同型性

数学において、同型性とは、逆写像によって逆転できる同じタイプの2 つの構造間の構造保存写像(射) です。2 つの数学的構造の間に同型性が存在する場合、それらの構造は同型です。この単語は、古代ギリシャ語のἴσος (isos)  「等しい」とμορφή (morphe) 「形、形状」に由来しています 。

同型性の興味深い点は、2 つの同型オブジェクトが同じ特性 (オブジェクトの追加構造や名前などの詳細情報を除く) を持つという事実にあります。したがって、同型構造は構造のみの観点からは区別できず、識別される可能性があります。数学用語では、2 つのオブジェクトは同型性まで同じであると言われています。^{[引用が必要]}

自己同型とは、ある構造からそれ自身への同型である。2 つの構造間の同型は、その 2 つの構造間に同型が 1 つしかない場合 (普遍的性質の解の場合など)、またはその同型が他の同型より (ある意味で) はるかに自然である場合に、標準同型 (同型である標準写像) である。たとえば、すべての素数pに対して、p個の元を持つすべての体は標準同型であり、同型は一意である。同型定理は、一意ではない標準同型を提供する。

同型性という用語は、主に代数構造に使用されます。この場合、マッピングは準同型性と呼ばれ、準同型性が同型性となるのは、それが全単射である場合のみです。

数学のさまざまな分野では、同型性は、検討中の構造の種類に応じて専門的な名前が付けられています。たとえば、次のようになります。

• 等長写像は距離空間の同型性です。
• 同相写像は位相空間の同型写像である。
• 微分同相写像は、微分構造（典型的には微分可能多様体）を備えた空間の同型写像です。
• シンプレクティック同型写像は、シンプレクティック多様体の同型写像です。
• 順列は集合の自己同型です。
• 幾何学では、同型性と自己同型性は、剛体変換、アフィン変換、射影変換などの変換と呼ばれることがよくあります。

構造間のマッピングの概念の形式化として見ることができるカテゴリー理論は、基本的なアイデアのこれらのさまざまな側面へのアプローチを統一するために使用できる言語を提供します。

を正の実数の乗法群とし、を実数の加法群とします。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \mathbb {R} }$

対数関数は、 すべてに対して を満たすので、群準同型です。指数関数は、すべてに対して を満たすので、これも準同型です。 ${\displaystyle \log :\mathbb {R} ^{+}\to \mathbb {R} }$${\displaystyle \log(xy)=\log x+\log y}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ^{+},}$ ${\displaystyle \exp :\mathbb {R} \to \mathbb {R} ^{+}}$${\displaystyle \exp(x+y)=(\exp x)(\exp y)}$${\displaystyle x,y\in \mathbb {R} ,}$

恒等式と は、と が互いの逆であることを示しています。は準同型であり、その逆も準同型であるため、は群の同型です。 ${\displaystyle \log \exp x=x}$${\displaystyle \exp \log y=y}$${\displaystyle \log}$${\displaystyle \exp}$${\displaystyle \log}$${\displaystyle \log}$

この関数は、正の実数の乗算を実数の加算に変換する同型です。この機能により、定規と対数表、または対数目盛り付きの計算尺を使用して実数を乗算することが可能になります。 ${\displaystyle \log}$

6 を法とする加算を伴う 0 から 5 までの整数のグループについて考えます。 また、x座標が 0 または 1、y 座標が 0、1、または 2 になる順序付きペアのグループについても考えます。この場合、 x座標の加算は2 を法とし、y座標の加算は 3 を法とします。 ${\displaystyle (\mathbb {Z} _{6},+),}$${\displaystyle \left(\mathbb {Z} _{2}\times \mathbb {Z} _{3},+\right),}$

これらの構造は、次のスキームの下では加法に関して同型である。 または一般に$${\displaystyle {\begin{alignedat}{4}(0,0)&\mapsto 0\\(1,1)&\mapsto 1\\(0,2)&\mapsto 2\\(1,0) &\マップスト 3\\(0,1)&\マップスト 4\\(1,2)&\マップスト 5\\\end{alignedat}}}$$${\displaystyle (a,b)\mapsto (3a+4b)\mod 6.}$

例えば、他のシステムでは次のように翻訳されます${\displaystyle (1,1)+(1,0)=(0,1),}$${\displaystyle 1+3=4.}$

これら 2 つのグループは、集合に含まれる要素が異なるという点で「見た目」が異なりますが、実際には同型です。つまり、構造はまったく同じです。より一般的には、中国剰余定理によれば、 2 つの巡回群と の直積は、mとnが互いに素である場合に限り、と同型になります。 ${\displaystyle \mathbb {Z} _{m}}$${\displaystyle \mathbb {Z} _{n}}$${\displaystyle (\mathbb {Z} _{mn},+)}$

