メビウスの帯は、円S 1の開部分集合UとV上の 2 つの自明な束を非自明に貼り合わせることによって構成できます。自明に貼り合わせる ( g UV =1の場合) とすると自明な束が得られますが、一方の重なりでg UV =1 、もう一方の重なりでg UV =-1となる非自明な貼り合わせを行うと、非自明な束E、すなわちメビウスの帯が得られます。これは、ローカルチャートの 1 つを「ねじる」ものとして視覚化できます。数学において、ファイバー束構成定理とは、与えられた基底空間、ファイバー、群、および適切な遷移関数の集合から、構造群を持つファイバー束を構成する定理である。この定理はまた、そのような2つの束が同型となる条件も与える。
この定理は、関連束構成において用いられる。関連束構成では、与えられた束から出発し、他のすべてのデータは同じままにして、ファイバーだけを変更する。
存在
XとFを位相空間とし、GをF上に連続左作用を持つ位相群とする。Xの開被覆{ U i }と連続関数の集合が与えられたとき、
各非空重複上で定義され、コサイクル条件が
が成り立つ場合、遷移関数t ijを持つ { U i }上で自明化可能なファイバーFと構造群Gを持つファイバー束E → Xが存在する。
同型性
E ′ を、基底空間、ファイバー、構造群、自明化近傍は同じだが遷移関数がt ′ ijである別のファイバー束とする。G のFへの作用が忠実である場合、E ′とEが同型であるのは、関数が存在する場合に限る。
そのため
すなわち、遷移データに対するゲージ変換である。
特に、基底、ファイバー、構造群、ファイバー上の群作用、近傍の自明化、および遷移関数の集合が与えられた場合、作用が忠実であれば、構築された任意の2つのファイバー束は同型である。これを確認するには、同型定理の「if」方向を使用し、
、 どこ
は、
言い換えれば、この構成は同型を除いて一意である。
スムーズカテゴリ
上記の定理のペアは位相圏で成り立つ。同様の定理のペアは、XとYが滑らかな多様体であり、GがY上に滑らかな左作用を持つリー群であり、写像t ijがすべて滑らかである滑らかな圏でも成り立つ。
工事
存在は、圏論における標準的な共等化子構成によって構成的に証明される。
積空間の非交和をとる
同値関係を定義する
商を取る
投影図とともに![{\displaystyle \pi :E\to X,\quad \pi ([(i,x,y)])=x}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d47398abbe54e85ede9fcac0b21f62d13561684b)
局所的な矮小化は
![{\displaystyle \phi _{i}:\pi ^{-1}(U_{i})\to U_{i}\times F,\quad \phi _{i}^{-1}(x,y)=[(i,x,y)].}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5619b5fdc8a8de6812fc18a75fdb9db20ec625e9)
関連バンドル
E → XをファイバーFと構造群Gを持つファイバー束とし、F ′を別の左G空間とする。E の任意の局所自明化を取り、構成定理でF をF ′に置き換えることにより、ファイバーF ′と構造群Gを持つ関連束E ′ → Xを構成できる。F ′を左乗算作用を持つ G とすると、関連主束が得られる。
参考文献
- Sharpe, RW (1997).微分幾何学：カルタンによるクラインのエルランゲン・プログラムの一般化. ニューヨーク：Springer. ISBN 0-387-94732-9。
- スティーンロッド、ノーマン（1951）。ファイバー束のトポロジー。プリンストン：プリンストン大学出版局。ISBN 0-691-00548-6。パート I、§2.10 および §3 を参照してください。
