ペダルトライアングル

平面幾何学では、点を三角形の辺に投影することによってペダル三角形が得られます。

具体的には、三角形 $△ ABC$ $と、頂点A、B、C$ のいずれでもない点 $P を考えます$ $。P$ から三角形の 3 辺に垂線を下ろします(垂線は延長するなどして作成する必要がある場合があります) $。P$ からの線と辺 $BC、AC、AB$ との交点に $L、M、N と$ ラベルを付けます。ペダル三角形は $△$ $LMN$ です。

$△ ABCが$ 鈍角三角形でなく、 $P$ $が$ 垂心である場合、 $△ LMN$ の角度は $180°-2A$ 、 $180°-2B$ 、 $180°-2C と$ なる。^[1 $]$

$選択された点P$ の選択された三角形 $△ ABC$ に対する位置によって、いくつかの特殊なケースが発生します。

$P が$ 垂心であれば、 $△ LMN は$ 垂三角形です。
$P が$ 内心であれば、 $△ LMN は$ 内接三角形です。
$P$ が外心ならば、 $△ LMN は$ 中心三角形です。
$P が$ 三角形の外接円上にある場合、 $△ LMN は$ 直線（ペダル線またはシムソン線）に収束します。

$上図に示すように、内点P$ のペダル三角形の頂点は、カルノーの定理を満たすように元の三角形の辺を分割します。^[2]

$|AN|^{2}+|BL|^{2}+|CM|^{2}=|NB|^{2}+|LC|^{2}+|MA|^{2}.$

三線座標

$P が$ 三線座標 $p : q : r$ を持つ場合、 $P$ のペダル三角形の頂点 $L、M、N は$ 次のように表されます。 ${\begin{array}{cccccccc}L&=&0&:&q+p\cos C&:&r+p\cos B\\[2pt]M&=&p+q\cos C&:&0&:&r+q\cos A\\[2pt]N&=&p+r\cos B&:&q+r\cos A&:&0\end{array}}$

反ペダル三角形

$P$ の対角三角形の頂点 $L'は、$ $B$ を通る $BPへの垂線と$ $C$ を通る $CP$ への垂線との交点です。他の頂点 $M'$ と $N' も$ 同様に構成されます。三線座標は次のように表されます。 ${\begin{array}{ccrcrcr}L'&=&-(q+p\cos C)(r+p\cos B)&:&(r+p\cos B)(p+q\cos C)&:&(q+p\cos C)(p+r\cos B)\\[2pt]M'&=&(r+q\cos A)(q+p\cos C)&:&-(r+q\cos A)(p+q\cos C)&:&(p+q\cos C)(q+r\cos A)\\[2pt]N'&=&(q+r\cos A)(r+p\cos B)&:&(p+r\cos B)(r+q\cos A)&:&-(p+r\cos B)(q+r\cos A)\end{array}}$

たとえば、外心三角形は内心の反対三角形です。

$P が延長された辺$ $BC、CA、AB$ のいずれにも属さないものとし、 $P -1$ $をP$ の等角共役点とします。 $P$ のペダル三角形は $P$ $-1$ の反対ペダル三角形と相似です。相似中心（ $P が$ 三角形の中心である場合にのみ三角形の中心となる）は、三線座標で次のように表される点です。

$ap(p+q\cos C)(p+r\cos B)\ :\ bq(q+r\cos A)(q+p\cos C)\ :\ cr(r+p\cos B)(r+q\cos A)$

$Pのペダル三角形と$ $P -1$ の反ペダル三角形の面積の積は、 $△ ABC$ の面積の2乗に等しい。

ペダルサークル

ペダル円は、ペダル三角形の外接円として定義されます。ペダル円は、三角形の外接円上にある点に対しては定義されないことに注意してください。

等角共役のペダル円

三角形の外接円上にない任意の点 $Pについては、$ $P$ とその等角共役点 $P*は$ 共通のペダル円を持ち、その中心はこれら2点の中点であることが知られています。^[3]

参考文献

^ 「三角法/円と三角形/ペダル三角形 - Wikibooks、開かれた世界のための開かれた本」。en.wikibooks.org 。 2020年10月31日閲覧。
^ Alfred S. Posamentier ; Charles T. Salkind (1996). Challenging challenges in geographical . New York: Dover. pp. 85-86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719.
^ ホンスバーガー、ロス (1995-01-01)。19世紀および20世紀のユークリッド幾何学のエピソード。アメリカ数学協会。ISBN 978-0-88385-951-3。

外部リンク

数学の世界: ペダルトライアングル
シムソンライン
ペダル三角形と等角共役
ペダルトライアングルとペダルサークル - インタラクティブなイラスト

[1] 「三角法/円と三角形/ペダル三角形 - Wikibooks、開かれた世界のための開かれた本」。en.wikibooks.org 。 2020年10月31日閲覧。

[2] Alfred S. Posamentier ; Charles T. Salkind (1996). Challenging challenges in geographical . New York: Dover. pp. 85-86. ISBN 9780486134864. OCLC 829151719.

[3] ホンスバーガー、ロス (1995-01-01)。19世紀および20世紀のユークリッド幾何学のエピソード。アメリカ数学協会。ISBN 978-0-88385-951-3。