内接円と外接円

幾何学では、三角形の内接円は三角形に含まれる最大の円であり、3辺に接する（接する）円である。内接円の中心は三角形の中心であり、三角形の内心と呼ばれる。^[1]

三角形の外接円または内接円^[2]は、三角形の外側にあり、三角形の1辺に接し、他の2辺の延長線に接する円です。すべての三角形には3つの異なる外接円があり、それぞれが三角形の辺の1つに接しています。^[3]

内接円の中心は内心と呼ばれ、３つの内角 二等分線の交点として見つけることができます。^{[3] [4]}外接円の中心は、１つの角（たとえば頂点A ）の内二等分線と他の２つの角の外二等分線との交点です。この外接円の中心は、頂点Aに対する外心、またはAの外心と呼ばれます。^{[3]角の内二等分線はその外二等分線に垂直なので、内接円の中心と３つの外円の中心は}直交系を形成します。^[5]

に半径、中心の内接円があるとします。をの長さ、の長さ、の長さとします。また、、を内接円が、、 に接する接点とします。 ${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle r}$${\displaystyle I}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\overline {BC}}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\overline {AC}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle T_{A}}$${\displaystyle T_{B}}$${\displaystyle T_{C}}$${\displaystyle {\overline {BC}}}$${\displaystyle {\overline {AC}}}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$

内心は、内角の二等分線が交わる点です。 ${\displaystyle \angle ABC、\angle BCA、{\text{ および }}\angle BAC}$

三角形内の点の三線座標は、三角形の辺までの距離の比である。内心は三角形のすべての辺から同じ距離にあるため、内心の三線座標は^{[6]である。} $${\displaystyle \ 1:1:1.}$$

三角形の点の 重心座標は、その点が三角形の頂点位置の加重平均となるように重み付けされます。内心の重心座標は次のように表されます。$${\displaystyle \a:b:c}$$

ここで、、、は三角形の辺の長さ、または（正弦定理を用いて） ${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$$${\displaystyle \sin A:\sin B:\sin C}$$

ここで、、、は3つの頂点における角度です。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle C}$

内心の直交座標は、三角形の辺の長さを周囲の長さ（つまり、上記の重心座標を合計が 1 になるように正規化したもの）を重みとして使用して、3 つの頂点の座標の加重平均です。重みは正であるため、内心は上記のように三角形の内側にあります。3 つの頂点が、、、に位置し、これらの頂点の反対側の辺の長さがそれぞれ、、、、である場合、内心は^{[引用が必要]にあります。}${\displaystyle (x_{a},y_{a})}$${\displaystyle (x_{b},y_{b})}$${\displaystyle (x_{c},y_{c})}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$ $${\displaystyle \left({\frac {ax_{a}+bx_{b}+cx_{c}}{a+b+c}},{\frac {ay_{a}+by_{b}+cy_{c}}{a+b+c}}\right)={\frac {a\left(x_{a},y_{a}\right)+b\left(x_{b},y_{b}\right)+c\left(x_{c},y_{c}\right)}{a+b+c}}.}$$

辺の長さが の三角形の内接円の内接半径は^[7]で与えられる。${\displaystyle r}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$ $${\displaystyle r={\sqrt {\frac {(sa)(sb)(sc)}{s}}},}$$

半周長はどこですか。 ${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

内接円の接点は、辺をから、から、からの長さの線分に分割します。^[8]${\displaystyle sa}$${\displaystyle A}$${\displaystyle sb}$${\displaystyle B}$${\displaystyle s-c}$${\displaystyle C}$

ヘロンの公式を参照してください。

の内心を と表します。 ${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle I}$

頂点から内心までの距離は次のとおりです。 ${\displaystyle A}$${\displaystyle I}$$${\displaystyle {\overline {AI}}=d(A,I)=c\,{\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}=b\,{\frac {\sin {\frac {C}{2}}}{\cos {\frac {B}{2}}}}.}$$

三角形で正弦定理を使用します。 ${\displaystyle \triangle IAB}$

わかりました 。それを持っています。 ${\displaystyle {\frac {\overline {AI}}{\sin {\frac {B}{2}}}}={\frac {c}{\sin \angle AIB}}}$${\displaystyle \angle AIB=\pi -{\frac {A}{2}}-{\frac {B}{2}}={\frac {\pi }{2}}+{\frac {C}{2}}}$

