バンドルマップ

数学において、束写像（または束射）とは、2つのファイバー束をその内部構造を尊重しながら関連付ける関数である。ファイバー束は、局所的には基底空間と別の空間（典型的な「ファイバー」）の直積のように見える数学的対象であるが、より複雑な全体構造を持つ場合がある。

束写像は通常、束の全空間間の関数と、それらの基底空間間の関数という2つの関数から構成され、射影によって形成される図式が可換となるようにする。場合によっては、両方の束が同じ基底空間を共有することもあれば、写像に異なる基底空間間の関数が別に含まれることもある。

バンドルマップには、関係するファイバーバンドルの種類（例えば、滑らかなバンドル、ベクトルバンドル、主バンドルなど）や、それらが定義されるカテゴリ（例えば、位相空間や滑らかな多様体など）に応じて、いくつかのバージョンが存在します。

この記事の最初の3つのセクションでは、位相空間のカテゴリーにおける一般的なファイバー束について論じ、4番目のセクションではその他の例を示します。

させて${\displaystyle \pi _{E}\colon E\to M}$そして${\displaystyle \pi _{F}\colon F\to M}$空間M上のファイバー束を E と F とする。このとき、M上のEからFへの束写像は連続写像である。${\displaystyle \varphi \colon E\to F}$そのため${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =\pi _{E}}$つまり、図

可換であるべきである。言い換えれば、 M内の任意の点xに対して、${\displaystyle \varphi }$ファイバーをマッピングする${\displaystyle E_{x}=\pi _{E}^{-1}(\{x\})}$Eのxをファイバーに渡す${\displaystyle F_{x}=\pi _{F}^{-1}(\{x\})}$Fのxについて。^{[ 1 ]}

π _E : E → Mおよび π _F : F → Nをそれぞれ空間MおよびN上のファイバー束とする。このとき、連続写像${\displaystyle \varphi :E\to F}$図がEからFへのバンドル写像と呼ばれるのは、連続写像f : M → Nが存在し、

通勤、つまり、${\displaystyle \pi _{F}\circ \varphi =f\circ \pi _{E}}$。 言い換えると、${\displaystyle \varphi }$はファイバー保存であり、fはEのファイバー空間上の誘導写像である。π _Eは全射であるため、fは一意に決定される。${\displaystyle \varphi }$与えられたfに対して、このようなバンドルマップ${\displaystyle \varphi }$f を覆うバンドル写像であると言われている。^{[ 2 ]}

定義から、M上のバンドル写像 (第一の意味において) は、 Mの恒等写像を覆うバンドル写像と同じものであることが直ちに導かれる。

逆に、一般的な束写像は、引き戻し束の概念を用いて、固定された基底空間上の束写像に還元することができる。π _F : F → NがN上のファイバー束であり、f : M → Nが連続写像である場合、fによるFの引き戻しは、 M上のファイバー束f ^* Fであり、 x上のファイバーは( f ^* F ) _x = F _{f ( x )}で与えられる。したがって、fをカバーするEからFへの束写像は、 M上のEからf ^* Fへの束写像と同じであることがわかる。

バンドルマップという一般的な概念には、2種類のバリエーションが存在する。

まず、異なるカテゴリーの空間におけるファイバー束を考えることができる。これは例えば、滑らかな多様体上の滑らかなファイバー束間の滑らかな束写像という概念につながる。

第二に、ファイバーに余分な構造を持つファイバー束を考え、この構造を保持する束マップに注目を限定することができる。これは、例えば、ファイバーがベクトル空間であり、束マップφ が各ファイバー上の線形マップである必要があるベクトル束間の(ベクトル) 束準同型の概念につながる。 ^{[ 3 ]}この場合、そのような束マップφ ( fをカバーする) は、 M上のベクトル束 Hom( E , f ^* F )のセクションと見なすこともできる。そのx上のファイバーは、E x からF _{f ( x )}への線形 マップのベクトル空間_Hom ( E _x , F f _{( x} ) ) ( L ( E _x , F _{f ( x )} )とも表記される_)である。