直心系

幾何学において、垂心系は平面上の4点の集合であり、そのうちの1点は他の3点によって形成される三角形の垂心である。同様に、点間の互いに交わらない2点を通る線は直交し、4点のうちの任意の3点を通る4つの円の半径は同じである。^[1]

4 つの点が垂心系を形成する場合、 4 つの点のそれぞれが他の 3 つの点の垂心になります。これら 4 つの三角形はすべて、同じ9 点円を持ちます。したがって、これら 4 つの三角形はすべて、同じ外接半径の外接円を持つ必要があります。

一般的な9点円

この共通の 9 点円の中心は、 4 つの直交心点の重心にあります。共通の 9 点円の半径は、9 点の中心から、共通の 9 点円が通過する直交心点のペアを結合する 6 つのコネクタのいずれかの中点までの距離です。また、この 9 点円は、4 つの三角形の高度の足元にある 3 つの直交交点も通過します。

この共通の 9 点の中心は、任意の直交心点と、他の 3 つの直交心点から形成される三角形の外心とを結ぶコネクタの中点にあります。

共通の9点円は、頂点が直交心系を形成する4つの三角形の16個の内接円と外接円のすべてに接する。^[2]

共通直交三角形、その内心、およびその外心

任意の直交心点のペアを結合する 6 つのコネクタを、互いに交差する 6 本の線に延長すると、7 つの交点が生成されます。これらの点のうち 4 つは元の直交心点であり、追加の 3 つは高度の足元での直交交点です。これらの 3 つの直交点を三角形に結合すると、一度に 3 つずつ取られた 4 つの直交心点から形成される 4 つの三角形すべてに共通する直交三角形が生成されます。

この共通直交三角形の内心は、元の 4 つの直交心点のうちの 1 つでなければなりません。さらに、残りの 3 つの点は、この共通直交三角形の外心になります。直交三角形の内心となる直交心点は、共通の 9 点の中心に最も近い直交心点です。直交三角形と元の 4 つの直交心点とのこの関係は、基準三角形の内心と外心が直交心システムを形成するという事実に直接つながります。^[3]

通常、垂心点の 1 つ、具体的には垂心三角形の内心である点を他の点と区別します。この内心は、基準三角形 $△$ $ABC$ として選択された外側の 3 つの垂心点の垂心として $H$ で示されます。この正規化された構成では、点 $H は$ 常に三角形 $△$ $ABC$ $内にあり、三角形△$ $ABC$ のすべての角度は鋭角になります。したがって、上記の 4 つの可能な三角形は、三角形 $△$ $ABC$ $、△$ $ABH$ $、△$ $ACH$ $、△$ $BCH$ です。上記の 6 つのコネクタは、 $AB$ $、$ $AC$ $、$ $BC$ $、$ $AH$ $、$ $BH$ $、$ $CH$ です。上記の 7 つの交点は $、 A 、 B 、 C 、 H$ (元の垂心点)、および $H$ $A$ $、 H$ $B$ $、 H$ $C$ $(三角形△$ $ABC$ の高さの足と垂心三角形の頂点) です。

直心システムとその直心軸

$△$ $ABC$ を基準三角形とする正規化された直交系 $A、B、C、H$ に関連付けられた直交軸は、直交三角形の各辺が基準三角形の各辺と交わる 3 つの交点を通る線です。次に、他の 3 つの三角形 $△$ $ABH$ $、△$ $ACH$ $、△$ $BCH$ について考えます。これらにはそれぞれ独自の直交軸があります。

オイラー直線と相似直心系

ベクトル $a 、 b 、 c 、 h が$ 4 つの直交心点それぞれの位置を決定し、 n = ( a + b + c + h ) / 4 が共通の 9 点の中心である N の位置ベクトルであるとします。 $4 つの直交心点のそれぞれを共通$ $の$ 9点の中心に結び、4 本の線に延長します。これらの 4 本の線は、4 つの可能な三角形のオイラー線を表します。ここで、延長された線 $HNは三角形$ $△ ABC$ のオイラー線、延長された線 $AN$ は三角形 $△$ $BCH$ のオイラー線などです。基準三角形 $△$ $ABC$ のオイラー線 $HN$ 上に、位置ベクトル $pが$ $p$ $=$ $n$ $+ α($ $h$ $-$ $n$ $)$ となる点 $P$ が選択され、ここで $α$ は 4 つの直交心点の位置とは無関係な純粋定数であり、さらに 3 つの点 $P$ $A$ $、P$ $B$ $、P$ $C が$ $p$ $a$ $=$ $n$ $+ α($ $a$ $-$ $n$ $)$ となる点などである場合、 $P、P$ $A$ $、P$ $B$ $、P$ $C は$ 直交心系を形成します。この生成された直交中心システムは、共通の 9 点の中心を相似中心とし、相似比を α として、元の 4 点システムと常に相似です。

$P が重心$ $G$ として選択されると、 $α = -⅓ に$ なります。 $P が$ 外心 $O$ として選択されると、 $α = -1$ となり、生成された直交中心系は元の系と同型であり、9点の中心を中心とする鏡映になります。この構成では、 $P A 、 P B 、 P C は$ 元の基準三角形 $△$ $ABC$ のジョンソン三角形を形成します。その結果、4つの三角形 $△$ $ABC$ $、 △$ $ABH$ $、 △$ $ACH$ $、 △$ $BCH$ の外接円はすべて等しく、隣の図に示すようにジョンソン円のセットを形成します。

