内三角形

ユークリッド幾何学において、三角形△ ABCの中点三角形または中点三角形は、三角形の辺AB、AC、BCの中点を頂点とする三角形です。これは、 n辺を持つ多角形の中点多角形のn = 3 の場合です。中点三角形は、 △ ABCの中線と同じ長さの辺を持つ三角形である中線三角形とは異なります。

三角形の中央の各辺は、中線(または中線) と呼ばれます。一般的に、三角形の中線は、三角形の 2 辺の中点を結ぶ線分です。これは 3 番目の辺と平行で、長さは 3 番目の辺の半分に等しくなります。

内接三角形は、比 -1/2 の重心を中心とする相似法によって変形された三角形△ ABCの像とみなすこともできます。したがって、内接三角形の辺は三角形 ABC の対応する辺の半分で平行です。したがって、内接三角形は三角形△ ABCと逆相似であり、同じ重心と中線を共有しています。また、このことから、内接三角形の周長は三角形△ ABCの半周長に等しく、面積は三角形△ ABCの面積の 4 分の 1 であることがわかります。さらに、元の三角形が内接三角形によって分割された 4 つの三角形はすべてSSSによって互いに合同であるため、面積は等しく、各三角形の面積は元の三角形の面積の 1/4 です。^{[1] : p.177}

内接三角形の垂心は三角形 △ ABC の外心と一致します。この事実は、外心、重心、垂心の共線性を証明する手段となります。内接三角形は外心のペダル三角形です。9点円は内接三角形に外接するため、9 点中心は内接三角形の外心です。

内接三角形のナーゲル点は、その基準三角形の内心である。[ 2 ] ^{: p.161, Thm.337}

基準三角形の中点三角形は、基準三角形の垂心とその頂点の中点を頂点とする三角形と合同である。^{[2] : p.103, #206, p.108, #1}

三角形の内心はその中心三角形の中にある。[ 3 ^{] : p.233、補題1}

三角形の内部の点は、その点が中心三角形の内部にある場合にのみ、三角形の内接楕円の中心となる。 ^{[4] : p.139}

内接三角形の中で、内接する三角形の中で、他の３つの三角形の面積がこれより小さい三角形は、この内接三角形だけである。^{[5] : p. 137}

基準三角形とその中心三角形は直交三角形です。

三角形の辺の長さを とすると、中心三角形の頂点の三線座標は次のように与えられる。 ${\displaystyle a=|BC|,b=|CA|,c=|AB|}$${\displaystyle \triangle ABC.}$ ${\displaystyle \triangle EFD}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}E&={}\,0&&:{\frac {1}{b}}&&:{\frac {1}{c}},\\[5mu]F&={}{\frac {1}{a}}&&:\,0&&:{\frac {1}{c}},\\[5mu]D&={}{\frac {1}{a}}&&:{\frac {1}{b}}&&:\,0.\end{alignedat}}}$

が の中心三角形である場合、はの反対称三角形または反対称三角形です。 の反対称三角形は、の辺に平行な 3 本の線によって形成されます。を通るへの平行線、を通るへの平行線、 を通るへの平行線です。${\displaystyle \triangle EFD}$${\displaystyle \triangle ABC,}$${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle \triangle EFD.}$${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle \triangle ABC}$${\displaystyle AB}$${\displaystyle C,}$${\displaystyle AC}$${\displaystyle B,}$${\displaystyle BC}$${\displaystyle A.}$

反補三角形の頂点の三線座標は次のように与えられる。 ${\displaystyle \triangle E'F'D'}$${\displaystyle \triangle ABC}$

${\displaystyle {\begin{alignedat}{3}E'&=-{\frac {1}{a}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{b}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{c}},\\[5mu]F'&={\phantom {-}}{\frac {1}{a}}&&:-{\frac {1}{b}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{c}},\\[5mu]D'&={\phantom {-}}{\frac {1}{a}}&&:{\phantom {-}}{\frac {1}{b}}&&:-{\frac {1}{c}}.\end{alignedat}}}$

「反補三角形」という名前は、その頂点が基準三角形の頂点の反補三角形であるという事実に対応しています。中心三角形の頂点は、${\displaystyle A,B,C}$${\displaystyle A,B,C.}$

• 中ハリネズミ、より一般的な凸集合に対する類似の概念

• ワイスタイン、エリック W.「内側の三角形」。マスワールド。
• Weisstein、Eric W.「反補三角形」。MathWorld。