一方のオブジェクトが二項関係Rを持つ集合Xで構成され、もう一方のオブジェクトが二項関係Sを持つ集合Yで構成されている場合、 XからYへの同型性は次のような全単射関数である: ^[1]${\displaystyle f:X\to Y}$ $${\displaystyle \operatorname {S} (f(u),f(v))\quad {\text{ }}\quad \operatorname {R} (u,v) の場合のみ}$$

S は、反射的、非反射的、対称的、反対称的、非対称的、推移的、全的、三分的、部分順序、全順序、整順序、厳密な弱順序、全前順序(弱順序)、同値関係、またはその他の特別なプロパティを持つ関係である場合に限ります。

たとえば、R が順序≤ で、S が順序である場合、 XからYへの同型は、となる 全単射関数です。 このような同型は、順序同型、または (あまり一般的ではありませんが)同音同型と呼ばれます。 ${\displaystyle \scriptstyle \sqsubseteq ,}$${\displaystyle f:X\to Y}$$${\displaystyle f(u)\sqsubseteq f(v)\quad {\text{ }}\quad u\leq v の場合のみ}$$

であれば、これは関係保存自己同型です。 ${\displaystyle X=Y,}$

代数学では、すべての代数構造に対して同型性が定義されています。いくつかはより具体的に研究されています。たとえば、

• ベクトル空間間の線型同型。可逆行列によって指定されます。
• 群間の群同型性、有限群の同型類の分類は未解決の問題である。
• 環間の環同型性。
• 体同型は体間の環同型と同じであり、その研究、より具体的には体の自己同型の研究はガロア理論の重要な部分です。

代数構造の自己同型がグループを形成するのと同様に、共通の構造を共有する 2 つの代数間の同型はヒープを形成します。特定の同型が 2 つの構造を識別するようにすると、このヒープがグループになります。

数学的解析において、ラプラス変換は難しい微分方程式をより簡単な代数方程式に写像する同型です。

グラフ理論において、2 つのグラフGとH の間の同型性は、Gの頂点からHの頂点への全単射写像fであり、 Hにからへの辺がある場合に限り、Gに頂点uから頂点vへの辺が存在するという意味で「辺構造」を保存します。グラフ同型性を参照してください。 ${\displaystyle f(u)}$${\displaystyle f(v)}$

数学的解析において、2 つのヒルベルト空間間の同型性は、加算、スカラー乗算、および内積を保存する一対一の関係です。

論理的原子論の初期の理論では、事実と真の命題との間の形式的な関係は、バートランド・ラッセルとルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタインによって同型であると理論化されました。この考え方の例は、ラッセルの『数理哲学入門』に見ることができます。

サイバネティクスでは、優れたレギュレータまたはコナント・アシュビー定理は、「システムの優れたレギュレータはすべて、そのシステムのモデルでなければならない」と述べられています。制御されるか自己制御されるかにかかわらず、システムのレギュレータと処理部分の間には同型性が必要です。

圏論では、圏 Cが与えられたとき、同型とは逆射を持つ射のことである。${\displaystyle f:a\to b}$${\displaystyle g:b\to a,}$${\displaystyle fg=1_{b}}$${\displaystyle gf=1_{a}.}$

2 つのカテゴリCとD は、互いに逆の関係にある関数と、つまり ( D上の恒等関数) と( C上の恒等関数)が存在する場合に同型です。 ${\displaystyle F:C\to D}$${\displaystyle G:D\to C}$${\displaystyle FG=1_{D}}$${\displaystyle GF=1_{C}}$

位相空間のカテゴリや代数的対象のカテゴリ（群のカテゴリ、環のカテゴリ、加群のカテゴリなど）などの具体的なカテゴリ（大まかに言えば、対象が集合（追加の構造を持つ場合もある）であり、射が構造保存関数であるカテゴリ）では、同型は基礎集合上で全単射でなければならない。代数的カテゴリ（具体的には、普遍代数の意味での多様体のカテゴリ）では、同型は基礎集合上で全単射である準同型と同じである。ただし、全単射射が必ずしも同型ではない具体的なカテゴリ（位相空間のカテゴリなど）もある。

同型性の合成は同型性であり、恒等写像も同型性であり、同型の逆写像も同型性であるため、2つの数学的対象が同型であるという関係は同値関係である。同型性によって与えられる同値類は一般に同型類と呼ばれる。^[2]

