分割原理

数学において、分割原理はベクトル束に関する問題を線束の場合に還元するために使用される手法です。

ベクトル束の理論では、例えばチャーン類の計算を簡略化したいことがよくあります。線束や線束の直和の計算はよく理解されていることが多いです。この場合、分割原理が非常に役立ちます。

定理 — をパラコンパクト空間上の階数のベクトルバンドルとします。に関連付けられた旗バンドルと呼ばれる空間と、次のような写像が存在し、 $\xi \colon E\rightarrow X$ $n$ $X$ $Y=Fl(E)$ $E$ $p\colon Y\rightarrow X$

誘導コホモロジー準同型は単射であり、 $p^{*}\colon H^{*}(X)\rightarrow H^{*}(Y)$
プルバックバンドルはラインバンドルの直和として分解されます。 $p^{*}\xi \colon p^{*}E\rightarrow Y$ $p^{*}(E)=L_{1}\oplus L_{2}\oplus \cdots \oplus L_{n}.$

上記の定理は、複素ベクトル束と整数係数、または係数を持つ実ベクトル束に当てはまります。複素数の場合、直線束またはその最初の特性類はチャーン根と呼ばれます。 $\mathbb {Z} _{2}$ $L_{i}$

が単射であるという事実は、（たとえばさまざまなチャーン類の間で）で成り立つ任意の方程式がでも成り立つことを意味します。 $p^{*}\colon H^{*}(X)\rightarrow H^{*}(Y)$ $H^{*}(Y)$ $H^{*}(X)$

重要なのは、これらの方程式は任意のベクトル束よりも線束の直和の方が理解しやすいため、方程式はで理解し、次にに押し下げる必要があるということです。 $Y$ $X$

上のベクトル束はK理論群を定義するために使用されるので、上の定理の写像に対しても単射であることに注意することが重要です。 ^[1] $X$ $K(X)$ $p^{*}\colon K(X)\rightarrow K(Y)$ $p$

分割原理には多くのバリエーションがある。特に、実ベクトル束とその複素化に関するものは次の通りである: ^[2]

定理 — をパラコンパクト空間上の階数の実ベクトル束とします。次のような空間と写像が存在し、 $\xi \colon E\rightarrow X$ $2n$ $X$ $Y$ $p\colon Y\rightarrow X$

誘導コホモロジー準同型は単射であり、 $p^{*}\colon H^{*}(X)\rightarrow H^{*}(Y)$
プルバックバンドルは、ラインバンドルとその共役の直和として分解されます。 $p^{*}\xi \colon p^{*}E\rightarrow Y$ $p^{*}(E\otimes \mathbb {C} )=L_{1}\oplus {\overline {L_{1}}}\oplus \cdots \oplus L_{n}\oplus {\overline {L_{n}}}.$

対称多項式

分割原理によれば、複素ベクトル束の特性類は複素直線束の最初のチャーン類の対称多項式に対応します。これらはチャーン類です。

^ オスカー・ランドル・ウィリアムズ、特性クラスと K 理論、系 4.3.4、https://www.dpmms.cam.ac.uk/~or257/teaching/notes/Kthy.pdf
^ H. Blane Lawson と Marie-Louise Michelsohn、「スピン幾何学」、命題 11.2。