ということになります 。 ${\displaystyle {\overline {AI}}=c\ {\frac {\sin {\frac {B}{2}}}{\cos {\frac {C}{2}}}}}$

2 番目の式との等式も同様の方法で得られます。

内心から頂点までの距離と三角形の辺の長さは、次の式に従う^[9]。 $${\displaystyle {\frac {{\overline {IA}}\cdot {\overline {IA}}}{{\overline {CA}}\cdot {\overline {AB}}}}+{\frac {{\overline {IB}}\cdot {\overline {IB}}}{{\overline {AB}}\cdot {\overline {BC}}}}+{\frac {{\overline {IC}}\cdot {\overline {IC}}}{{\overline {BC}}\cdot {\overline {CA}}}}=1.}$$

さらに、^[10] $${\displaystyle {\overline {IA}}\cdot {\overline {IB}}\cdot {\overline {IC}}=4Rr^{2},}$$

ここで、 と はそれぞれ三角形の外接半径と内接半径です。 ${\displaystyle R}$${\displaystyle r}$

三角形の中心の集合は、三線座標の座標ごとの乗算の下で群の構造を与えることができる。この群では、内心は単位元を形成する。^[6]

頂点から最も近い2つのタッチポイントまでの距離は等しい。例: ^[11] $${\displaystyle d\left(A,T_{B}\right)=d\left(A,T_{C}\right)={\tfrac {1}{2}}(b+c-a)=s-a.}$$

長さ、、 の辺からの高度が、、である場合、内接円の半径はこれらの高度の調和平均の 3 分の 1 になります。つまり、^[12]${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$${\displaystyle h_{a}}$${\displaystyle h_{b}}$${\displaystyle h_{c}}$${\displaystyle r}$ $${\displaystyle r={\frac {1}{{\dfrac {1}{h_{a}}}+{\dfrac {1}{h_{b}}}+{\dfrac {1}{h_{c}}}}}.}$$

辺が、、 の三角形の内接円の半径と外接円の半径の積は^[13]である。${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$ $${\displaystyle rR={\frac {abc}{2(a+b+c)}}.}$$

辺、内接円の半径、外接円の半径の関係は次の通りである。^[14] $${\displaystyle {\begin{aligned}ab+bc+ca&=s^{2}+(4R+r)r,\\a^{2}+b^{2}+c^{2}&=2s^{2}-2(4R+r)r.\end{aligned}}}$$

三角形の面積と周囲の長さを半分に分ける線は、三角形の内心（内接円の中心）を通ります。三角形には、このような線が 1 つ、2 つ、または 3 つあります。^[15]

内接円の半径は高度の合計の9分の1以下である。^{[16] : 289}

内心から外心までの距離の二乗は^[17]で与えられる^：232${\displaystyle I}$${\displaystyle O}$ $${\displaystyle {\overline {OI}}^{2}=R(R-2r)={\frac {a\,b\,c\,}{a+b+c}}\left[{\frac {a\,b\,c\,}{(a+b-c)\,(a-b+c)\,(-a+b+c)}}-1\right]}$$

内心と９点円の中心までの距離は^{[17] ：232}${\displaystyle N}$ $${\displaystyle {\overline {IN}}={\tfrac {1}{2}}(R-2r)<{\tfrac {1}{2}}R.}$$

内心は中点三角形（その頂点は辺の中点）内にある。^{[17] : 233、補題1}

内接円の半径は三角形の面積と関係がある。 ^[18]内接円の面積と三角形の面積の比は以下であり 、等式は正三角形の場合にのみ成立する。^[19]${\displaystyle \pi {\big /}3{\sqrt {3}}}$

