三角形の角度の合計

ユークリッド空間では、三角形の角度の合計は直角(180度、π ラジアン、2 つの直角、または半回転)に等しくなります。三角形には、各頂点に 1 つずつ、隣接する 2 つの辺で囲まれた3 つの角度があります。

この合計が異なる他の幾何学が存在するかどうかは長い間不明でした。この問題が数学に与えた影響は、19 世紀に特に強かったです。最終的に、答えは肯定的であることが証明されました。他の空間 (幾何学) では、この合計は大きくなったり小さくなったりしますが、その場合は三角形に依存します。180° との差は角度の欠陥の例であり、幾何学システムにとって重要な区別となります。

ユークリッド幾何学における三角形の公理は、三角形の角度の和は2つの直角であると述べている。この公理は平行線の公理と同等である。^[1]ユークリッド幾何学の他の公理が存在する場合、次のステートメントは同等である：^[2]

• 三角形の公理: 三角形の角度の合計は 2 つの直角です。
• プレイフェアの公理: 直線とその直線上にない点が与えられた場合、その点を通る直線と平行な直線が 1 本だけ引ける。
• プロクロスの公理：直線が2本の平行線の一方と交差する場合、もう一方の直線とも必ず交差する。^[3]
• 等距離公理: 平行線はどこでも等距離です (つまり、 1 本の線上の各点から他の線までの距離は常に同じです)。
• 三角形の面積の性質:三角形の面積は好きなだけ大きくすることができます。
• 3 点の性質: 3 つの点は直線上にあるか、円上にあるかのいずれかです。
• ピタゴラスの定理：直角三角形では、斜辺の二乗は他の2辺の二乗の合計に等しい。^[1]

球面幾何学は、平行線公理を含むユークリッドの公理のいくつかを満たしていません。さらに、角度の合計はもはや 180° ではありません。

球面三角形の場合、角度の合計は180°より大きく、最大540°になることがあります。角度の合計が180°を超える量は球面過剰と呼ばれ、またはと表記されます。^[4] 球面過剰と三角形の面積は、関係式（ジ​​ラールの定理と呼ばれる）によって互いに決まります。ここで は球の半径で、に等しく、 は一定の曲率です。 ${\textstyle E}$${\textstyle \Delta }$ ${\textstyle A}$$${\displaystyle E={\frac {A}{r^{2}}}}$$${\displaystyle r}$${\textstyle r={\frac {1}{\sqrt {\kappa }}}}$${\textstyle \kappa >0}$

球面余剰は、3 辺の長さ、2 辺の長さとその角度、または 1 辺の長さと 2 つの隣接する角度から計算することもできます (球面三角法を参照)。

3 辺の長さが に近づく極限では、球面余剰も に近づくため、球面幾何学は局所的にユークリッド幾何学に類似します。より一般的には、面積が に近づくときの極限としてユークリッド法則が再現されます(これは辺の長さが に近づくことを意味するものではありません)。 ${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle 0}$

球面三角形は、等長変換まで、1 つの辺の長さと 1 つの隣接角によって決定されます。より正確には、レクセルの定理によれば、固定された辺として球面セグメントが与えられ、数 が与えられた場合、三角形が球面余剰を持つ点の集合は、およびの対蹠点を通る円です。したがって、の準位集合は、 2 つの特異点 を持つ球面の葉脈を形成し、の勾配ベクトルはこの葉脈に直交します。 ${\textstyle E}$${\textstyle [A,B]}$${\textstyle 0^{\circ }<E<360^{\circ }}$${\textstyle C}$${\textstyle ABC}$${\displaystyle E}$${\textstyle A',B'}$${\textstyle A}$${\textstyle B}$${\textstyle E}$${\displaystyle A',B'}$${\textstyle E}$

双曲幾何学は、プレイフェアの公理、プロクロスの公理（交差しないことで定義される平行性は双曲面では非推移的である）、等距離公理（与えられた直線の片側で等距離にある点は直線を形成しない）、ピタゴラスの定理を破る。円^{[5]は任意に小さい}曲率を持つことはできないため、^[6]三点特性も破れる。角度の合計も180°ではなくなる。

球面の場合とは対照的に、双曲三角形の角度の合計は180° 未満で、0° に任意に近くなります。したがって、角度の欠陥があります。球面の場合と同様に、角度の欠陥と面積は互いを決定します。つまり、 が成り立ちます。ここで、 およびは一定の曲率です。この関係は、ヨハン・ハインリッヒ・ランベルトによって初めて証明されました。^[7]すべての三角形の面積は で囲まれることがわかります。 $${\displaystyle D=180^{\circ }-{\text{sum of angles}}.}$$${\textstyle D}$${\textstyle A}$$${\displaystyle D={\frac {A}{r^{2}}}}$$${\textstyle r={\frac {1}{\sqrt {-\kappa }}}}$${\textstyle \kappa <0}$${\textstyle 180^{\circ }\times r^{2}}$

球面の場合と同様に、3 辺の長さ、2 辺の長さとその角度、または 1 辺の長さと 2 つの隣接する角度を使用して計算できます (双曲三角法を参照)。 ${\textstyle D}$

もう一度言いますが、ユークリッドの法則は、辺の長さ（または、より一般的には面積）が に近づくときの極限として回復されます。しかし、すべての長さが無限大に近づくと、 は180° に近づきます。つまり、3 つの角度は 0° に近づきます。この極限は、3 つの無限大の点を3 つの双無限測地線で結ぶ理想的な三角形の場合と見なすことができます。その面積が極限値 です。 ${\displaystyle 0}$${\textstyle D}$${\textstyle A=180^{\circ }\times {r^{2}}}$

レクセルの定理には双曲的な対応物もあり、円の代わりに、レベルセットはハイパーサイクルと呼ばれる曲線のペアになり、葉脈構造は特異ではない。^[8]

三角形の隣接する辺の間の角度は、ユークリッド幾何学およびその他の幾何学では内角と呼ばれます。外角も定義でき、ユークリッド三角形公理は外角定理として定式化できます。また、3つの外角の合計は、ユークリッドの場合（任意の凸多角形の場合と同様に）360° ^[9]に等しく、球面の場合は360°未満、双曲面の場合は360°より大きいと考えることもできます。

曲面の微分幾何学では、三角形の角度の欠陥の問題は、ガウス・ボネの定理の特殊なケースとして理解されており、閉曲線の曲率は関数ではなく、正確に 3 点 (三角形の頂点) で サポートされる尺度です。

• ユークリッドの原論
• 幾何学の基礎
• ヒルベルトの公理
• サッケリ四辺形(オマル・ハイヤームによってサッケリよりも以前に検討された)
• ランバート四辺形