-加群に関連付けられた層であり、 は正の次数の の同次元であり、 は がゼロにならない軌跡です。${\displaystyle X=\operatorname {Proj} (R)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle \mathbb {Z} }$${\displaystyle R}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}|_{\{f\neq 0\}}}$${\displaystyle R[f^{-1}]_{0}}$${\displaystyle M[f^{-1}]_{0}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \{f\neq 0\}=\operatorname {Spec} R[f^{-1}]_{0}}$${\displaystyle f}$
• たとえば、各整数 に対して、によって与えられる次数付き - 加群を で表します。すると、それぞれ によって上の準コヒーレント層が決まります。が によって - 代数として生成される場合、 は上の直線束（可逆層）であり、 はの - 番目のテンソル冪です。特に、は射影 - 空間上のトートロジー直線束と呼ばれます。${\displaystyle n}$${\displaystyle R(n)}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R(n)_{l}=R_{n+l}}$${\displaystyle R(n)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R_{0}}$${\displaystyle R_{1}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(n)}$${\displaystyle n}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}(1)}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}(-1)}$${\displaystyle n}$
• ベクトル束ではない上の連接層の簡単な例は、次のシーケンスの余核によって与えられる。${\displaystyle \mathbb {P} ^{2}}$

${\displaystyle {\mathcal {O}}(1){\xrightarrow {\cdot (x^{2}-yz,y^{3}+xy^{2}-xyz)}}{\mathcal {O}}(3)\oplus {\mathcal {O}}(4)\to {\mathcal {E}}\to 0}$

これは、2 つの多項式の消失軌跡に制限すると 2 次元のファイバーを持ち、それ以外の場所では 1 次元のファイバーを持つためです。${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

• 理想層: が局所ノイザンスキームの閉じた部分スキームである場合、上で消えるすべての正則関数の層はコヒーレントです。同様に、が複素解析空間の閉じた解析部分空間である場合、理想層はコヒーレントです。${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {I}}_{Z/X}}$
• 局所ノイザンスキームの閉じた部分スキームの構造層は、 上の連接層として見ることができます。正確には、これは直接像層であり、 は包含です。複素解析空間の閉じた解析部分空間についても同様です。層は、開集合 内の点に次元 0 のファイバー (以下で定義) を持ち、 内の点に次元 1 のファイバーを持ちます。上には、連接層の短い正確なシーケンスが存在します。${\displaystyle {\mathcal {O}}_{Z}}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$${\displaystyle i:Z\to X}$${\displaystyle i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}}$${\displaystyle X-Z}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {I}}_{Z/X}\to {\mathcal {O}}_{X}\to i_{*}{\mathcal {O}}_{Z}\to 0.}$

• 線型代数のほとんどの演算は連接層を保存する。特に、連接層と環空間上の連接層の場合、テンソル積層と準同型層は連接である。^[8]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle {\mathcal {F}}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X}}{\mathcal {G}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {H}}om_{{\mathcal {O}}_{X}}({\mathcal {F}},{\mathcal {G}})}$
• 準整合層の単純な非例は、ゼロ関数による拡張によって与えられる。例えば、${\displaystyle i_{!}{\mathcal {O}}_{X}}$

${\displaystyle X=\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x,x^{-1}]){\xrightarrow {i}}\operatorname {Spec} (\mathbb {C} [x])=Y}$^[9]

この層は非自明な茎を持ちますが、大域セクションは 0 なので、これは準コヒーレント層にはなり得ません。これは、アフィン スキーム上の準コヒーレント層が基になるリング上のモジュールのカテゴリと同等であり、付加が大域セクションを取ることから生じるためです。

を環付き空間の射とする（例えば、スキーム の射）。 が上の準連立層である場合、逆像- 加群（またはプルバック）は上で準連立である。^[10]スキーム の射と上の連立層の場合、プルバックは完全な一般性において連立しない（例えば、は連立しない可能性がある）が、 が局所ノイザンである場合、連立層のプルバックは連立である。重要な特殊なケースはベクトルバンドルのプルバックであり、これはベクトルバンドルである。 ${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f:X\to Y}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle f^{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle f^{*}{\mathcal {O}}_{Y}={\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle X}$