に半径、中心 の 内接円があるとします。 の長さを、長さを、長さをとします。ここで、内接円はの点で接しており、したがって は直角です。したがって、半径はの 高さです。したがって、 の底辺の長さは、高さはであり、したがって面積は です 。同様に、 の面積は で 、 の面積は です 。これら 3 つの三角形を分解すると 、面積は 次 のようになります。 ${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle r}$${\displaystyle I}$${\displaystyle a}$${\displaystyle {\overline {BC}}}$${\displaystyle b}$${\displaystyle {\overline {AC}}}$${\displaystyle c}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle {\overline {AB}}}$${\displaystyle T_{C}}$ ${\displaystyle \angle AT_{C}I}$${\displaystyle T_{C}I}$${\displaystyle \triangle IAB}$${\displaystyle \triangle IAB}$${\displaystyle c}$${\displaystyle r}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr}$${\displaystyle \triangle IAC}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br}$${\displaystyle \triangle IBC}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar}$${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle \Delta {\text{ of }}\triangle ABC}$$${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)r=sr,}$$        ${\displaystyle r={\frac {\Delta }{s}},}$

ここで はの面積であり、は の半周長です。 ${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c)}$

別の公式として、 を考えてみましょう。 これは、1 辺が に等しく、もう 1 辺が に等しい直角三角形です。 についても同じことが言えます。 大きな三角形は 6 つのこのような三角形で構成され、全体の面積は次のようになります。^{[引用が必要]}${\displaystyle \triangle IT_{C}A}$${\displaystyle r}$${\displaystyle r\cot {\tfrac {A}{2}}}$${\displaystyle \triangle IB'A}$ $${\displaystyle \Delta =r^{2}\left(\cot {\tfrac {A}{2}}+\cot {\tfrac {B}{2}}+\cot {\tfrac {C}{2}}\right).}$$

ジェルゴンヌ三角形( ) は、内接円の 3 つの辺上の 3 つの接点によって定義されます。反対側の接点は、などと 表されます。${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle A}$${\displaystyle T_{A}}$

このジェルゴンヌ三角形は、の接触三角形または接触しない三角形としても知られています。その面積は ${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$${\displaystyle \triangle ABC}$$${\displaystyle K_{T}=K{\frac {2r^{2}s}{abc}}}$$

ここで、、、は元の三角形の面積、内接円の半径、半周であり、、、、は元の三角形の辺の長さである。これは、外接三角形の面積と同じである。^[20]${\displaystyle K}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$${\displaystyle c}$

3つの直線、およびは、ジェルゴンヌ点と呼ばれる一点で交差し、（または三角形の中心X _{7 ）と表記される。ジェルゴンヌ点は、自身の中心で穴が開けられた開いた}直交重心円上にあり、その中の任意の点になり得る。^[21]${\displaystyle AT_{A}}$${\displaystyle BT_{B}}$${\displaystyle CT_{C}}$${\displaystyle G_{e}}$

三角形のジェルゴンヌ点は、ジェルゴンヌ三角形の対称点であることを含め、いくつかの性質を持っています。 ^[22]

インタッチ三角形の頂点の三線座標は次のように与えられる^[要出典] $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\sec ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\sec ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\sec ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0.\end{array}}}$$

ジェルゴンヌ点の三線座標は次のように与えられる^[要出典] $${\displaystyle \sec ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\sec ^{2}{\tfrac {C}{2}},}$$

あるいは、正弦定理によって、 $${\displaystyle {\frac {bc}{b+c-a}}:{\frac {ca}{c+a-b}}:{\frac {ab}{a+b-c}}.}$$

三角形の外接円または内接円^[2]は、三角形の外側にあり、三角形の1辺に接し、他の2辺の延長線に接する円です。すべての三角形には3つの異なる外接円があり、それぞれが三角形の辺の1つに接しています。^[3]

外円の中心は、1つの角（たとえば頂点 ）の内二等分線と他の2つの角の外二等分線との交点です。この外円の中心は、頂点 に対する外心、またはの外心と呼ばれます。^[3]角の内二等分線は外二等分線に垂直なので、内接円の中心と3つの外円の中心は直交系 を形成します。^[5]${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$${\displaystyle A}$

の内心は三線座標を持ちますが、外心は三線座標を持ちます^[要出典]${\displaystyle \triangle ABC}$ ${\displaystyle 1:1:1}$ $${\displaystyle {\begin{array}{rrcrcr}J_{A}=&-1&:&1&:&1\\J_{B}=&1&:&-1&:&1\\J_{C}=&1&:&1&:&-1\end{array}}}$$

