三角形

各三角形には、その内部、辺上、またはその他の方法で関連付けられた多くの特別な点があります。これらは、3 つの辺 (または頂点) に対称的に関連付けられた 3 つの直線を見つけ、その 3 つの直線が 1 点で交わることを証明することによって構成されます。これらの点の存在を証明するための重要なツールは、3 つのそのような直線が一点で交わるかどうかを判断する基準を与えるCeva の定理です。^{[ 18 ]}同様に、三角形に関連付けられた直線は、対称的に構成された 3 つの点が共線であることを証明することによって構成されることがよくあります。ここでは、Menelaus の定理が有用な一般的な基準を与えます。^{[ 19 ]}このセクションでは、最もよく見られる構成のほんの一部について説明します。

三角形の辺の垂直二等分線は、辺の中点を通り、辺に垂直で、辺と直角をなす直線です。^{[ 20 ]} 3本の垂直二等分線は1点で交わり、その点が三角形の外心です。この点は、3つの頂点すべてを通る円である外接円の中心です。^{[ 21 ]}タレスの定理によれば、外心が三角形の辺上にある場合、その辺の対角は直角になります。^{[ 22 ]}外心が三角形の内側にある場合、三角形は鋭角です。外心が三角形の外側にある場合、三角形は鈍角です。^{[ 23 ]}

垂直二等分線の交点は外心である。

角の二等分線の交点は内心である

中央線の交点は重心である

垂線の交点は垂心である

三角形の高さは、頂点を通り、対辺に垂直な直線です。この対辺は高さの底辺と呼ばれ、高さが底辺（またはその延長線）と交わる点は高さの足と呼ばれます。^{[ 24 ]}高さの長さは、底辺と頂点の間の距離です。3つの高さは1点で交わり、その点を三角形の垂心と呼びます。 ^{[ 25 ]}垂心は、三角形が鋭角である場合に限り、三角形の内部にあります。^{[ 26 ]}

9点円は、三角形の辺上に6つの点が位置する対称性を示しています。オイラー線は、垂心（青）、9点円の中心（赤）、重心（オレンジ）、外心（緑）を通る直線です。

三角形の角の二等分線は、頂点を通る直線で、対応する角を半分に切ります。 3 つの角の二等分線は、三角形の内円の中心である内心と呼ばれる 1 つの点で交わります。内円は、三角形の内側にある最大の円で、3 辺すべてに接しています。その半径は内半径と呼ばれます。他に 3 つの重要な円があり、外円と呼ばれます。これらは三角形の外側にあり、1 つの辺と他の 2 つの延長に接しています。内円と外円の中心は、直交座標系を形成します。^{[ 27 ]} 3 つの辺の中点と 3 つの高さの足はすべて、三角形の9 点円と呼ばれる単一の円上にあります。^{[ 28 ]}残りの 3 つの点は、頂点と直交心の間の高さの部分の中点です。 9点円の半径は外接円の半径の半分です。内接円（フォイエルバッハ点）と3つの外接円に接しています。垂心（青い点）、9点円の中心（赤）、重心（オレンジ）、外心（緑）はすべて、オイラー線（赤線）と呼ばれる1本の線上にあります。9点円の中心は垂心と外心の中間点にあり、重心と外心の間の距離は重心と垂心の間の距離の半分です。^{[ 28 ]}一般的に、内接円の中心はオイラー線上にはありません。^{[ 29 ] [ 30 ]}

三角形のメディアンは、頂点と対辺の中点を通る直線であり、三角形を 2 つの等しい面積に分割します。 3 つのメディアンは、三角形の重心または幾何学的重心である 1 点で交わります。 均一な密度の薄いシートから切り出された剛体の三角形の物体の重心は、その物体の質量の中心でもあります。つまり、物体は均一な重力場において重心でバランスをとることができます。^{[ 31 ]}重心はすべてのメディアンを 2:1 の比率で切断します。つまり、頂点と重心の間の距離は、重心と対辺の中点の間の距離の 2 倍です。 同じ頂点を通る角の二等分線に関してメディアンを反転すると、対称メディアンが得られます。 3 つの対称メディアンは、三角形の対称メディアン点である 1 点で交わります。 ^{[ 32 ]}

