三角形の面積は、例えば 三角形の合同性 を利用して、底辺の長さと高さが同じ 平行四辺形 の面積の半分として示すことができます。 三角形の面積を 2 倍にしてから半分にする通常の手順を回避する 公式のグラフィック導出。
T =
h 2
b
{\displaystyle T={\frac {h}{2}}b}
幾何学 において 、 三角形 の 面積 を計算することは、さまざまな状況で頻繁に遭遇する基本的な問題です。最もよく知られた最も単純な公式は、 b が 三角形の 底辺 の 長さ、 hが三角形の 高さ または 高度 である式 です 。「底辺」という用語は任意の辺を示し、「高さ」は底辺の反対側の頂点から底辺を含む線に下ろした垂線の長さを示します。 ユークリッドは紀元前 300 年に著書『 原論 』で、三角形の面積は同じ底辺と高さを持つ平行四辺形の面積の半分であることを証明しました 。 [1] 紀元 499 年に、 アーリヤバータは『 アーリヤバーティヤ』 （第 2.6 節） でこの図解法を使用しました。 [2]
T = b h
/
2 、
{\displaystyle T=bh/2,}
この公式は単純ではあるが、高さが容易にわかる場合にのみ有用であり、常にそうであるとは限らない。例えば、三角形の 土地の測量士は、 各辺の長さを測るのは比較的簡単だが、「高さ」を測るのは比較的難しいと感じるかもしれない。三角形について何がわかっているかに応じて、実際にはさまざまな方法が使用される可能性がある。三角形の面積を求めるためによく使用される他の公式では、 三角法 、辺の長さ（ ヘロンの公式 ）、ベクトル、 座標 、 線積分 、 ピックの定理 、またはその他の特性が使用される。 [3]
歴史 アレクサンドリアのヘロンは 、三角形の面積を辺の数で求める ヘロンの公式 を発見し、その証明は紀元60年頃に書かれた彼の著書『 メトリカ』の中に見ることができる。 アルキメデスは 2世紀以上前にこの公式を知っていた と示唆されており、 [4] 『メトリカ』 は古代世界で利用可能な数学的知識の集大成であるため 、この公式はその著作で言及されているよりも古い可能性がある。 [5] 紀元前300年、ギリシャの数学者 ユークリッドは 著書『幾何学原論』の中で、三角形の面積は同じ底辺と高さを持つ平行四辺形の面積の半分であることを証明した 。 [ 6]
499年、 インド数学 と インド天文学 の古典時代の 偉大な 数学者 ・ 天文学者である アーリヤバータは、『 アーリヤバーティヤ』 の中で三角形の面積を底辺の半分と高さの積として表現した 。 [7]
ヘロンの公式に相当する公式は、ギリシャ人とは独立して中国で発見された。それは1247年に 秦九紹 が 書いた『 九部数学論 』に掲載された 。 [8]
三角法を使う 三角法を適用して高度 h を 求めます。 三角形の高さは 三角法 を応用して求めることができます。
SAS（サイドアングルサイド）を知る 右側の画像のラベルを使用すると、高度は h = a sin
γ
{\displaystyle \gamma}
です。これを上で導出した式に代入すると 、三角形の面積は次のように表すことができます。
T =
1 2
b h
{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}bh}
T =
1 2
1つの b 罪 γ =
1 2
b ｃ 罪 α =
1 2
ｃ 1つの 罪 β
{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab\sin \gamma ={\tfrac {1}{2}}bc\sin \alpha ={\tfrac {1}{2}}ca\sin \beta }
（ここで、αはA における内角、βは B における内角 、は C における内角 、 cは 線分 AB です）。
γ
{\displaystyle \gamma}
さらに、sin α = sin ( π − α) = sin (β + ) なので、他の 2 つの角度についても同様です。
γ
{\displaystyle \gamma}
T =
1 2
1つの b 罪 （ α + β ） =
1 2
b ｃ 罪 （ β + γ ） =
1 2
ｃ 1つの 罪 （ γ + α ） 。
{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}ab\sin(\alpha +\beta )={\tfrac {1}{2}}bc\sin(\beta +\gamma )={\tfrac {1}{2}}ca\sin(\gamma +\alpha ).}