外接円の半径は外半径と呼ばれます。

反対側の外円（つまり に接し、 を中心とする）の外半径は^{[23] [24]}であり、${\displaystyle A}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle J_{A}}$ $${\displaystyle r_{a}={\frac {rs}{s-a}}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}},}$$${\displaystyle s={\tfrac {1}{2}}(a+b+c).}$

ヘロンの公式を参照してください。

出典: ^[23]

辺 の外接円がで延長された辺 に接し、この外接円の半径を、中心を とします。すると はの高さなので、面積は です。同様の議論により、は面積 を持ち、 は面積 を持ちます。したがって三角形 の面積はです 。 ${\displaystyle AB}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle G}$${\displaystyle r_{c}}$${\displaystyle J_{c}}$${\displaystyle J_{c}G}$${\displaystyle \triangle ACJ_{c}}$${\displaystyle \triangle ACJ_{c}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}br_{c}}$${\displaystyle \triangle BCJ_{c}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}ar_{c}}$${\displaystyle \triangle ABJ_{c}}$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}cr_{c}}$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \triangle ABC}$$${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}(a+b-c)r_{c}=(s-c)r_{c}}$$

したがって、対称性により、 を内接円の半径として表すと、 となります 。 ${\displaystyle r}$$${\displaystyle \Delta =sr=(s-a)r_{a}=(s-b)r_{b}=(s-c)r_{c}}$$

余弦定理により、 $${\displaystyle \cos A={\frac {b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}}}$$

これをアイデンティティと組み合わせると、 ${\displaystyle \sin ^{2}\!A+\cos ^{2}\!A=1}$$${\displaystyle \sin A={\frac {\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}{2bc}}}$$

しかし、そして ${\displaystyle \Delta ={\tfrac {1}{2}}bc\sin A}$$${\displaystyle {\begin{aligned}\Delta &={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {-a^{4}-b^{4}-c^{4}+2a^{2}b^{2}+2b^{2}c^{2}+2a^{2}c^{2}}}\\[5mu]&={\tfrac {1}{4}}{\sqrt {(a+b+c)(-a+b+c)(a-b+c)(a+b-c)}}\\[5mu]&={\sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}},\end{aligned}}}$$

これはヘロンの公式です。

これを と組み合わせると、 ${\displaystyle sr=\Delta }$$${\displaystyle r^{2}={\frac {\Delta ^{2}}{s^{2}}}={\frac {(s-a)(s-b)(s-c)}{s}}.}$$

同様 に、${\displaystyle (s-a)r_{a}=\Delta }$$${\displaystyle {\begin{aligned}&r_{a}^{2}={\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}\\[4pt]&\implies r_{a}={\sqrt {\frac {s(s-b)(s-c)}{s-a}}}.\end{aligned}}}$$

上記の式から、外接円は常に内接円よりも大きく、最大の外接円は最長辺に接し、最小の外接円は最短辺に接していることがわかります。さらに、これらの式を組み合わせると次の式が得られます。^[25] $${\displaystyle \Delta ={\sqrt {rr_{a}r_{b}r_{c}}}.}$$

外接円の円殻は各外接円に内接しており、したがってアポロニウスの円である。^[26]このアポロニウスの円の半径は、内接円の半径、三角形の半周である。[ ^27]${\displaystyle {\tfrac {r^{2}+s^{2}}{4r}}}$${\displaystyle r}$${\displaystyle s}$

内接円の半径、円周半径、半周、外接円の半径、、の間には次のような関係が成り立つ：[ ^14]${\displaystyle r}$${\displaystyle R}$${\displaystyle s}$${\displaystyle r_{a}}$${\displaystyle r_{b}}$${\displaystyle r_{c}}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}&=4R+r,\\r_{a}r_{b}+r_{b}r_{c}+r_{c}r_{a}&=s^{2},\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}&=\left(4R+r\right)^{2}-2s^{2}.\end{aligned}}}$$

