誘導準同型

数学、特に代数トポロジーにおいて、誘導準同型とは、別の写像から標準的な方法で導出される準同型のことである。 ^{[ 1 ]} 例えば、位相空間Xから位相空間Yへの連続写像は、Xの基本群からYの基本群への群準同型を誘導する。

より一般的に言えば、圏論では、定義上、任意の関手は、ソース圏の各射に対して、ターゲット圏における誘導射を提供します。例えば、基本群、高次ホモトピー群、特異ホモロジー、ド・ラームコホモロジーは、関手的な代数構造であり、その定義は、（例えば）位相空間の圏から（例えば）群や環の圏への関手を提供します。これは、各空間が代数構造と関連付けられ、空間間の各連続写像が、誘導準同型と呼ばれる構造間の構造保存写像と関連付けられることを意味します。写像から誘導される準同型${\displaystyle h}$しばしば表記される${\displaystyle h_{*}}$。

誘導準同型写像は、しばしばそれが由来する写像の性質を継承します。例えば、ホモトピーを除いて互いに逆写像である2つの写像は、互いに逆写像である準同型写像を誘導します。誘導準同型写像の一般的な用途は次のとおりです。ある性質を持つ準同型写像が存在し得ないことを示すことで、それを誘導するような性質を持つ連続写像は存在しないと結論づけることができます。このことから、空間と連続写像の間の関係（しばしば非常に複雑）を、それらが誘導する準同型写像間の関係から推論することができます。後者は、代数構造を含むため、容易に記述、比較、計算できるため、分析がより容易になる場合があります。

させて${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$点を持つ位相空間である${\displaystyle x_{0}}$で${\displaystyle X}$そして$\displaystyle y_0}}$で${\displaystyle Y}$。 させて${\displaystyle h:X\to Y}$連続写像である。${\displaystyle h(x_{0})=y_{0}}$そうすればマップを定義できます${\displaystyle h_{*}}$基本グループから${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$基本グループへ${\displaystyle \pi _{1}(Y,y_{0})}$以下のとおりです。${\displaystyle \pi _{1}(X,x_{0})}$ループで表されます${\displaystyle f}$で${\displaystyle X}$拠点${\displaystyle x_{0}}$は、ループにマッピングされます。${\displaystyle \pi _{1}(Y,y_{0})}$作曲により得られた${\displaystyle h}$:

${\displaystyle h_{*}([f]):=[h\circ f]}$

ここ${\displaystyle [f]}$は同値類を表す${\displaystyle f}$ホモトピーの下では、基本群の定義のように。定義から簡単に確認できます。${\displaystyle h_{*}}$は明確に定義された関数π ₁ ( X , x ₀ ) → π ₁ ( Y , y ₀ )です。同じ同値類のループ、つまりXのホモトピックなループは、ホモトピーがhと合成できるため、Yのホモトピックなループに写像されます。また、基本群における群演算の定義(すなわちループの連結による) から、次のことが導かれます。${\displaystyle h_{*}}$これは群準同型写像です。

${\displaystyle h_{*}([f+g])=h_{*}([f])+h_{*}([g])}$

（ここで、+はループの連結を表し、最初の+はXに、2 番目の+はYにある）。^{[ 2 ]} 結果として得られる準同型写像${\displaystyle h_{*}}$hから誘導される準同型写像は です。

π ( h )とも表記される。実際、π は点付き空間の圏から群の圏への関手を与える。すなわち_、各点付き空間( X , _x0 )に基本群π1 ( X , x0 )_を対応させ、誘導準同型を対応させる。$\displaystyle \pi (h)=h_{*}}$各基点保存連続写像h : ( X , x ₀ ) → ( Y , y ₀ )に対して。これがファンクターの定義を満たすことを証明するには、合成と互換性があることをさらに確認する必要があります。基点保存連続写像h : ( X , x ₀ ) → ( Y , y ₀ )およびk : ( Y , y ₀ ) → ( Z , z ₀ )に対して、次のようになります。

${\displaystyle \pi (k\circ h)=\pi (k)\circ \pi (h).}$

これは、h が連続写像であるだけでなく、実際にはXとYの間の同相写像である場合、誘導される同相写像が${\displaystyle \pi (h)}$は基本群間の同型写像である（ hの逆写像によって誘導される準同型写像はの逆写像であるから）${\displaystyle \pi (h)}$（上記の式による）。（ H.シューベルト著、第III.5.4節、201ページを参照。）^{[ 3 ]}

同様に、高次のホモトピー群やホモロジー群の誘導準同型も存在します。ホモロジー理論には必ず誘導準同型が伴います。例えば、単体ホモロジー、特異ホモロジー、ボレル・ムーアホモロジーには必ず誘導準同型が存在します（IV.1.3、pp.  240–241）^{[ 3 ]} 同様に、コホモロジーにも誘導準同型が存在します（ただし、Yに関連付けられた群からXに関連付けられた群へ）。例えば、チェフコホモロジー、ド・ラームコホモロジー、特異コホモロジーには必ず誘導準同型が存在します（IV.4.2–3、pp.  298–299）^{[ 3 ]}コボルディズム などの一般化にも誘導準同型が存在します。

あるカテゴリが与えられた場合${\displaystyle \mathbf {T} }$位相空間の圏 (場合によっては追加の構造を持つ)、例えばすべての位相空間の圏Topや、基点を持つ位相空間の圏 (つまり、基点が区別された位相空間)、および関手${\displaystyle F:\mathbf {T} \to \mathbf {A} }$そのカテゴリから別のカテゴリへ${\displaystyle \mathbf {A} }$群の圏Grpやアーベル群の圏Abのような代数構造の、そしてそのような代数構造をすべての位相空間に対応させるもの、そしてすべての射に対して${\displaystyle f:X\to Y}$の${\displaystyle \mathbf {T} }$（これは通常、連続写像であり、基点などの他の構造を保持する可能性がある）このファンクターは誘導射を誘導する${\displaystyle F(f):F(X)\to F(Y)}$で${\displaystyle \mathbf {A} }$（例えば、群準同型である場合）${\displaystyle \mathbf {A} }$代数構造間の群のカテゴリー${\displaystyle F(X)}$そして${\displaystyle F(Y)}$関連${\displaystyle X}$そして${\displaystyle Y}$、 それぞれ。

もし${\displaystyle F}$は（共変）関手ではなく反変関手であるため、定義により反対方向の射を誘導する。${\displaystyle F(f):F(Y)\to F(X)}$コホモロジー群はその一例である。

• ジェームズ・マンクレス（1999）。トポロジー、第2版、プレンティス・ホール。ISBN 0-13-181629-2。