中心に

幾何学において、三角形の内心は三角形の中心であり、三角形の配置やスケールとは無関係に三角形に対して定義される点です。内心は、三角形の内角の二等分線が交差する点、三角形の辺から等距離にある点、三角形のグラスファイア変換の中心軸と最も内側の点の接合点、および三角形の 内接円の中心点として定義することもできます。

三角形の中心は、重心、外心、垂心とともに古代ギリシャに知られていた4つの三角形の中心のうちの1つであり、4つの中で唯一、一般にオイラー直線上にない中心である。これは、クラーク・キンバリングの『三角形の中心百科事典』に最初に記載されている中心X(1)であり、三角形の中心の乗法群の単位元である。^{[1] [2]}

3 辺以上の多角形の場合、内心は接線多角形、つまり多角形の各辺に接する内接円を持つ多角形にのみ存在します。この場合、内心はこの円の中心であり、すべての辺から等距離にあります。

三角形の3つの内角二等分線が1点で交わるというのはユークリッド幾何学の定理である。ユークリッドの『原論』第4巻の命題4はこの点が三角形の内接円の中心でもあることを証明している。内接円自体は、内心から三角形の1辺に垂線を下ろし、その線分を半径とする円を描くことで作図できる。^[3]

内心は三角形の辺を形成する3つの線分から等距離にあり、またそれらの線分を含む3本の直線からも等距離にあります。内心は線分から等距離にある唯一の点ですが、線から等距離にある点が他に3つあります。これらは外心であり、三角形の外円の中心を形成します。内心と外心は一緒になって直交心系を形成します。^[4]

多角形の中心軸は、多角形上で最も近い点が一意ではない点の集合です。これらの点は、多角形の 2 つ以上の辺から等距離にあります。中心軸を計算する方法の 1 つは、グラスファイア変換を使用することです。この方法では、多角形から一定の距離ごとにオフセット曲線の連続シーケンスを形成します。中心軸は、これらの曲線の頂点によってトレースされます。三角形の場合、中心軸は、三角形の頂点を内心 (最も内側のオフセット曲線上の一意の点) に接続する角度の二等分線の 3 つのセグメントで構成されます。^{[5]異なるタイプのオフセット曲線から同様の方法で定義される}直線スケルトンは、凸多角形の中心軸と一致し、そのため、その接合部も内心にあります。^[6]

との二等分線が で交わり、 と の二等分線がで交わり、 とが で交わるとします。 ${\displaystyle \angle {BAC}}$${\displaystyle {\overline {BC}}}$${\displaystyle D}$${\displaystyle \angle {ABC}}$${\displaystyle {\overline {AC}}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle {\overline {AD}}}$${\displaystyle {\overline {BE}}}$${\displaystyle {I}}$

そして で会いましょう。 ${\displaystyle {\overline {CI}}}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle {F}}$

次に、が の二等分であることを証明する必要があります。 ${\displaystyle {\overline {CI}}}$${\displaystyle \angle {ACB}}$

では、角の二等分線定理により、 となります。 ${\displaystyle \triangle {ACF}}$${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {AF}}={\overline {CI}}:{\overline {IF}}}$

で、。 ${\displaystyle \triangle {BCF}}$${\displaystyle {\overline {BC}}:{\overline {BF}}={\overline {CI}}:{\overline {IF}}}$

したがって、 となる。 ${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {AF}}={\overline {BC}}:{\overline {BF}}}$${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AF}}:{\overline {BF}}}$

の二等分も同様 です。 ${\displaystyle {\overline {CF}}}$${\displaystyle \angle {ACB}}$

角度の二等分線である線は、垂線で測った場合、その 2 つの線から等距離にあります。2 つの二等分線が交差する点では、この点は最終的な角度を形成する線から垂直に等距離にあり (この角度の反対側の端から同じ距離にあるため)、したがって角度の二等分線上にあります。

三角形内の点の三線座標は、三角形の辺に対する距離の比を与える。内心の三線座標は^{[2]で与えられる。}

${\displaystyle \ 1:1:1.}$

三角形の中心の集合は、三線座標の座標乗算による群の構造を与えることができる。この群では、内心は単位元を形成する。^[2]

三角形の点の 重心座標は、その点が三角形の頂点位置の加重平均となるように重み付けされます。内心の重心座標は次のように表されます。

${\displaystyle \a:b:c}$

ここで、、、は三角形の辺の長さ、または（正弦定理を用いて） ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle \sin(A):\sin(B):\sin(C)}$