がスキームの準コンパクト準分離射であり、が上の準連立層である場合、直接像層（またはプッシュフォワード）は上で準連立である。^[2]${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle f_{*}{\mathcal {F}}}$${\displaystyle Y}$

連接層の直接像は、しばしば連接ではありません。たとえば、体 に対して、 を上のアフィン直線とし、射 を考えます。すると、直接像は多項式環 に関連付けられた上の層ですが、これは-ベクトル空間として無限次元を持つため、連接ではありません。一方、グラウエルトとグロタンディークの結果によれば、適切な射による連接層の直接像は連接です。 ${\displaystyle k}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle f:X\to \operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle f_{*}{\mathcal {O}}_{X}}$${\displaystyle \operatorname {Spec} (k)}$${\displaystyle k[x]}$${\displaystyle k[x]}$${\displaystyle k}$

連接層の重要な特徴は、任意の層の場合以上に、ある点における の特性がの近傍におけるの挙動を制御することです。たとえば、中山の補題は（幾何学的な言葉で） がスキーム 上の連接層である場合、ある点（留数体 上のベクトル空間）におけるのファイバーが 0 になるのは、層がのある開近傍上で 0 である場合に限ります。関連する事実として、連接層のファイバーの次元は上半連続です。^[11]したがって、連接層は開集合上では一定のランクを持ちますが、より低次元の閉部分集合上ではランクが急上昇することがあります。 ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}\otimes _{{\mathcal {O}}_{X,x}}k(x)}$${\displaystyle F}$${\displaystyle x}$${\displaystyle k(x)}$${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle x}$

同じ考え方で、スキーム上の連接層がベクトル束となるための必要十分条件は、その茎が 内の任意の点に対して局所環上の自由加群となることである。^[12]${\displaystyle {\mathcal {F}}}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}_{x}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}_{X,x}}$${\displaystyle x}$${\displaystyle X}$

一般的なスキームでは、連結層がベクトル束であるかどうかをその繊維（茎ではなく）からのみ判断することはできません。しかし、縮約された局所的ネータースキームでは、連結層がベクトル束であるためには、そのランクが局所的に一定である必要があります。^[13]

スキームの射について、を対角射とします。これは、が上で分離している場合に閉じた浸漬です。を におけるの理想層とします。すると、微分層はを に引き戻すものとして定義できます。この層のセクションは上の1 形式と呼ばれ、 上で局所的に正則関数およびの有限和として記述できます。 が体 上で局所的に有限型である場合、 は上の連接層です。 ${\displaystyle X\to Y}$${\displaystyle \Delta :X\to X\times _{Y}X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X\times _{Y}X}$ ${\displaystyle \Omega _{X/Y}^{1}}$${\displaystyle \Delta ^{*}{\mathcal {I}}}$${\displaystyle {\mathcal {I}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \textstyle \sum f_{j}\,dg_{j}}$${\displaystyle f_{j}}$${\displaystyle g_{j}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$${\displaystyle X}$

が上で滑らかな場合、(つまり) は 上のベクトル束であり、の余接束と呼ばれます。このとき、接束は双対束 と定義されます。の次元が至る所で上で滑らかな場合、接束の階数は です。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \Omega ^{1}}$${\displaystyle \Omega _{X/k}^{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$ ${\displaystyle TX}$${\displaystyle (\Omega ^{1})^{*}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

が上の滑らかなスキームの滑らかな閉部分スキームである場合、 上にベクトル束の短完全列が存在する: ${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle 0\to TY\to TX|_{Y}\to N_{Y/X}\to 0,}$

これはへの正規バンドル の定義として使用できます。 ${\displaystyle N_{Y/X}}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$