AAS（角度-角度-側面）を知る
T
=
b
2
(
sin
α
)
(
sin
(
α
+
β
)
)
2
sin
β
,
{\displaystyle T={\frac {b^{2}(\sin \alpha )(\sin(\alpha +\beta ))}{2\sin \beta }},}
既知の辺が a または c の 場合も同様です。
ASA（角-辺-角）を知る
T
=
a
2
2
(
cot
β
+
cot
γ
)
=
a
2
(
sin
β
)
(
sin
γ
)
2
sin
(
β
+
γ
)
,
{\displaystyle T={\frac {a^{2}}{2(\cot \beta +\cot \gamma )}}={\frac {a^{2}(\sin \beta )(\sin \gamma )}{2\sin(\beta +\gamma )}},}
同様に、既知の辺が b または cの 場合も同様である。 [9]
三角形の形状は辺の長さによって一意に決まるため、面積などの測定特性は辺の長さで表すことができます。 ヘロンの公式 によれば、
T
=
s
(
s
−
a
)
(
s
−
b
)
(
s
−
c
)
{\displaystyle T={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}
ここで は 半周 、つまり三角形の周囲の半分
です。
s
=
1
2
(
a
+
b
+
c
)
{\textstyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}
ヘロンの公式の他の同等の書き方は3つある。
T
=
1
4
(
a
2
+
b
2
+
c
2
)
2
−
2
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
=
1
4
2
(
a
2
b
2
+
a
2
c
2
+
b
2
c
2
)
−
(
a
4
+
b
4
+
c
4
)
=
1
4
(
a
+
b
−
c
)
(
a
−
b
+
c
)
(
−
a
+
b
+
c
)
(
a
+
b
+
c
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b-c)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.\end{aligned}}}
3つの式はヘロンの公式と同じ構造を持ちますが、異なる変数で表現されます。まず、 a 、 b 、 c の各辺の中央値をそれぞれ m a 、 m b 、 m c と表し、それらの半和 ( m a + m b + m c )/2 をσと表すと、 [10]
T
=
4
3
σ
(
σ
−
m
a
)
(
σ
−
m
b
)
(
σ
−
m
c
)
.
{\displaystyle T={\tfrac {4}{3}}{\sqrt {\sigma (\sigma -m_{a})(\sigma -m_{b})(\sigma -m_{c})}}.}
次に、辺a 、 b 、 c からの高度を それぞれ h a 、 h b 、 h c と表し、高度の逆数の半和を [11] のように表すと、
H
=
(
h
a
−
1
+
h
b
−
1
+
h
c
−
1
)
/
2
{\displaystyle H=(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1}+h_{c}^{-1})/2}
T
−
1
=
4
H
(
H
−
h
a
−
1
)
(
H
−
h
b
−
1
)
(
H
−
h
c
−
1
)
.
{\displaystyle T^{-1}=4{\sqrt {H(H-h_{a}^{-1})(H-h_{b}^{-1})(H-h_{c}^{-1})}}.}
そして、角度の正弦の半和を S = [(sin α) + (sin β) + (sin γ)]/2 と表すと、 [12]
T
=
D
2
S
(
S
−
sin
α
)
(
S
−
sin
β
)
(
S
−
sin
γ
)
{\displaystyle T=D^{2}{\sqrt {S(S-\sin \alpha )(S-\sin \beta )(S-\sin \gamma )}}}
ここで Dは 外接円 の直径です 。
D
=
a
sin
α
=
b
sin
β
=
c
sin
γ
.