ユークリッド空間における三角形の内角の和は常に180 度である。^{[ 33 ]}この事実はユークリッドの平行線公準と同等である。これにより、2 つの角の大きさが与えられた場合、任意の三角形の 3 番目の角の大きさを決定することができる。^{[ 34 ]}三角形の外角は、内角と線形対 (したがって補角) である角である。三角形の外角の大きさは、それに隣接していない 2 つの内角の大きさの和に等しい。これが外角定理である。^{[ 35 ]}任意の三角形の 3 つの外角 (各頂点に 1 つずつ) の大きさの和は 360 度であり、実際、これは辺の数に関係なく、任意の凸多角形に当てはまる。^{[ 36 ]}

内角と三角形のもう1つの関係は、三角関数の新しい概念を生み出します。主な三角関数は正弦と余弦、およびその他の関数です。これらは直角三角形の任意の2辺の比として定義できます。^{[ 37 ]}不等辺三角形では、三角関数を使用して、辺または内角の未知の値を求めることができます。これを行う方法は、正弦定理と余弦定理を使用します。^{[ 38 ]}

3つの角の合計が180°になる任意の3つの角は、三角形の内角になり得ます。三角形の角度を指定してもその大きさは決まらないため、同じ角度を持つ三角形は無限に存在します。頂点が一直線上にある退化三角形は、内角が0°と180°になります。このような形状が三角形とみなされるかどうかは慣例の問題です。^{[ 39 ] [ 40 ]} 3つの角の条件${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$、 そして${\displaystyle \gamma }$それぞれが 0° から 180° の間の角度である三角形の角度は、三角関数を使用して表すこともできます。たとえば、角度が 180° の三角形は、${\displaystyle \alpha }$、${\displaystyle \beta }$、 そして${\displaystyle \gamma }$^{[ 41 ]}の場合に限り存在する$${\displaystyle \cos ^{2}\alpha +\cos ^{2}\beta +\cos ^{2}\gamma +2\cos(\alpha )\cos(\beta )\cos(\gamma )=1.}$$

2 つの三角形は、一方の三角形のすべての角の大きさがもう一方の三角形の対応する角の大きさと同じである場合、相似であると言われます。相似な三角形の対応する辺の長さは同じ比率であり、この性質も相似を確立するのに十分です。^{[ 42 ]}

相似三角形に関する基本的な定理には、次のようなものがあります。

• 2 つの三角形の 1 組の内角の大きさが互いに等しく、かつ別の 1 組の内角の大きさも互いに等しい場合に限り、それらの三角形は相似である。 ^{[ 43 ]}
• 2つの三角形の対応する辺の1組の比率が、もう1組の対応する辺の比率と同じであり、かつそれらの間の角の大きさが同じである場合に限り、それらの三角形は相似である。^{[ 44 ]}（多角形の任意の2辺間の角は、その2辺の間の内角である。）
• 2つの三角形の対応する3組の辺の比がすべて同じである場合に限り、それらの三角形は相似である。^{[ b ]}

合同な2つの三角形は、大きさも形もまったく同じです。合同な三角形のペアはすべて相似でもありますが、相似な三角形のペアがすべて合同であるとは限りません。合同な2つの三角形が与えられた場合、対応する内角のペアはすべて同じ大きさで、対応する辺のペアはすべて同じ長さです。これは合計6つの等式ですが、多くの場合、3つで合同を証明するのに十分です。^{[ 45 ]}

2 つの三角形が合同であるための個々の必要十分条件は次のとおりです。 ^{[ 46 ]}

• SASの公理：ある三角形の2辺の長さは、別の三角形の2辺の長さと等しく、それらの間の角の大きさも等しい。
• ASA：三角形において、2つの内角とそれらを結ぶ辺の大きさおよび長さは、もう一方の三角形のそれらの大きさおよび長さとそれぞれ等しい。（これは三角測量による測量の基礎となる。）
• SSS：三角形の各辺の長さは、もう一方の三角形の対応する辺の長さと同じです。
• AAS：三角形の2つの角と、それらに挟まれていない対応する辺の長さが、もう一方の三角形の2つの角と対応する辺の長さと大きさがそれぞれ同じである。（これはAAcorrSと呼ばれることもあり、その場合は上記のASAが含まれる。）

ユークリッド平面では、面積は一辺の長さが の正方形との比較によって定義される。${\displaystyle 1}$面積が1 である三角形の面積を計算する方法はいくつかあります。最も古く、最も単純な方法の 1 つは、1 辺の長さの積の半分を取ることです。${\displaystyle b}$（基線）×対応する高度${\displaystyle h}$⁠ : ^{[ 47 ]}$${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}bh.}$$

この公式は、三角形とその同一のコピーを切り分け、それらの断片を底辺の長方形の形に並べ替えることで証明できます。${\displaystyle b}$⁠そして高さ${\displaystyle h}$⁠ .

