頂点（ジオメトリ）

幾何学において、頂点（複数形：verticesまたはvertexes）は、2つ以上の曲線、線、または辺が出会うか交差する点である。この定義の結果として、2本の線が出会う角度を形成する点と、多角形と多面体の角が頂点である。^{[1] [2] [3]}

角度の頂点とは、 2本の光線が始まる点または交わる点、2本の線分が結合する点または交わる点、2本の線が交差する点、または2本の直線の「辺」が1か所で交わる光線、線分、線の適切な組み合わせのことです。^{[3] [4]}

頂点は、多角形、多面体、またはその他の高次元多面体の角点であり、オブジェクトの辺、面、またはファセットの交差によって形成されます。 ^[4]

多角形において、多角形の内角（すなわち、頂点の2つの辺と多角形の内側の角によって形成される角度）がπラジアン（180°、2つの直角）未満である場合、その頂点は「凸」と呼ばれます。それ以外の場合は、「凹」または「反射」と呼ばれます。^{[5]より一般的には、多面体または多面体と、頂点を中心とする十分に小さい}球との交差が凸である場合、多面体または多面体の頂点は凸であり、そうでない場合は凹です。

多面体の頂点はグラフの頂点と関連しており、多面体の1次元スケルトンはグラフであり、その頂点は多面体の頂点に対応しています^[6]。また、グラフは1次元単体複体として見ることができ、その頂点はグラフの頂点です。

しかし、グラフ理論では、頂点は2つ未満の接続辺を持つことができ、これは通常、幾何学的頂点では許可されません。幾何学的頂点と曲線の頂点、つまりその極曲率点との間にも関連があります。ある意味では、多角形の頂点は無限曲率点であり、多角形が滑らかな曲線で近似される場合、各多角形頂点の近くに極曲率点が存在することになります。^[7]

平面タイリングまたはテッセレーションの頂点は、3つ以上のタイルが出会う点です。^[8]一般的には、テッセレーションのタイルは多角形であり、テッセレーションの頂点はそのタイルの頂点でもありますが、常にそうとは限りません。より一般的には、テッセレーションは、多面体または多面体の面と同様に、一種の位相セル複合体と見なすことができます。単体複合体などの他の種類の複合体の頂点は、その0次元面です。

単純多角形Pの頂点x _iは、対角線[ x _{(i − 1)} , x _{(i + 1)} ]がPの境界とx _{(i − 1)}とx _{(i + 1)}でのみ交差する場合、多角形主頂点と呼ばれます。主頂点には耳と口の2種類があります。^[9]

単純多角形Pの主頂点x _{i は、} x _iを結ぶ対角線[ x _{(i − 1)} , x _{(i + 1)} ]が完全にP内にある場合、耳と呼ばれます。（凸多角形も参照） 2つの耳の定理によれば、すべての単純多角形には少なくとも2つの耳があります。^[10]

単純多角形Pの主頂点x _{i は}、対角線[ x _{(i − 1)}、x _{(i + 1)} ]がPの境界の外側にある場合、口と呼ばれます。

任意の凸多面体の表面はオイラー特性を持つ

${\displaystyle V-E+F=2,}$

ここで、Vは頂点の数、Eは辺の数、Fは面の数です。この方程式はオイラーの多面体公式として知られています。つまり、頂点の数は、辺の数から面の数を引いた数より 2 多い数です。たとえば、立方体には12 の辺と 6 つの面があるため、この公式は立方体に 8 つの頂点があることを示しています。

コンピュータグラフィックスでは、オブジェクトは三角形の多面体として表現されることが多く、オブジェクトの頂点は3つの空間座標だけでなく、色、反射特性、テクスチャ、表面法線など、オブジェクトを正しくレンダリングするために必要な他のグラフィック情報にも関連付けられています。^{[11]これらのプロパティは、}頂点パイプラインの一部である頂点シェーダによるレンダリングに使用されます。

• 頂点の配置
• 頂点図形

• Weisstein、Eric W.「多角形頂点」。MathWorld。
• Weisstein、Eric W.「多面体頂点」。MathWorld。
• ワイスタイン、エリック・W.「プリンシパル・バーテックス」。マスワールド。