体と自然数上の滑らかなスキームでは、上のi形式のベクトル束は、余接束 の- 次外冪として定義されます。上の次元の滑らかな多様体では、正準束は直線束 を意味します。したがって、正準束の切断は、上の体積形式の代数幾何学的類似物です。たとえば、上のアフィン空間の正準束の切断は 、次のように書くことができます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle k}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \Omega ^{i}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \Omega ^{i}=\Lambda ^{i}\Omega ^{1}}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$ ${\displaystyle K_{X}}$${\displaystyle \Omega ^{n}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {A} ^{n}}$${\displaystyle k}$

${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})\;dx_{1}\wedge \cdots \wedge dx_{n},}$

ここでは の係数を持つ多項式です。 ${\displaystyle f}$${\displaystyle k}$

を可換環、を自然数とする。各整数 に対して、上の射影空間上の直線束の重要な例があり、と呼ばれる。これを定義するには、 -スキーム の射影を考える。${\displaystyle R}$${\displaystyle n}$${\displaystyle j}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle \pi :\mathbb {A} ^{n+1}-0\to \mathbb {P} ^{n}}$

座標で によって与えられます。（つまり、射影空間をアフィン空間の1次元線形部分空間の空間として考え、アフィン空間内の非ゼロ点をそれが張る線に送ります。）すると、 の開部分集合上の の切断は、次数 の同次である上の正則関数として定義され、これは次のことを意味します。 ${\displaystyle (x_{0},\ldots ,x_{n})\mapsto [x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle \pi ^{-1}(U)}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle f(ax)=a^{j}f(x)}$

（ ）上の正則関数として存在します。すべての整数およびに対して、上の直線束の同型性があります。 ${\displaystyle \mathbb {A} ^{1}-0)\times \pi ^{-1}(U)}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(i)\otimes {\mathcal {O}}(j)\cong {\mathcal {O}}(i+j)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

特に、上の次数のにおけるすべての斉次多項式は、上の の大域切断として見ることができます。射影空間のすべての閉部分スキームは、斉次多項式のいくつかのコレクションの零点集合として、したがって直線束 のいくつかのセクションの零点集合として定義できることに留意してください。^[14]これは、閉部分スキームが単に正則関数のいくつかのコレクションの零点集合であるアフィン空間のより単純なケースとは対照的です。上の射影空間上の正則関数は単なる「定数」（環）であるため、直線束 を扱うことが不可欠です。 ${\displaystyle x_{0},\ldots ,x_{n}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle R}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$

セールは、射影空間上のすべての連接層の代数的記述を与えたが、これはアフィン空間の場合よりも微妙である。すなわち、 をネーター環（たとえば、体）とし、多項式環をそれぞれが次数 1 である次数付き環として考える。すると、すべての有限生成次数付き-加群は、上の関連する連接層を持つ。 上のすべての連接層は、このようにして有限生成次数付き- 加群から生じる。（たとえば、直線束は、次数が だけ下げられた- 加群に関連する層である。）しかし、上の特定の連接層を生成する- 加群は一意ではなく、有限個の次数でのみゼロでない次数付き加群によって変更する場合を除いて一意であるだけである。より正確には、上の連接層のアーベル圏は、有限生成次数付き-加群の圏を有限次数のみで非ゼロとなる加群のセール部分圏で割ったものである。 ^[15]${\displaystyle R}$${\displaystyle S=R[x_{0},\ldots ,x_{n}]}$${\displaystyle x_{i}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\tilde {M}}}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(j)}$${\displaystyle S}$${\displaystyle S}$${\displaystyle j}$${\displaystyle S}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle S}$

体上の射影空間の接線束は、直線束 で記述できます。つまり、短い正確な数列、オイラー数列が存在します。 ${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle k}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(1)^{\oplus \;n+1}\to T\mathbb {P} ^{n}\to 0.}$

したがって、正準バンドル（接バンドルの行列式直線バンドルの双対）は と同型です。これは代数幾何学の基本的な計算です。たとえば、正準バンドルが豊富な直線バンドルの負の倍数であるという事実は、射影空間がファノ多様体であることを意味します。複素数上では、これは射影空間が正のリッチ曲率を持つケーラー計量を持つことを意味します。 ${\displaystyle K_{\mathbb {P} ^{n}}}$${\displaystyle {\mathcal {O}}(-n-1)}$ ${\displaystyle {\mathcal {O}}(1)}$