両側が${\displaystyle a}$そして​​${\displaystyle b}$⁠そしてそれらの挟角${\displaystyle \gamma }$が分かれば、三角法を用いて高度を計算できる。${\displaystyle h=a\sin(\gamma )}$したがって、三角形の面積は次のようになります。 $${\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma .}$$

アレクサンドリアのヘロンにちなんで名付けられたヘロンの公式は、三角形の辺の長さから面積を求める公式である。${\displaystyle a}$、${\displaystyle b}$、${\displaystyle c}$貸す${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$半周長とする 、^{[ 48 ]}$${\displaystyle T={\sqrt {s(sa)(sb)(sc)}}.}$$

同一平面上の図形の面積比はアフィン変換によって保存されるため、任意のアフィン平面上の三角形の相対面積は、距離や正方形の概念を参照することなく定義できます。任意のアフィン空間（ユークリッド平面を含む）では、底辺と向き付けられた面積が同じ三角形はすべて、頂点（3番目の頂点）が底辺に平行な線上にあり、それらの共通面積は、底辺が同じで反対側の辺が平行線上にある平行四辺形の面積の半分になります。このアフィンアプローチは、ユークリッドの『原論』第1巻で展開されました。^{[ 49 ]}

アフィン座標（例えばデカルト座標）が与えられた場合${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$⁠、 ⁠${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$⁠、 ⁠${\displaystyle (x_{C},y_{C})}$三角形の頂点については、靴紐の公式を使用して相対的な向きのある面積を計算できます。

$${\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}={\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}\\y_{A}&y_{B}\end{vmatrix}}+{\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{vmatrix}}+{\tfrac {1}{2}}{\begin{vmatrix}x_{C}&x_{A}\\y_{C}&y_{A}\end{vmatrix}}\\&={\tfrac {1}{2}}(x_{A}y_{B}-x_{B}y_{A}+x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}+x_{C}y_{A}-x_{A}y_{C}),\end{aligned}}}$$

どこ${\displaystyle |\cdot |}$は行列式である。^{[ 50 ]}

三角形の不等式は、三角形の任意の 2 辺の長さの和は、3 辺目の長さ以上でなければならないことを示しています。^{[ 51 ]}逆に、与えられた 3 つの正の辺の長さを持つ三角形が存在するのは、それらの辺の長さが三角形の不等式を満たす場合に限ります。^{[ 52 ]} 2 つの辺の長さの和が 3 辺目の長さに等しくなるのは、退化三角形、つまり頂点が一直線上にある三角形の場合のみです。

長方形は、一点に圧力がかかると平行四辺形に崩れる可能性があるのに対し、 ^{[ 53 ]}三角形は、3辺すべての長さを指定することで角度が決まるという点で頑丈です。^{[ 54 ]}したがって、三角形は、辺が曲がったり、伸びたり、壊れたり、接合部が壊れたりしない限り、形が変わることはありません。つまり、3辺のそれぞれが他の2辺を支えているのです。一方、長方形は、構造的な意味で接合部の強度に大きく依存します。このため、構造的な四角形は、対角線接合部で2つの頑丈な三角形に分割されることがよくあります。

数学的な意味では、三角形は固定されていると言えます。つまり、3辺の長さの組み合わせから可能な三角形は1つしか存在せず、角度を調整することはできません。

三角形は剛性の点で優れていますが、テセレーション状に並べると、圧縮に対する強度は六角形ほど強くありません（そのため、自然界では六角形が多く見られます）。しかし、テセレーションされた三角形は片持ち梁構造に対して優れた強度を維持するため、工学分野では四面体トラスが用いられています。