{\displaystyle D={\tfrac {a}{\sin \alpha }}={\tfrac {b}{\sin \beta }}={\tfrac {c}{\sin \gamma }}.}
ベクトルの使用 三角形 ABC の面積は平行四辺形 の面積の半分です 。
T
=
1
2
‖
(
b
−
a
)
∧
(
c
−
a
)
‖
=
1
2
‖
a
∧
b
+
b
∧
c
+
c
∧
a
‖
,
{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\bigl \|}(\mathbf {b} -\mathbf {a} )\wedge (\mathbf {c} -\mathbf {a} ){\bigr \|}={\tfrac {1}{2}}{\bigl \|}\mathbf {a} \wedge \mathbf {b} +\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} +\mathbf {c} \wedge \mathbf {a} {\bigr \|},}
ここで、
a
{\displaystyle \mathbf {a} }
、
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
、
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
は任意の原点から三角形の頂点への ベクトル なので、
b
−
a
{\displaystyle \mathbf {b} -\mathbf {a} }
と は
c
−
a
{\displaystyle \mathbf {c} -\mathbf {a} }
頂点 から他の各頂点への 変換ベクトル であり 、 は くさび積 です 。頂点 を 原点とすると、これは と簡略化されます 。
A
{\displaystyle A}
∧
{\displaystyle \wedge }
A
{\displaystyle A}
1
2
‖
b
∧
c
‖
{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\|\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} \|}
任意のアフィン空間における平行四辺形の 向き付けられた相対面積は 、一種の バイベクトル であり、
u
∧
v
{\displaystyle \mathbf {u} \wedge \mathbf {v} }
と定義されます。ここで、
u
{\displaystyle \mathbf {u} }
と
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
は、平行四辺形の 1 つの頂点から 2 つの隣接する頂点のそれぞれへの移動ベクトルです。ユークリッド空間では、このバイベクトルの大きさは、平行四辺形の面積を表す明確に定義されたスカラー数です。(3 次元空間のベクトルの場合、バイベクトル値のウェッジ積は、ベクトル値の クロス積 と同じ大きさですが、3 次元ユークリッド空間でのみ定義されるクロス積とは異なり、ウェッジ積は任意の次元のアフィン空間で明確に定義されます。)
三角形ABC の面積は ドット積 で表すこともできます 。頂点
A
{\displaystyle A}
を原点とし、他の頂点
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
および
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
への移動ベクトルを呼び出すと、
T
=
1
2
b
2
c
2
−
(
b
⋅
c
)
2
,
{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {\mathbf {b} ^{2}\mathbf {c} ^{2}-(\mathbf {b} \cdot \mathbf {c} )^{2}}},}
ここで任意のユークリッドベクトルに対してである 。 [13] この面積公式は、基本的なベクトルの恒等式を用いて前の公式から導くことができる 。
v
2
=
‖
v
‖
2
=
v
⋅
v
{\displaystyle \mathbf {v} ^{2}=\|\mathbf {v} \|^{2}=\mathbf {v} \cdot \mathbf {v} }
u
2
v
2
=
(
u
⋅
v
)
2
+
‖
u
∧
v
‖
2
{\displaystyle \mathbf {u} ^{2}\mathbf {v} ^{2}=(\mathbf {u} \cdot \mathbf {v} )^{2}+\|\mathbf {u} \wedge \mathbf {v} \|^{2}}
2次元ユークリッド空間では、座標 の ベクトル
b
{\displaystyle \mathbf {b} }
と 座標 のベクトル に対して、ウェッジ積の大きさは
(
x
B
,
y
B
)
{\displaystyle (x_{B},y_{B})}
c
{\displaystyle \mathbf {c} }
(
x
C
,
y
C
)
{\displaystyle (x_{C},y_{C})}
‖
b
∧
c
‖
=
|
x
B
y
C
−
x
C
y
B
|
.
{\displaystyle \|\mathbf {b} \wedge \mathbf {c} \|=|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.}
（次のセクションを参照してください。）
座標の使用 頂点 Aが 直交座標系 の原点(0, 0)に位置し 、他の2つの頂点の座標が B = ( x B , y B ) および C = ( x C , y C ) で与えられる場合、面積は 行列式 の 絶対値の 1 ⁄ 2 倍として計算できます。
T
=
1
2
|
det
(
x
B
x
C
y
B
y
C
)
|
=
1
2
|
x
B
y
C
−
x
C
y
B
|
.