その他の特性

直交中心システムの 4 つのオイラー線は、直交中心システムの 4 つの直交軸に直交します。

元の4つの直交中心点の任意のペアを接続する6つのコネクタは、距離方程式を満たすように互いに直交するコネクタのペアを生成します。

{\overline {AB}}^{2}+{\overline {CH}}^{2}={\overline {AC}}^{2}+{\overline {BH}}^{2} ={\overline {BC}}^{2}+{\overline {AH}}^{2}=4R^{2}

ここで $Rは$ 4つの三角形の共通の円周半径である。これらの式と正弦定理を組み合わせると、次の式が得られる。

{\frac {\overline {BC}}{\sin A}}={\frac {\overline {AC}}{\sin B}}={\frac {\overline {AB}}{\sin C}}={\frac {\overline {HA}}{|\cos A|}}={\frac {\overline {HB}}{|\cos B|}}={\frac {\overline {HC}}{|\cos C|}}=2R.

フォイエルバッハの定理によれば、9 点円は基準三角形の内接円と 3 つの外接円に接します。9 点円は直交中心システムで考えられる 4 つの三角形すべてに共通であるため、4 つの三角形の内接円と外接円を含む 16 個の円に接します。

4 つの垂心点を通る円錐曲線は、直角双曲線にしかなり得ません。これは、基準三角形の垂心も通るすべての外接円錐曲線について、そのような外接円錐の中心の軌跡は 9 点円を形成し、外接円錐曲線は直角双曲線にしかなり得ないというフォイエルバッハの円錐定理の結果です。この直角双曲線群の透視子の軌跡は、常に 4 つの垂心軸上にあります。したがって、直角双曲線が 4 つの垂心点を通って描かれると、共通の 9 点円上に 1 つの中心が固定されますが、4 つの可能性のある三角形のそれぞれの垂心軸上に 1 つずつ、合計 4 つの透視子を持つことになります。この直角双曲線の中心である 9 点円上の 1 つの点は、基準三角形として使用される 4 つの可能性のある三角形に応じて、4 つの異なる定義を持ちます。

4 つの垂心点を通る、よく知られた直角双曲線は、垂心 $H$ を持つ正規化システムにおける基準三角形 $△$ $ABC$ のフォイエルバッハ、イェジャベク、キーパートの外接双曲線です。

4 つの可能性のある三角形には、直交不等円錐曲線と呼ばれる 4 つの不等円錐曲線のセットがあり、これらは特定の特性を共有しています。これらの不等円錐曲線と 4 つの可能性のある三角形との接点は、共通の直交三角形の頂点で発生します。正規化された直交不等円錐曲線では、三角形 △ ABC の辺に接する直交不等円錐曲線は内 $楕円で$ 、他の 3 つの可能性のある三角形の直交不等円錐曲線は双曲線です。これらの 4 つの直交不等円錐曲線は、共通の 9 点の中心に最も近い直交心点である同じブリアンション点 $H$ も共有しています。これらの直交不等円錐曲線の中心は、 4 つの可能性のある三角形の対称点 $K$ です。

基準三角形とその垂心を通る立方体は数多く記録されています。正立方体 K006 として知られる外接立方体は、3 つの垂心系と垂心三角形の 3 つの頂点 (垂心三角形の垂心ではない) を通過するという点で興味深いものです。 3 つの垂心系とは、内心と外心、基準三角形とその垂心、そして最後に基準三角形の垂心と、この立方体が基準三角形の外接円と持つ他の 3 つの交点です。

直交中心系における2つの三角形の任意の2つの極円は直交する。^[4]

注記

^ コチク、イェジ;ソレッキ、アンジェイ (2009)。「三角形を解く」(PDF)。アメリカ数学月刊誌。116 (3): 228–237。土井：10.1080/00029890.2009.11920932。
^ Weisstein, Eric W. 「Orthocentric System」 MathWorld--A Wolfram Web Resourceより。[1]
^ ジョンソン1929年、182ページ。
^ ジョンソン1929年、177ページ。

参考文献

ジョンソン、ロジャー A. (1929)。『現代幾何学: 三角形と円の幾何学に関する初等論文』ホートン・ミフリン。『Advanced Euclidean Geometry』として再出版。Dover。1960年、2007年。特に第IX章「3つの注目すべき点」を参照。

外部リンク

Eric W. Weisstein . 「直交中心」、「フォイエルバッハの定理」、「フォイエルバッハの円錐定理」、「フォイエルバッハ双曲線」、「イェラベック双曲線」、「キーパート双曲線」、「直交非円錐」、「直交軸」、「パースペクター」。MathWorld。
ベルナール・ジベールサーカムキュービック K006
Clark Kimberling、「三角形の中心の百科事典」。(あらゆる三角形に関連する約 5000 個の興味深い点をリストします。)

[1] コチク、イェジ;ソレッキ、アンジェイ (2009)。「三角形を解く」(PDF)。アメリカ数学月刊誌。116 (3): 228–237。土井：10.1080/00029890.2009.11920932。

[2] Weisstein, Eric W. 「Orthocentric System」 MathWorld--A Wolfram Web Resourceより。[1]

[FOOTNOTEJohnson1929[httpsbabelhathitrustorgcgiptidwu89043163211view1upseq200_182]-3] ジョンソン1929年、182ページ。

[FOOTNOTEJohnson1929[httpsbabelhathitrustorgcgiptidwu89043163211view1upseq195_177]-4] ジョンソン1929年、177ページ。