三角形分割とは、平面オブジェクトを三角形の集合に分割することを意味します。たとえば、多角形の三角形分割では、多角形は複数の三角形に分割され、それらの三角形は辺同士で接続され、頂点は多角形の頂点の集合と一致します。^{[ 55 ]}単純な多角形の場合、${\displaystyle n}$側面には、${\displaystyle n-2}$で区切られた三角形${\displaystyle n-3}$対角線。単純多角形の三角形分割は、耳、つまり他の2つの頂点によって接続され、その対角線が多角形の内部に完全に含まれる頂点と関係があります。2つの耳の定理は、それ自体が三角形ではないすべての単純多角形は少なくとも2つの耳を持つと述べています。^{[ 56 ]}

前述のように、すべての三角形には、三角形の内部にあり、3辺すべてに接する固有の内接円（内接円）が​​存在します。すべての三角形には、三角形の内部にあり、辺の中点で接する固有のシュタイナー内接楕円が存在します。マーデンの定理は、この楕円の焦点を見つける方法を示しています。^{[ 59 ]}この楕円は、三角形の3辺すべてに接する楕円の中で最大の面積を持ちます。三角形のマンダート内接楕円は、三角形の内部にあり、外接円の接点で辺に接する楕円です。三角形に内接する任意の楕円について、${\displaystyle ABC}$焦点は${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$、それから：^{[ 60 ]}$${\displaystyle {\frac {{\overline {PA}}\cdot {\overline {QA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}+{\frac {{\overline {PB}}\cdot {\overline {QB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}+{\frac {{\overline {PC}}\cdot {\overline {QC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}=1.}$$

ペダルトライアングルとジェルゴンヌトライアングル

基準三角形の内部点から、その3辺上の最も近い点が、その点の足底三角形の頂点となる。内部点が基準三角形の外心である場合、足底三角形の頂点は基準三角形の辺の中点となるため、足底三角形は中点三角形または中線三角形と呼ばれる。中点三角形は基準三角形を4つの合同な三角形に分割し、それらは基準三角形と相似である。^{[ 61 ]}

基準三角形の内接三角形は、基準三角形の辺と内接円との3つの接点に頂点を持ちます。^{[ 62 ]}基準三角形の外接三角形は、基準三角形の外接円と辺（延長されていない）との接点に頂点を持ちます。^{[ 63 ]}

頂点が三角形の辺に接する内接正方形は、単純な閉曲線上に頂点がある正方形を求める問題であるにもかかわらず、内接正方形問題の特殊なケースです。この図形関係の注目すべき例は、 3 つの正方形の頂点が鈍角三角形のすべての辺に接するカラビ三角形です。すべての鋭角三角形には 3 つの内接正方形があります (その内部にある正方形で、正方形の 4 つの頂点すべてが三角形の辺上にあるため、そのうち 2 つは同じ辺上にあり​​、したがって正方形の 1 つの辺が三角形の辺の一部と一致します)。直角三角形では、2 つの正方形が一致し、頂点が三角形の直角にあるため、直角三角形には 2 つの異なる内接正方形しかありません。鈍角三角形には、辺が三角形の最長辺の一部と一致する内接正方形が 1 つだけあります。与えられた三角形において、より長い共通辺はより小さな内接正方形と関連付けられます。内接正方形の辺の長さが$q_a$そして三角形の一辺の長さは${\displaystyle a}$辺の一部が正方形の辺と一致する場合、$q_a$、${\displaystyle a}$、${\displaystyle h_{a}}$横から${\displaystyle a}$三角形の面積${\displaystyle T}$^{[ 64 ]}によると関連している。$${\displaystyle q_{a}={\frac {2Ta}{a^{2}+2T}}={\frac {ah_{a}}{a+h_{a}}}.}$$内接する正方形の面積と三角形の面積の比率が最大となるのは 1/2 であり、これは次の場合に発生します。${\displaystyle a^{2}=2T}$、${\displaystyle q=a/2}$、そして長さの底辺からの三角形の高さ${\displaystyle a}$に等しい${\displaystyle a}$同じ鈍角でない三角形において、ある内接正方形の一辺と別の内接正方形の一辺の比の最小値は$2√2/3$[ ^{65 ]}これらの極端なケースはどちらも二等辺直角三角形で発生します^。