{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{B}&x_{C}\\y_{B}&y_{C}\end{pmatrix}}\right|={\tfrac {1}{2}}|x_{B}y_{C}-x_{C}y_{B}|.}
3 つの一般的な頂点の場合、方程式は次のようになります。
T
=
1
2
|
det
(
x
A
x
B
x
C
y
A
y
B
y
C
1
1
1
)
|
=
1
2
|
x
A
y
B
−
x
A
y
C
+
x
B
y
C
−
x
B
y
A
+
x
C
y
A
−
x
C
y
B
|
,
{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}\left|\det {\begin{pmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{pmatrix}}\right|={\tfrac {1}{2}}{\big |}x_{A}y_{B}-x_{A}y_{C}+x_{B}y_{C}-x_{B}y_{A}+x_{C}y_{A}-x_{C}y_{B}{\big |},}
これは次のように書ける。
T
=
1
2
|
(
x
A
−
x
C
)
(
y
B
−
y
A
)
−
(
x
A
−
x
B
)
(
y
C
−
y
A
)
|
.
{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\big |}(x_{A}-x_{C})(y_{B}-y_{A})-(x_{A}-x_{B})(y_{C}-y_{A}){\big |}.}
点が反時計回りに順番にラベル付けされている場合、上記の行列式は正であり、絶対値の符号は省略できます。 [14]上記の式は、 靴ひも式 または測量士の公式として知られています 。
複素平面上の頂点を反時計回りに a = x A + y A i 、 b = x B + y B i 、 c = x C + y C i と書き、その複素共役を 、、、 と 書くと、式は
a
¯
{\displaystyle {\bar {a}}}
b
¯
{\displaystyle {\bar {b}}}
c
¯
{\displaystyle {\bar {c}}}
T
=
i
4
|
a
a
¯
1
b
b
¯
1
c
c
¯
1
|
{\displaystyle T={\frac {i}{4}}{\begin{vmatrix}a&{\bar {a}}&1\\b&{\bar {b}}&1\\c&{\bar {c}}&1\end{vmatrix}}}
靴ひもの式と同等です。
3 次元では、一般的な三角形 A = ( x A 、 y A 、 z A ) 、 B = ( x B 、 y B 、 z B ) 、 C = ( x C 、 y C 、 z C )の面積は、3 つの主平面 (つまり、 x = 0、 y = 0、 z = 0)へのそれぞれの投影面積の ピタゴラス和 です。
T
=
1
2
|
x
A
x
B
x
C
y
A
y
B
y
C
1
1
1
|
2
+
|
y
A
y
B
y
C
z
A
z
B
z
C
1
1
1
|
2
+
|
z
A
z
B
z
C
x
A
x
B
x
C
1
1
1
|
2
.
