ルモワンヌ六角形

幾何学において、ルモワーヌ六角形は、三角形の辺の 6 つの交点と、その対称点を通る辺に平行な 3 本の線によって決まる頂点を持つ環状 六角形です。六角形には、頂点が接続される順序によって異なる 2 つの定義があります。

ルモワーヌ六角形は、2 つの方法で定義して描くことができます。1 つ目は、前述のように交差点に頂点がある単純な六角形です。2 つ目は、対称点を通る線が 3 つの辺として、他の 3 つの辺が隣接する頂点のペアを結合する、自己交差六角形です。

辺の長さと面積を持つ三角形に描かれた単純な六角形の場合、周囲の長さは次のように表されます。 ${\displaystyle a,b,c}$${\displaystyle \Delta }$

${\displaystyle p={\frac {a^{3}+b^{3}+c^{3}+3abc}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

そしてその地域は

${\displaystyle K={\frac {a^{4}+b^{4}+c^{4}+a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta }$

自己交差六角形の周囲の長さは次のように表される。

${\displaystyle p={\frac {\left(a+b+c\right)\left(ab+bc+ca\right)}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}}}$

そしてその地域は

${\displaystyle K={\frac {a^{2}b^{2}+b^{2}c^{2}+c^{2}a^{2}}{\left(a^{2}+b^{2}+c^{2}\right)^{2}}}\Delta }$

幾何学では、5 つの点によって円錐曲線が決まる。そのため、任意の 6 点の集合は一般に円はおろか円錐曲線上にも存在しない。しかし、ルモワーヌ六角形 (どちらの接続順序でも) は巡回多角形であり、その頂点はすべて共通の円上にある。ルモワーヌ六角形の外接円は第 1 ルモワーヌ円として知られている。

• ケイシー、ジョン(1888)、「ルモワン、タッカー、テイラーの円」、ユークリッド原論の最初の 6 冊の続編、多数の例を添えた現代幾何学への簡単な入門(第 5 版)、ダブリン: ホッジス、フィギス & Co.、179 ページ以降。
• ルモワン、E. (1874)、「Sur quelques propriétés d'un point remarquable d'un Triangle」、Association francaise pour l'avancement des Sciences、Congrès (002; 1873; リヨン) (フランス語)、90–95 ページ。
• Mackay, JS (1895)、「三角形の対称線とそれに付随する円」、エディンバラ数学協会紀要、14 : 37–103、doi : 10.1017/S0013091500031758。

• Weisstein、Eric W.「Lemoine Hexagon」。MathWorld。