ルモワンヌ六角形は、三角形の辺と、辺に平行で中央を通る3本の直線との6つの交点によって頂点が決まる、円周を持つ六角形です。単純な形であれ、自己交差する形であれ、ルモワンヌ六角形は三角形の内部に位置し、三角形の各辺に2つの頂点を持ちます。

面積が 1 を超えるすべての凸多角形${\displaystyle T}$面積が最大で に等しい三角形に内接することができる${\displaystyle 2T}$等号は多角形が平行四辺形の場合にのみ成立する。^{[ 66 ]}

三角形に接する外接円とシュタイナー外接楕円

基準三角形（直角三角形を除く）の接三角形とは、その頂点における基準三角形の外接円の接線上に辺がある三角形のことである。^{[ 67 ]}

前述のように、すべての三角形には、三角形の3つの頂点すべてを通る外接円が一意に存在し、その中心は三角形の辺の垂直二等分線の交点です。さらに、すべての三角形には、三角形の頂点を通り、三角形の重心を中心とするシュタイナー外接楕円が一意に存在します。三角形の頂点を通るすべての楕円の中で、この外接楕円の面積は最小です。^{[ 68 ]}

キーペルト双曲線は、三角形の3つの頂点、重心、および外心を通る唯一の円錐曲線である。 ^{[ 69 ]}

与えられた凸多角形に含まれるすべての三角形のうち、面積が最大となる三角形を線形時間で見つけることができ、その頂点は与えられた多角形の3つの頂点として選択できる。^{[ 70 ]}

円三角形は、円弧状の辺を持つ三角形です。円三角形の辺は、凸（外側に曲がっている）または凹（内側に曲がっている）のいずれかになります。^{[ c ]} 3 つの円盤の交点によって、辺がすべて凸である円三角形が形成されます。3 つの凸辺を持つ円三角形の例としては、同じ大きさの 3 つの円を交差させることで作図できるルーロー三角形があります。モール・マスケローニの定理により、定規を必要とせずにコンパスだけで作図できます。あるいは、正三角形の辺を丸めることで作図することもできます。^{[ 71 ]}

凹円三角形の特殊なケースは擬似三角形に見られる。^{[ 72 ]}擬似三角形は、互いに接する3つの凸領域の間にある平面の単連結部分集合である。これらの辺は、尖点と呼ばれる端点を結ぶ3本の滑らかな曲線である。任意の擬似三角形は、凸円盤と二重接線を境界とする多くの擬似三角形に分割することができ、このプロセスは擬似三角形分割として知られている。${\displaystyle n}$ディスクは擬似三角形に配置され、パーティションは${\displaystyle 2n-2}$擬似三角形と${\displaystyle 3n-3}$双接線。^{[ 73 ]}任意の擬似三角形の凸包は三角形である。^{[ 74 ]}

双曲三角形と球面三角形

非平面三角形とは、ユークリッド空間、つまり大まかに言えば平坦な空間に埋め込まれていない三角形のことです。これは、双曲空間や球面幾何学のように、いくつかの空間でも三角形が見つかる可能性があることを意味します。双曲空間の三角形は双曲三角形と呼ばれ、鞍点曲面のような負の曲率を持つ曲面に描画することで得られます。同様に、球面幾何学の三角形は球面三角形と呼ばれ、球のような正の曲率を持つ曲面に描画することで得られます。^{[ 75 ]}

両空間の三角形は、ユークリッド空間の三角形とは異なる性質を持つ。例えば、前述のように、ユークリッド空間の三角形の内角の和は常に180°である。しかし、双曲三角形の内角の和は180°未満であり、任意の球面三角形の内角の和は180°を超える。^{[ 75 ]}特に、球面上に各内角が90°で、合計が270°となる三角形を描くことができる。ジラールの定理によれば、球面上の三角形の内角の和は$180° × (1+4f)$、 どこ${\displaystyle f}$は、三角形で囲まれた球の面積の割合です。^{[ 76 ] [ 77 ]}

より一般的な空間では、空間内の三角形の性質と、双曲空間や楕円空間のようなモデル空間内の対応する三角形の性質を関連付ける比較定理が存在する。 ^{[ 78 ]}例えば、CAT(k)空間はこのような比較によって特徴付けられる。^{[ 79 ]}

三角形に基づくフラクタル形状には、シェルピンスキーのギャスケットやコッホの雪片などがある。^{[ 80 ]}