3つの外接円の中心を通る円の半径は である。^[14]${\displaystyle 2R}$

がの垂心である場合、^[14]${\displaystyle H}$${\displaystyle \triangle ABC}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}r_{a}+r_{b}+r_{c}+r&={\overline {AH}}+{\overline {BH}}+{\overline {CH}}+2R,\\r_{a}^{2}+r_{b}^{2}+r_{c}^{2}+r^{2}&={\overline {AH}}^{2}+{\overline {BH}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}+(2R)^{2}.\end{aligned}}}$$

ナーゲル三角形またはの接外三角形は、、 、の頂点で表されます。これらの頂点は、外接円が基準に接する 3 つの点であり、 はの反対側にあります。これはの接外三角形としても知られています。接外円の外接円はマンダート円と呼ばれます (マンダート楕円 を参照)。 ${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle T_{A}}$${\displaystyle T_{B}}$${\displaystyle T_{C}}$${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle T_{A}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle \triangle T_{A}T_{B}T_{C}}$

3つの線分、およびは三角形の分割線と呼ばれ、それぞれ三角形の周囲を二等分します。^[要出典]${\displaystyle {\overline {AT_{A}}}}$${\displaystyle {\overline {BT_{B}}}}$${\displaystyle {\overline {CT_{C}}}}$ $${\displaystyle {\overline {AB}}+{\overline {BT_{A}}}={\overline {AC}}+{\overline {CT_{A}}}={\frac {1}{2}}\left({\overline {AB}}+{\overline {BC}}+{\overline {AC}}\right).}$$

スプリッターは、三角形のナーゲル点 (または三角形の中心X ₈ ) という 1 つの点で交差します。 ${\displaystyle N_{a}}$

エクスタッチ三角形の頂点の三線座標は次のように与えられる^[要出典] $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}T_{A}&=&0&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{B}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&0&:&\csc ^{2}{\frac {C}{2}}\\[2pt]T_{C}&=&\csc ^{2}{\frac {A}{2}}&:&\csc ^{2}{\frac {B}{2}}&:&0\end{array}}}$$

ナーゲル点の三線座標は次のように与えられる^[要出典] $${\displaystyle \csc ^{2}{\tfrac {A}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {B}{2}}:\csc ^{2}{\tfrac {C}{2}},}$$

あるいは、正弦定理によって、 $${\displaystyle {\frac {b+c-a}{a}}:{\frac {c+a-b}{b}}:{\frac {a+b-c}{c}}.}$$

ナーゲル点はジェルゴンヌ点の等尺共役点である。 ^[要出典]

幾何学において、九点円は任意の三角形に対して作図できる円である。この円は三角形から定義される9つの重要な共点を通ることからこの名がつけられた。これらの9つの点は以下の通りである。^{[28] [29]}

• 三角形の各辺の中点
• 各高度のフィート
• 三角形の各頂点から垂心（3 つの高度が交わる場所。これらの線分はそれぞれの高度上にあります）までの線分の中点。

1822年、カール・フォイエルバッハは、任意の三角形の9点円がその三角形の3つの外接円に外接し、内接円に内接することを発見しました。この結果はフォイエルバッハの定理として知られています。彼は次のことを証明しました。^[30]

...三角形の頂点を通る円は、三角形の 3 辺に接する 4 つの円すべてに接します... (フォイエルバッハ 1822)

内接円と九点円が接する三角形の中心をフォイエルバッハ点と呼びます。

の内角二等分線と線分、、およびとの交点は、中心三角形の頂点です。中心三角形の頂点の三線座標は次のように与えられます^[要出典]${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle CA}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ $${\displaystyle {\begin{array}{ccccccc}A'&=&0&:&1&:&1\\[2pt]B'&=&1&:&0&:&1\\[2pt]C'&=&1&:&1&:&0\end{array}}}$$

基準三角形の外心三角形は、基準三角形の外円の中心に頂点を持ちます。その辺は基準三角形の外角二等分線上にあります（ページ上部の図を参照）。外心三角形の頂点の三線座標は次のように表されます^{[引用が必要]}${\displaystyle \triangle A'B'C'}$ $${\displaystyle {\begin{array}{ccrcrcr}A'&=&-1&:&1&:&1\\[2pt]B'&=&1&:&-1&:&1\\[2pt]C'&=&1&:&1&:&-1\end{array}}}$$