次数の同次多項式で定義される滑らかな次数超曲面を考える。すると、正確な数列が存在する。 ${\displaystyle d}$${\displaystyle X\subseteq \mathbb {P} ^{n}}$${\displaystyle f}$${\displaystyle d}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}(-d)\to i^{*}\Omega _{\mathbb {P} ^{n}}\to \Omega _{X}\to 0}$

ここで、2番目の写像は微分形式の引き戻しであり、最初の写像は

${\displaystyle \phi \mapsto d(f\cdot \phi )}$

この数列は、が におけるの余正規層であることを示している。これを双対化すると、正確な数列が得られる。 ${\displaystyle {\mathcal {O}}(-d)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle 0\to T_{X}\to i^{*}T_{\mathbb {P} ^{n}}\to {\mathcal {O}}(d)\to 0}$

したがって、 はにおけるの正規バンドルである。正確なシーケンス ${\displaystyle {\mathcal {O}}(d)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \mathbb {P} ^{n}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{2}\to {\mathcal {E}}_{3}\to 0}$

階数、、のベクトル束には同型性がある ${\displaystyle r_{1}}$${\displaystyle r_{2}}$${\displaystyle r_{3}}$

${\displaystyle \Lambda ^{r_{2}}{\mathcal {E}}_{2}\cong \Lambda ^{r_{1}}{\mathcal {E}}_{1}\otimes \Lambda ^{r_{3}}{\mathcal {E}}_{3}}$

直線束の同型性が存在することがわかる。

${\displaystyle i^{*}\omega _{\mathbb {P} ^{n}}\cong \omega _{X}\otimes {\mathcal {O}}_{X}(-d)}$

それを示す

${\displaystyle \omega _{X}\cong {\mathcal {O}}_{X}(d-n-1)}$

階数2のベクトル束を構築するための有用な技術の1つは、Serre構成^{[16] [17] pg 3}であり、これは、上で計算された特定の-群を使用して、滑らかな射影多様体上の階数2のベクトル束と余次元2の部分多様体との間の対応を確立する。これは、直線束上のコホモロジー条件によって与えられる（以下を参照）。 ${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$${\displaystyle {\text{Ext}}^{1}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \wedge ^{2}{\mathcal {E}}}$

一方向の対応は次のように与えられる。断面に対して消失軌跡を関連付けることができる。が余次元2の部分多様体である場合、 ${\displaystyle s\in \Gamma (X,{\mathcal {E}})}$${\displaystyle V(s)\subseteq X}$${\displaystyle V(s)}$

1. これは局所完全交差であり、アフィンチャートをとれば関数として表すことができ、ここで${\displaystyle U_{i}\subseteq X}$${\displaystyle s|_{U_{i}}\in \Gamma (U_{i},{\mathcal {E}})}$${\displaystyle s_{i}:U_{i}\to \mathbb {A} ^{2}}$${\displaystyle s_{i}(p)=(s_{i}^{1}(p),s_{i}^{2}(p))}$${\displaystyle V(s)\cap U_{i}=V(s_{i}^{1},s_{i}^{2})}$
2. 直線束は、${\displaystyle \omega _{X}\otimes \wedge ^{2}{\mathcal {E}}|_{V(s)}}$${\displaystyle \omega _{V(s)}}$${\displaystyle V(s)}$

逆に^[18]次元2の部分多様体と直線束に対して 、${\displaystyle Y\subseteq X}$${\displaystyle {\mathcal {L}}\to X}$

1. ${\displaystyle H^{1}(X,{\mathcal {L}})=H^{2}(X,{\mathcal {L}})=0}$
2. ${\displaystyle \omega _{Y}\cong (\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y}}$

正規同型性がある

${\displaystyle {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})\cong {\text{Ext}}^{1}({\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}},{\mathcal {O}}_{X})}$、