{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {{\begin{vmatrix}x_{A}&x_{B}&x_{C}\\y_{A}&y_{B}&y_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}y_{A}&y_{B}&y_{C}\\z_{A}&z_{B}&z_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}+{\begin{vmatrix}z_{A}&z_{B}&z_{C}\\x_{A}&x_{B}&x_{C}\\1&1&1\end{vmatrix}}^{2}}}.}
線積分の使用 三角形などの閉曲線内の面積は、 曲線上の点から任意の向きの直線 Lまでの代数距離または符号付き距離を曲線の周りで 積分することで求められます。向きが L の右側にある点は L から負の距離にあるとみなされ 、積分の重みは弧の長さそのものではなく、 L に平行な弧の長さの成分とされます。
この方法は、任意の多角形 の面積を計算するのに適しています 。 L を x 軸とすると 、連続する頂点 ( x i 、 y i ) と ( x i +1 、 y i +1 ) の間の線積分は、底辺と平均高さの積分、つまり ( x i +1 − x i )( y i + y i +1 )/2 で与えられます。面積の符号は、横断方向の全体的な指標であり、負の面積は反時計回りの横断を示します。三角形の面積は、3 辺の多角形の場合と同じように求められます。
線積分法は、座標系を任意に選択できるという点で他の座標ベースの方法と共通していますが、他の方法とは異なり、三角形の頂点を原点にしたり、辺を底辺にしたりすることは任意に選択しません。さらに、 L によって定義される座標系の選択では、通常の 3 つの自由度ではなく 2 つの自由度のみが考慮され、これは重みが局所距離 (上記の x i +1 − x i など) であるためです。そのため、この方法ではL に垂直な軸を選択する必要がありません 。
極座標 で作業する場合、線積分を使用するために 直交座標 に変換する必要はありません 。これは、 多角形の連続する頂点 ( r i 、θ i ) と ( r i +1 、θ i +1 ) の間の線積分が、 r i r i +1 sin(θ i +1 − θ i )/2 によって直接与えられるためです。これは、θ のすべての値に対して有効ですが、|θ| が π よりも桁違いに大きい場合は、数値の精度が若干低下します。この定式化では、負の領域は時計回りの移動を示します。これは、極座標と直交座標を混在させる場合に留意する必要があります。直交座標での線積分では y 軸 ( x = 0 ) の選択が重要でないのと同様に、ここでは方向ゼロ ( θ = 0 )の選択も重要では ありません。
ピックの定理を使う 任意の格子多角形 (垂直方向と水平方向に隣接する格子点が等距離にあり、頂点が格子点上にあるグリッド上に描画される多角形)の面積を求める手法については、 ピックの定理 を参照 してください。
定理は次のように述べています。
T
=
I
+
1
2
B
−
1
{\displaystyle T=I+{\tfrac {1}{2}}B-1}
ここで、 は内部の格子点の数であり、 B は 多角形の境界上にある格子点の数です。
I
{\displaystyle I}
他にも多数の面積公式が存在する。例えば、
T
=
r
⋅
s
,
{\displaystyle T=r\cdot s,}
ここで r は 内接円の半径 、 s は 半周長 （実際、この式は すべての 接線多角形 に当てはまる）であり、 [15] ：補題2
T
=
r
a
(
s
−
a
)
=
r
b
(
s
−
b
)
=
r
c
(
s
−
c
)
{\displaystyle T=r_{a}(s-a)=r_{b}(s-b)=r_{c}(s-c)}
ここで、それぞれ 辺 a、b、cに接する 外接円 の半径です 。
r
a
,
r
b
,
r
c
{\displaystyle r_{a},\,r_{b},\,r_{c}}
また、
T
=
1
2
D
2
(
sin
α
)
(
sin
β
)
(
sin
γ
)
{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}D^{2}(\sin \alpha )(\sin \beta )(\sin \gamma )}
そして [16]
T
=
a
b
c
2
D
=
a
b
c
4
R
{\displaystyle T={\frac {abc}{2D}}={\frac {abc}{4R}}}
円周直径D の場合 ;および [17]
T
=
1
4
(
tan
α
)
(
b
2
+
c
2
−
a
2
)
{\displaystyle T={\tfrac {1}{4}}(\tan \alpha )(b^{2}+c^{2}-a^{2})}
角度α≠90°の場合。
この面積は次のようにも表される [18]。
T
=
r
r
a
r
b
r
c
.
{\displaystyle T={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}
1885年にベイカー [19]は 三角形の面積を求める100以上の異なる公式を発表しました。これには以下のものが含まれます。
T
=
1
2
a
b
c
h
a
h
b
h
c
3
,
{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c}}},}
T
=
1
2
a
b
h
a
h
b
,
{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt {abh_{a}h_{b}}},}
T
=
a
+
b
2
(
h
a
−
1
+
h
b
−
1
)
,
{\displaystyle T={\frac {a+b}{2(h_{a}^{-1}+h_{b}^{-1})}},}
T
=
R
h
b
h
c
a
{\displaystyle T={\frac {Rh_{b}h_{c}}{a}}}
円周半径（外接円の半径） R 、および
T
=
h
a
h
b
2
sin
γ
.