を三線座標上の変数点とし、、、とする。上記の4つの円は、次の2つの式のどちらによっても等価に与えられる：[ ^{31] ：210–215}${\displaystyle x:y:z}$${\displaystyle u=\cos ^{2}\left(A/2\right)}$${\displaystyle v=\cos ^{2}\left(B/2\right)}$${\displaystyle w=\cos ^{2}\left(C/2\right)}$

• 内接円:$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz-2wuzx-2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle A}$-丸で囲む:$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}-2vwyz+2wuzx+2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {-x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle B}$-丸で囲む:$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz-2wuzx+2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {-y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$
• ${\displaystyle C}$-丸で囲む:$${\displaystyle {\begin{aligned}u^{2}x^{2}+v^{2}y^{2}+w^{2}z^{2}+2vwyz+2wuzx-2uvxy&=0\\[4pt]{\textstyle \pm {\sqrt {x}}\cos {\tfrac {A}{2}}\pm {\sqrt {y{\vphantom {t}}}}\cos {\tfrac {B}{2}}\pm {\sqrt {-z}}\cos {\tfrac {C}{2}}}&=0\end{aligned}}}$$

オイラーの定理によれば、三角形では次のようになります。 $${\displaystyle (R-r)^{2}=d^{2}+r^{2},}$$

ここで、 と はそれぞれ外接半径と内接半径であり、 は外心と内心の 間の距離です。${\displaystyle R}$${\displaystyle r}$${\displaystyle d}$

外接円の場合も方程式は同様です。 $${\displaystyle \left(R+r_{\text{ex}}\right)^{2}=d_{\text{ex}}^{2}+r_{\text{ex}}^{2},}$$

ここで は外円の半径であり、 は外心とその外円の中心との間の距離である。^{[32] [33] [34]}${\displaystyle r_{\text{ex}}}$${\displaystyle d_{\text{ex}}}$

いくつかの（ただしすべてではない）四辺形には内接円があります。これらは接線四辺形と呼ばれます。接線四辺形の多くの性質の中で最も重要なのは、2組の対辺の和が等しいことです。これはピトーの定理と呼ばれます。^[35]

より一般的には、任意の数の辺を持ち、内接円（つまり、各辺に接する円）を持つ多角形を接線多角形と呼びます。

• 円周角 – 円を囲む幾何学図形
• 外接円 – 三角形の頂点を通る円
• 外接四辺形 – すべての辺が外円に接する凸4辺多角形
• ハーコートの定理 – 三角形の面積は、辺と頂点からその内接円に接する任意の直線までの距離で求められます。
• 円錐曲線と非円錐曲線 – 三角形の頂点を通る円錐曲線、または三角形の辺に接する円錐曲線
• 内接球 – 多面体のすべての面に接する球
• 点の力 – 円からの点の相対距離
• シュタイナーの内楕円 – 与えられた三角形の3辺の中点すべてに接する唯一の楕円
• 接線四辺形 - 4辺すべてが円に接する多角形
• 三角形の円錐
• 内心-外心の補題 – 内接円と外接円の性質に関する記述

• アルトシラー・コート、ネイサン（1925）、カレッジ幾何学：三角形と円の現代幾何学入門（第2版）、ニューヨーク：バーンズ＆ノーブル、LCCN  52013504
• ジョンソン、ロジャー A. (1929)、「X. 内接円と内接円」、現代幾何学、ホートン ミフリン、pp. 182–194
• Josefsson, Martin (2011)、「接線四辺形のさらなる特徴付け」(PDF)、Forum Geometricorum、11 : 65–82、MR 2877281、2016-03-04に オリジナル(PDF)からアーカイブ、2023-03-14 に取得
• ケイ、デイビッド C. (1969)、カレッジジオメトリ、ニューヨーク：ホルト、ライナーハート、ウィンストン、LCCN  69012075
• キンバリング、クラーク (1998)。「三角形の中心と中心三角形」。Congressus Numerantium (129): i–xxv, 1–295。
• キス、サンダー（2006年）。「Orthic-of-IntouchとIntouch-of-Orthic三角形」。フォーラムジオメトリコルム（6）：171-177。