これは余次元部分多様体の包含に関して関数的である。さらに、左辺で与えられた同型は、右辺の拡大の中央の局所自由層に対応する。つまり、同型である に対して、対応するランク2の局所自由層が存在し、これは短い完全列${\displaystyle 2}$${\displaystyle s\in {\text{Hom}}((\omega _{X}\otimes {\mathcal {L}})|_{Y},\omega _{Y})}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle 0\to {\mathcal {O}}_{X}\to {\mathcal {E}}\to {\mathcal {I}}_{Y}\otimes {\mathcal {L}}\to 0}$

このベクトル束は、コホモロジー不変量を用いてさらに研究され、安定かどうかが判定される。これは、主分極アーベル多様体^[17]やK3面^[19]など、多くの特定のケースにおける安定ベクトル束のモジュライを研究するための基礎となる。

体上の滑らかな多様体上のベクトル束は、のChow 環に、に対してチャーン類を持つ。^[20]これらは位相幾何学におけるチャーン類と同じ形式的性質を満たす。例えば、任意の短完全列に対して ${\displaystyle E}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle c_{i}(E)}$${\displaystyle CH^{i}(X)}$${\displaystyle i\geq 0}$

${\displaystyle 0\to A\to B\to C\to 0}$

上のベクトル束のチャーン類は次のように与えられる。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle B}$

${\displaystyle c_{i}(B)=c_{i}(A)+c_{1}(A)c_{i-1}(C)+\cdots +c_{i-1}(A)c_{1}(C)+c_{i}(C).}$

したがって、ベクトル束のチャーン類は、グロタンディーク群の類にのみ依存します。定義により、スキーム に対して、は、上のベクトル束の同型類の集合上の自由アーベル群を、上記の任意の短い完全列に対して という関係で割った商です。 は一般に計算が困難ですが、代数 K 理論は、整数 の関連群の列など、 を研究するための多くのツールを提供します。 ${\displaystyle E}$${\displaystyle E}$ ${\displaystyle K_{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{0}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle [B]=[A]+[C]}$${\displaystyle K_{0}(X)}$${\displaystyle K_{i}(X)}$${\displaystyle i>0}$

変形は群(または)、つまり 上の連接層のグロタンディーク群です。(位相的な用語では、G理論はスキームに対するボレル–ムーアホモロジー理論の形式的性質を持ち、 K理論は対応するコホモロジー理論です。) 自然準同型は、 が正則分離ノイザンスキームである場合に同型であり、その場合、すべての連接層はベクトル束によって有限の分解を持つことを使います。^[21]たとえば、 は体上の滑らかな多様体上の連接層のチャーン類の定義を与えます。 ${\displaystyle G_{0}(X)}$${\displaystyle K_{0}'(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle K_{0}(X)\to G_{0}(X)}$${\displaystyle X}$

より一般的には、上のすべての連接層が上のあるベクトル束からの射影を持つ場合、ネータースキームは解像度特性を持つと言われます。たとえば、ネーター環上のすべての準射影スキームは解像度特性を持ちます。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

解法特性は、ノイザンスキーム上の連接層が導来カテゴリにおいてベクトル束の複体と準同型であることを述べているので、 の全チャーン類を次のように 計算することができる。${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}_{k}\to \cdots \to {\mathcal {E}}_{1}\to {\mathcal {E}}_{0}}$${\displaystyle {\mathcal {E}}}$

${\displaystyle c({\mathcal {E}})=c({\mathcal {E}}_{0})c({\mathcal {E}}_{1})^{-1}\cdots c({\mathcal {E}}_{k})^{(-1)^{k}}}$

例えば、この式は の部分スキームを表す層のチャーン類を見つけるのに役立ちます。イデアル に関連付けられた射影スキームを取ると、 ${\displaystyle X}$${\displaystyle Z}$${\displaystyle (xy,xz)\subseteq \mathbb {C} [x,y,z,w]}$

${\displaystyle c({\mathcal {O}}_{Z})={\frac {c({\mathcal {O}})c({\mathcal {O}}(-3))}{c({\mathcal {O}}(-2)\oplus {\mathcal {O}}(-2))}}}$