{\displaystyle T={\frac {h_{a}h_{b}}{2\sin \gamma }}.}
エリアの上限 周囲長p の任意
の三角形の 面積 Tは
T
≤
p
2
12
3
,
{\displaystyle T\leq {\tfrac {p^{2}}{12{\sqrt {3}}}},}
等式は三角形が正三角形である場合にのみ成立する。 [20] [21] : 657
T 面積のその他の上限は [22] で与えられます :p.290
4
3
T
≤
a
2
+
b
2
+
c
2
{\displaystyle 4{\sqrt {3}}T\leq a^{2}+b^{2}+c^{2}}
そして
4
3
T
≤
9
a
b
c
a
+
b
+
c
,
{\displaystyle 4{\sqrt {3}}T\leq {\frac {9abc}{a+b+c}},}
両方の条件が成立するのは、三角形が正三角形である場合のみです。
エリアを二分する 三角形の面積を二等分する線は 無数にあります 。 [23] そのうちの3本は中線で、面積の二等分線のうち重心を通るのは中線だけです。他の3本の面積の二等分線は三角形の辺に平行です。
三角形の面積と周囲の長さを半分に分ける線は、三角形の内心を通ります。どの三角形にも、このような線が 1 本、2 本、または 3 本あります。
参照
参考文献
^ 「ユークリッドのピタゴラスの定理の証明 | Synaptic」 セントラル・カレッジ。 2023年7月12日 閲覧 。 ^ Āryabhaṭa著『Āryabhaṭīya』（ ウォルター・ユージン・クラーク により1930年に英訳）は インターネットアーカイブ でオンラインホストされています 。 ^ Weisstein, Eric W. 「三角形の面積」 。MathWorld 。 ^ ヒース、トーマス・L. (1921)。 ギリシャ数学の歴史（第2巻） 。オックスフォード大学出版局。pp.321-323。 ^ Weisstein, Eric W. 「ヘロンの公式」 。MathWorld 。 ^ 「ユークリッドのピタゴラスの定理の証明 | Synaptic」 セントラル・カレッジ。 2023年7月12日 閲覧 。 ^ クラーク、ウォルター・ユージン (1930)。『アーリヤバタのアーリヤバティヤ：数学と天文学に関する古代インドの著作』 （PDF） 。シカゴ大学出版局。26 ページ。 ^ Xu, Wenwen; Yu, Ning (2013年5月). 「中国剰余定理を発見した数学者にちなんで名付けられた橋」 (PDF) . アメリカ数学会報 . 60 (5): 596–597. ^ ワイスタイン、エリック・W. 「トライアングル」。 マスワールド 。 ^ Benyi, Arpad、「三角形のヘロン型公式」、 Mathematical Gazette 87、2003 年 7 月、324–326 ページ。 ^ ミッチェル、ダグラス W.、「三角形の逆面積を求めるヘロン型公式」、 Mathematical Gazette 89、2005 年 11 月、494 ページ。 ^ ミッチェル、ダグラス W.、「正弦関数によるヘロン型面積公式」、 Mathematical Gazette 93、2009 年 3 月、108-109 ページ。 ^ 量
v
2
{\displaystyle \mathbf {v} ^{2}}
はベクトル とそれ自身との 幾何積 を表します 。
v
{\displaystyle \mathbf {v} }
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![{\displaystyle {\begin{aligned}T&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a^{2}+b^{2}+c^{2})^{2}-2(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {2(a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2})-(a^{4}+b^{4}+c^{4})}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+bc)(a-b+c)(-a+b+c)(a+b+c)}}.\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0b4755fff73ba2c7cc89e58e457d5f2386d9e150)
![{\displaystyle T={\tfrac {1}{2}}{\sqrt[{3}]{abch_{a}h_{b}h_{c}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2ea7f73597047c74387004a689ccbd3d244624d0)