同型クラスの例は数学に豊富にあります。

• 2 つの集合の間に一対一の関係がある場合、それらの集合は同型です。有限集合の同型類は、その集合に含まれる要素の数を表す非負の整数で識別できます。
• 有限次元ベクトル空間の同型類は、その次元を表す非負の整数で識別できます。
• 有限単純群の分類は、すべての有限単純群の同型類を列挙します。
• 閉曲面の分類は、連結されたすべての閉曲面の同型類を列挙します。
• 順序数は本質的には、順序付けられた集合の同型クラスとして定義されます (ただし、技術的な問題が伴います)。

ただし、オブジェクトの同型クラスによって、そのオブジェクトに関する重要な情報が隠される場合もあります。

• 数学的構造が与えられた場合、2 つの部分構造が同じ同型クラスに属することはよくあります。ただし、それらが識別されると、それらがどのように全体の構造に含まれるかを調べることはできません。たとえば、有限次元ベクトル空間では、同じ次元のすべての部分空間は同型ですが、それらの交差、和などを考慮するには区別する必要があります。
• コクアタニオンと 2 × 2実行行列からなる結合代数は、環として同型です。しかし、それらは応用上異なる文脈（平面写像と運動学）で現れるため、同型性は概念を統合するには不十分です。^[意見]
• ホモトピー理論では、点 における空間の基本群は、技術的には基点 への依存性を強調するために表記されるが、が経路連結 である場合は単に と簡略化して表記されることが多い。これは、2 点間に経路が存在すると、一方のループを他方のループと同一視できるためである。しかし、がアーベル的でない限り、この同型性は一意ではない。さらに、被覆空間の分類では、の特定の部分群を厳密に参照し、特に同型だが共役な部分群を区別するため、同型類の要素を単一の特徴のないオブジェクトに合併すると、理論によって提供される詳細度が大幅に低下する。 ${\displaystyle X}$${\displaystyle p}$${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$${\displaystyle \pi _{1}(X)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$${\displaystyle \pi _{1}(X,p)}$

同型オブジェクトが等しいとみなせる場合もありますが、 等価性と同型性を区別する必要があります。^[3]等価性とは、2つのオブジェクトが同じである場合であり、したがって、一方のオブジェクトについて真であるすべてのことは、もう一方のオブジェクトについても真です。一方、同型性は何らかの構造に関連しており、2つの同型オブジェクトはこの構造に関連するプロパティのみを共有します。

例えば、集合 は 等しい。これらは単に異なる表現である。最初のものは内包的表現（集合構築記法）、2番目のものは外延的表現（明示的な列挙による）であり、同じ整数の部分集合である。対照的に、集合と は、同じ要素を持たないため等しくない。これらは集合として同型であるが、それらの間の同型の選択肢は多数（実際には6つ）ある。1つの同型は $${\displaystyle A=\left\{x\in \mathbb {Z} \mid x^{2}<2\right\}\quad {\text{ and }}\quad B=\{-1,0,1\}}$$${\displaystyle \{A,B,C\}}$${\displaystyle \{1,2,3\}}$

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 1,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 3,}$

一方、もう1つは

${\displaystyle {\text{A}}\mapsto 3,{\text{B}}\mapsto 2,{\text{C}}\mapsto 1,}$

そして、どの同型も本質的に他の同型よりも優れているわけではありません。^{[注 1]}この見方と意味では、これら 2 つの集合は同一であるとは見なせないため、等しくありません。それらの間の同型を選択することはできますが、それは同一性よりも弱い主張であり、選択された同型のコンテキストでのみ有効です。

また、整数と偶数は、順序付き集合およびアーベル群（加算用）としては同型ですが、一方が他方の 適切な部分集合であるため、等しい集合と見なすことはできません。

一方、集合（またはその他の数学的対象）が要素の性質を考慮せずにその性質のみで定義されている場合、それらは等しいとみなされることが多い。これは一般に、普遍的性質の解の場合に当てはまる。

たとえば、有理数は通常、整数のペアの同値類として定義されますが、有理数を集合 (同値類) として考える人はいません。有理数の普遍的な性質は、本質的に、有理数が整数を含み、適切な部分体を含まない体を形成することです。その結果、これらの性質を持つ 2 つの体が与えられた場合、それらの間には一意の体同型性があります。これにより、これらの 2 つの体を識別することができます。なぜなら、同型性を通じて、一方の体のすべての性質を他方の体に転送できるからです。たとえば、 2 つの整数 (実数内) を割って得られる実数は、実数の最小の部分体を形成します。したがって、有理数 (ペアの同値類として定義) から、整数である 2 つの実数の商への一意の同型性があります。これにより、これら 2 種類の有理数を識別できます。

• マズール、バリー(2007 年 6 月 12 日)、「あるものが他のものと等しいのはいつですか?」(PDF)

無料辞書のウィクショナリーで「同型性」を調べてください。

• 「同型性」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• Weisstein、Eric W.「同型性」。MathWorld。