ここで、、、は3つの頂点における角度です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

内心の直交座標は、三角形の辺の長さを周囲の長さに対して相対的に重み付けした、つまり、上記の重心座標を正規化して合計が 1 になるように重み付けした、3 つの頂点の座標の加重平均です。(重みは正の値なので、内心は上記のように三角形の内側にあります。) 3 つの頂点が、、、に位置し、これらの頂点の反対側の辺の長さがそれぞれ、、、、である場合、内心は ${\displaystyle (x_{A},y_{A})}$${\displaystyle (x_{B},y_{B})}$${\displaystyle (x_{C},y_{C})}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

${\displaystyle {\bigg (}{\frac {ax_{A}+bx_{B}+cx_{C}}{a+b+c}},{\frac {ay_{A}+by_{B}+cy_{C}}{a+b+c}}{\bigg )}={\frac {a(x_{A},y_{A})+b(x_{B},y_{B})+c(x_{C},y_{C})}{a+b+c}}.}$

三角形ABCの​​内心をIとすると、内心から頂点までの距離と三角形の辺の長さは次式に従う^[7]。

${\displaystyle {\frac {IA\cdot IA}{CA\cdot AB}}+{\frac {IB\cdot IB}{AB\cdot BC}}+{\frac {IC\cdot IC}{BC\cdot CA}}=1.}$

さらに、^[8]

${\displaystyle IA\cdot IB\cdot IC=4Rr^{2},}$

ここで、Rとr はそれぞれ三角形の外接半径と内接半径です。

内心から重心までの距離は三角形の最長中線の長さの3分の1未満である。 ^[9]

幾何学におけるオイラーの定理によれば、内心Iから外心Oまでの距離の二乗は次のように与えられる^{[10] [11]}

${\displaystyle OI^{2}=R(R-2r),}$

ここでRとrはそれぞれ外接半径と内接半径である。したがって外接半径は内接半径の少なくとも2倍であり、等しくなるのは正三角形の場合のみである。^{[12] ：p. 198}

9点円の内心Nから中心までの距離は[ ^11]

${\displaystyle IN={\frac {1}{2}}(R-2r)<{\frac {1}{2}}R.}$

内心と垂心 Hの二乗距離は^[13]

${\displaystyle IH^{2}=2r^{2}-4R^{2}\cos A\cos B\cos C.}$

不平等には次のようなものがあります。

${\displaystyle IG<HG,\quad IH<HG,\quad IG<IO,\quad 2IN<IO.}$

内心は中立三角形（頂点が辺の中点である三角形）のナーゲル点であり、したがってこの三角形の内側にあります。逆に、任意の三角形のナーゲル点はその反補三角形の内心です。^[14]

内心は、重心Gと垂心Hを結ぶ直径を持つ円板（垂心円板）の内部にある必要がありますが、 9点中心とは一致できません。9点中心の位置は、直径の1/4の位置（ Gに近い位置）に固定されています。垂心円板内のその他の点は、一意の三角形の内心です。^[15]

三角形のオイラー線は、外心、重心、垂心などを通る線です。内心は一般にオイラー線上にありません。 ^{[16]内心は}二等辺三角形の場合のみオイラー線上にあり、^[17]二等辺三角形の場合、オイラー線は三角形の対称軸と一致し、すべての三角形の中心を含みます。

内心からオイラー線までの距離をd、最長中線の長さをv、最長辺の長さをu、外接半径をR、垂心から外心までのオイラー線分の長さをe、半周をsとすると、次の不等式が成り立つ。^[18]

${\displaystyle {\frac {d}{s}}}<{\frac {d}{u}}}<{\frac {d}{v}}}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{3}}e;}$

${\displaystyle d<{\frac {1}{2}}R.}$

三角形の面積と周囲を半分に分ける線は三角形の内心を通る。内心を通って面積を半分に分ける線は周囲も半分に分ける。どの三角形にもこのような線が1本、2本、または3本ある。^[19]

XをAの内角二等分線上の変数点とすると、X = I（内心）はその角二等分線に沿った比率を最大化または最小化します。^{[20] [21]}${\displaystyle {\tfrac {BX}{CX}}}$

• ワイスタイン、エリック・W.「インセンター」。マスワールド。